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1、结构动力学结构动力学 张系斌 2015.5. 二、体系的运动方程建立二、体系的运动方程建立 2.1 2.1 建立运动方程的基本步骤建立运动方程的基本步骤 2.2 2.2 运动方程建立举例运动方程建立举例 2.3 2.3 体系运动方程的一般形式体系运动方程的一般形式 2.4 2.4 应注意的几个问题应注意的几个问题 2.5 2.5 刚度法、柔度法列方程的步骤刚度法、柔度法列方程的步骤 2.6 2.6 运动方程建立总结运动方程建立总结 运动方程的建立 建立动力体系运动方程常用的三种方法是直接 平衡法、虚位移原理方法和哈密尔顿原理方法；运 动方程可用上述三种方法中的任一种建立。对于简 单体系，最明了
2、的方法是采用直接平衡法建立包括 惯性力在内的作用于体系上的全部力的平衡关系， 得出运动方程。对于更复杂的体系，直接建立矢量 平衡关系可能是困难的，此时采用功和能等标量建 立平衡关系更为方便；其中包括虚位移原理方法和 哈密尔顿原理方法。上述三种方法的结果是完全相 同的，采用何种方法取决于是否方便、个人的喜好 以及动力体系的性质。 牛顿第二运动定律 直接平衡法 通过动力体系各质点的力矢量平衡关系建立运动方程的 方法。质量所产生的惯性力与它的加速度成正比，但方向 相反。这一概念称为达兰贝尔原理。借助该原理可以把运 动方程表示为动力平衡方程。方程中的力包括多种作用于 质量上的力，如抵抗位移的弹性恢复力
3、、抵抗速度的粘滞 阻尼力以及其它独立确定的外荷载。因此，运动方程的表 达式仅仅是作用于质量上所有力（包含惯性力）的平衡表 达式。在许多简单问题中，直接平衡法是建立运动方程的 最直接而且方便的方法。 虚位移原理 虚位移原理可表述为：如果一组力作用下的平衡体系 承受一个虚位移（即体系约束所允许的任何微小位移）， 则这些力所作的总功（虚功）等于零，虚功为零和体系平 衡是等价的。因此，只要明了作用于体系质量上的全部力 （包括按照达兰贝尔原理所定义的惯性力），然后引入对 应每个自由度的虚位移，并使全部力作的功等于零，则可 导出运动方程。虚功为标量，故可依代数方法相加，这是 此法的主要优点。 当结构体系相
4、当复杂，且包含许多彼此联系的质量点 或有限尺寸的质量块时，直接写出作用于体系上的所有力 的平衡方程可能是困难的；尽管作用于体系的力可以容易 地用位移自由度来表示，但它们的平衡关系则可能十分复 杂。此时，利用虚位移原理建立运动方程更为方便。 哈密尔顿原理 2.1 2.1 建立建立运动方程的基本步骤运动方程的基本步骤 作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列 平衡方程得到运动方程的平衡方程得到运动方程的“ “直接平衡法直接平衡法” ”。以下讨论中。以下讨论中 一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。 直接平衡法列方程的一般
5、步骤为：直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 1) 确定体系的自由度确定体系的自由度质量独立位移数；质量独立位移数； 2) 2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）； 3) 3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力； 4) 4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（ 注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）； 5) 5) 取质量为隔离体并作受力图；取质量为隔离体并作受力图； 6) 6) 根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力
6、平衡方根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方 程，此方程就是运动（微分）方程。程，此方程就是运动（微分）方程。 列平衡方程称刚度法列平衡方程称刚度法 2.1 2.1 建立建立运动方程的基本步骤运动方程的基本步骤 作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列作为本科学习，这里只讨论用达朗泊尔原理通过列 平衡方程得到运动方程的平衡方程得到运动方程的“ “直接平衡法直接平衡法” ”。以下讨论中。以下讨论中 一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。一律认为系统的阻尼是等效粘滞阻尼。 直接平衡法列方程的一般步骤为：直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 1) 确定体系的自由度确定体系的自由度质量独立位移数；
7、质量独立位移数； 2) 2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）；建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）； 3) 3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力；根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力； 4) 4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（ 注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）；注意：惯性力是实际的，但它不作用在质量上）； 列位移方程称柔度法列位移方程称柔度法 5) 5) 将动力外荷、惯性力、阻尼力作为将动力外荷、惯性力、阻尼力作为“ “外力外力” ”，按位，按位 移计算公式求各质量沿自由度方向的位移，其结果应移计算公式求各质量沿自由
8、度方向的位移，其结果应 该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。该等于未知位移（满足协调），由此建立方程。 2.2 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.1 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 例例-1) -1) 试建立图示结构的运动方程。试建立图示结构的运动方程。 h h mm EI EI P P( (t t) ) 解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产解：由于横梁刚度无穷大，结构只能产 生水平位移。设生水平位移。设x x坐标向右（右手系）。坐标向右（右手系）。 又设横梁（质量又设横梁（质量mm）位移为）位移为u u，以它为，以它为 隔离体，受力如图所示。隔离体，
9、受力如图所示。 P P( (t t) ) h h 列列x x方向全部力的平衡方程，即可得结构方向全部力的平衡方程，即可得结构 的运动方程为的运动方程为 图中图中F Fs1 s1和 和F Fs2 s2可由图是有位移法（实际 可由图是有位移法（实际 直接可由形常数）得到直接可由形常数）得到 2.2 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.1 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度 对称振动。设质量竖向位移为对称振动。设质量竖向位移为v v，向下为正。，向下为正。 将惯性力将惯性力f
10、 f I I 、阻尼力、阻尼力f f d d 如图所示加于梁如图所示加于梁 上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定上，根据达朗泊尔原理和阻尼假定 l l/2 /2 l l/2 /2 mm 例例-2) -2) 试建立图示抗弯刚度为试建立图示抗弯刚度为 EI EI 简支梁简支梁 的运动方程。（不计轴向变形）的运动方程。（不计轴向变形） l l/2 /2 l l/2 /2 f f I I f f d d P P( (t t) ) P P( (t t) ) 由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移 为为因此在所示因此在所示“ “外力外力” ”下，质量的位移为下，
11、质量的位移为 2.2 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.1 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 例例-3) -3) 试建立图示结构的运动方程。试建立图示结构的运动方程。 h h mm EI EI P P( (t t) ) 解：由于横梁刚度无穷大，结构只能解：由于横梁刚度无穷大，结构只能 产生水平位移。设质量产生水平位移。设质量mm位移为位移为u u，向向 右为正。根据达朗泊尔原理和假设的右为正。根据达朗泊尔原理和假设的 阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受阻尼力理论，加惯性力和阻尼力后受 力如图。力如图。 P P( (t t) ) h h 由超静定位移计算可得（如
12、图示意）由超静定位移计算可得（如图示意） h h 1 1 因此，外力下位移为因此，外力下位移为 显然，整理显然，整理 後结果和例後结果和例 -1-1）相同，）相同， k=k= -1-1 2.2 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.1 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度解：图示结构只能产生竖向位移，显然这是单自由度 对称振动。设质量竖向位移为对称振动。设质量竖向位移为v v，向下为正。，向下为正。 l l/2 /2 l l/2 /2 mm 例例-4) -4) 试建立图示抗弯刚度为试建立图示抗弯刚度为 EI EI 简支
13、梁简支梁 的运动方程。（不计轴向变形）的运动方程。（不计轴向变形） P P( (t t) ) 因此由所示因此由所示“ “外力外力” ”平衡可得平衡可得 1 1 R R P P( (t t) ) R R R R f f I I + + f f d d 利用对称性由（形常数）可得质量点利用对称性由（形常数）可得质量点 处所加支杆单位位移时的处所加支杆单位位移时的R R（= =？）。以？）。以 mm为隔离体，加上惯性力为隔离体，加上惯性力f f I I 、阻尼力、阻尼力f f d d 如如 图所示，根据达朗泊尔原理和阻尼假定图所示，根据达朗泊尔原理和阻尼假定 显然显然, ,整理後结果和例整理後结果和
14、例-2)-2) 相同，相同，k=k= -1-1 2.2 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.1 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 解：将惯性力解：将惯性力f f I I 、阻尼力、阻尼力f f d d 如图所示加于梁上，根据达如图所示加于梁上，根据达 朗泊尔原理和阻尼假定朗泊尔原理和阻尼假定 仅在仅在P P( (t t) )作用下作用下mm的位移由位移计算得的位移由位移计算得 l l/2 /2 l l/2 /2 mm 例例-5) -5) 若例若例-2)-2)简支梁动荷载作用在简支梁动荷载作用在3 3l/ l/4 4处处, , 试建立其运动方程试建立其运动方程
15、l l/2 /2 l l/2 /2 f f I I f f d d P P( (t t) ) P P( (t t) ) 由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移由位移计算可知，单位荷载下简支梁跨中竖向位移 为为 作业：作业： P P - -1 1 的的 物理意义物理意义 是什麽？是什麽？ 因此在所示因此在所示“ “外力外力” ”下，质量的位移为下，质量的位移为 2.2 2.2 运动方程运动方程建立建立举例举例 2.2.1 2.2.1 单自由度体系运动方程单自由度体系运动方程 解：设质量水平位移为解：设质量水平位移为u u，向右为正。，向右为正。 例例-6) -6) 试建立图示质量、弹簧、阻尼器抽试建立图示质量、弹簧、阻尼器抽 象化模型的运动方程。象化模型的运动方程。 因此由所示因此由所示“ “外力外力” ”平衡可得平衡可得 mm k k 以以mm为隔离体，加上惯性力为隔离体，加上惯性力f f I I 、阻尼力、阻尼力 f f d d 如图所示，此外还有弹簧的弹性恢复力如图所示，此外还有弹簧的弹性恢复力 f f e e 。根据达朗泊尔原理和阻尼假定。根据达朗泊尔原理和阻尼假定 c c mm P P(t)(t) P P(t)(t) f f I I f f e e f f d d 由这些例子显然可
