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1、年第期故学软学关于直觉和逻辑的三个微型实验 江苏省苏州市吴江盛泽中学 孙四周逻辑思维能力的培养一直是数学教学的表 访谈简记（归纳）重要 目标， 直觉思维能力是新课改刻意强调小学牛（廿人） 文盲汽中数学的新元素 那么， 它们之间的关系是怎样的、（共人） （共人）尼？ 人们更习惯于哪一种思维形式呢？为什么 因为它们都很圆 就是 （笑）还要说、 我们怎样认识圆和大象 是圆圆嘛由吗为了更清楚地弄清前述问题， 笔者设计为什么 因为只有半个圆 这两个 太明显了了下面的微型实验（共个） 选择了三个不同图 （ ）（ 人） ； 因为这 地方是 不符合完备的群体作为被试： 一个班的小学生（二年级，不是圆￥个，方尖
2、尖的 秃纯粹字的成年人（文盲 访谈中有两点令笔者深感意外，一是在判实验 ： 在一张纸上画满各种各样的简单断一部分图形是圆的时候， 三组人都不怎么平面图形，把下面的几个也混杂在里面， 请被考虑理由，但是其表现程度又不尽相同 小学试找出所有的圆，并对他们进行访谈生和文盲虽然实质上说的是“因为是圆所以是对于真正圆的指认， 所有的被试都没有产圆”这种语意反复， 总归还是想了个“理由”来生错误， 因此我们不再做分析此处只分析对回应测试者 高中老师非但自 己没有想理由 ，下面图形的选择结果（如图 ， 当然在测试卷上即使在追问之下仍然以反问句打哈哈，可能是只有图形而没有标注名称） 他们与测试者太熟， 但是最
3、主要还是他们根本没有想到测试者会向他们要理由 二是在判断（ 另一部分图形不是圆的时候（主要是上述四个 图） ， 小学生和文盲都在想方设法找理由 ， 因此也耗费了较长的时间 而高中教师几乎没有任賴巴的圆可義雌順，細、口规句“太明显了” ， 在测试者騰的眼神下才又不情愿似的说了句“不符合完备性或者纯粹性 獅到意外的原因是： 这三组人中高中含直径的半圆圆及其内部数学教师本应是最讲逻辑的，但他们却并没有图 先找理由再判断， 倒是小学生和文盲在仔细端表 实验结果 法点“很日月、 加显”则小学生和文盲也是不找理由的于是可（？） 以知道， 即使是对于数学概念的判断， 人们优 先使用的仍然是直觉，也更愿意使用
4、直觉 只人为图（） 圆有在直觉判断无法进行或者自 己感觉到直觉不认为图 （ ）是圆 可靠时， 才去寻找逻辑依据换句话说，当他寻认为图 （ ）是圆 找逻辑依据的时候，一定是对自己的直觉不太认为图 （）是圆丨自信的时候故学故学 年第 期当然，专业的数学工作者为了学术规范而结果是： 小学生和文盲会把篮球 、 足把研究成果以非常严密的逻辑体系呈现出来，球、“张大的嘴巴”选出来，有的还选出了鸡蛋不属于“不自信”， 而是一种职业自觉和苹果但是高中教师没有， 因为他们知道“圆如果远处走来一头大象， 即使看起来不太是平面图形” ， 而篮球、足球所代表的“球”是清晰， 我们也能一眼就认出它来靠的是什么空间几何体
5、在这一点上， 数学教师凭借专业呢？ 是直觉知识完胜小学生和文盲我们认识大象， 并不知道“什么是大象， （概问题是， 帮助数学教师取胜的是逻辑还是念）， 也不知道大象鼻子的长度、腿的粗度、 肚直觉？ 经过访谈， 笔者认为还是直觉 教师们子的面积等等， 但是我们的直觉让我们毫不犹很自然地反应出“圆是平面图形”，迅速地就把豫地就能辨认大象 如果和象群熟悉了 ，我们空间图形排除在外，也迅速地否定了鸡蛋、 苹还能立即区分不同的大象个体，以及判断它们果等？ 虽然可以认为这种排除法用的是逻辑思的年龄和健康状况等等？ 对于我们来说，这不维， 但是有两点理由断定他们用的是直觉思维：是什么稀奇的事 但是让计算机来
6、做这些事， 第一，他们都承认自己脑子中并没有一个推理就要费太大的周折， 还未必能够做好过程， 而是直接就判断了； 第二， 对于选出的圆 ，计算机只会进行逻辑判断，而没有直觉判他们并没有精确地去看一看是不是“到一个定断能力？ 如果让计算机从象群中认出大象杰 点的距离等于定值”？ 所有人都在用直觉进行西， 就要提供杰西的各项数据，让计算机逐项判断， 但是显现的结果不一样 显然，数学教师对照 只有当各项数据都符合条件了，它才能下结论 如果哪一天杰西在争斗中折断了一条结论 人们对一个概念进行辨析的时候象牙， 或者说它刚从烂泥塘里出来，满身都裹 首先用的是直觉， 直觉能力越强辨别概念的能着稀泥， 即使其
7、他所有方面都没有变化，计算￥机也会“翻脸不认象 ， 的 而我们人类从来不会 二、 怎样才算是“理解”了一个概念发生这样的问题， 即使相隔十多年小象长成了实验： 这是电脑视频呈现出的四个动态大象，原先熟悉它的人还是能一眼就认出它来？ 过程， 两个是用平面截立体， 另两个是空间运在这方面， 人类凭借直觉完胜计算机动， 其中两个是圆两个不是圆（如图） 和大象不同的是， 圆有严格的定义， 它的定义是“平面内到一个定点的距离等于定值的、点的轨迹 那么 ， 这个概念对我们认识圆有什）么样影响吗？、）对于纸上各种各样简单的平面图形（从实验 中排除上述的“千扰图形”再分析结果即可，不需要另做实验） ， 我们会
8、发现数学教师从中平面斜麵麵（） 平臓賴挑出 “圆”虽然不是难事，但是他们完成的速度丨并不比文盲更快， 完成的水平也不比文盲更高因为虽然他们是专业从事数学教学的，但是在 挑选圆的时候并没有用圆的定义去比对，而是靠直觉 而对于 的图形直觉， 他们并不比文做盲占优圆锥面运动（） 纸上的圆沿直径弯折实验： 提供的图形除了实验中的各种平 面图形外， 还有篮球、 足球、 鸡蛋、 苹果、 圆这一次测试的结果，小学生和文盲没有一柱、 圆锥、 金字塔、 月牙、 张大嘴巴的人脸等人是全对的 ， 他们都认为图 （） 的那个“纸上立体图像的圆沿直径弯折”仍然是圆而教师组仍然是年第期故学氟学全部的人都对， 而且所用的时
9、间也并不比前面完胜”，实质上是“对概念的直觉”完胜 “对表象的简单图形更长 与前次实验不同的是： 对于的直觉图 （ ） 不是圆，小学生和文盲还都能说出理由 ，再来看我们对极限的“ 定义” 的学习他们能感觉到楠圆的 “长和宽不一样但是对过程 会背它， 或者会用它证明一些具体函数于图 （） ， 不论判断是圆或者不是圆 ， 他们的极限问题， 还都不能说已经“理解”了它 只都不说理由 有当对它形成了直觉，能感知到和 在数轴由实验和实验可以看出 ， 如果面对复上紧密相随无限变小”的动感形象的时候，才杂的对象， 则是否掌握严格的“概念” ， 对判断算是理解了它 记得当年笔者的大学老师讲到力有显著的影响 这
10、个地方的时候， 用两只手掌相对在数轴上的这还不算， 接下来的问题才是作为教师的 一点处高频率地做切割动作， 那种急切和期待，笔者更感兴趣的 笔者试图让小学生和文盲把脸都憋得通红现在笔者知道他的眼里是有们“学会”圆的概念并用以判断， 笔者也好趁此直觉的， 而我们当时不明白， 所以他老人家有机会贴近观察他们的学习过程就是这么一个点着急 后来笔者看到专家的研究， 对“定非常简单的概念教学， 却让笔者遇到了出乎意义”建立起直觉是在用它证明复合函数的连料的状况 小学生还愿意背圆的定义，也能用续性以后， 即在一个证明中两次套用定圆规画出一个圆， 并认为随手画的不是圆 但义” （其中有和 的颠倒使用）以后，
11、 时间上要是他们在做了所有这些以后 ， 仍然会坚持“纸等到大三这样，粗算起来距离我们背诵它已上的圆沿直径弯折”后还是圆 文盲组则根本经有两年多时间了， 这期间我们用它解题的次不理踩笔者说的什么概念， 他们坚持（） 就是数也记不清了，总之还是经常用的圆， 对于“圆折一折就不是圆”他们根本不接受，结论 要自 由地应用一个概念，就必须等我想再次解释时，他们甚至生气了：“那其实对这个概念形成直觉就是你说是就是， 你说不是就不是 在这里笔者想再举一个例子来说明这个文盲不愿意听定义是情理之中的，不过他结论，就是对“形状相同”这个概念的学习过们的那句气话倒是直击“定义”的本质 从本质程 根据 爱尔兰根纲领
12、， 几何学就是研究上看， 下定义就是“你说是就是，你说不是就不变换群下不变性质的学科， 由此就导致“形状是” （ 当然不是无原则地瞎说 笔者理解他们， 相同”的概念在不同的变换群下具有不同的含尊重他们依据直觉所进行的判断下面专门谈义比如在欧氏空间中，全等的两个图形是“形一下小学生的学习过程和学习结果状相同”的； 在相似变换下， 相似的两个图形小学生其实在短时间内达到了三个知识是“形状相同” 的； 在拓扑变换下，三角形、 多与技能目标： 一是会背圆的定义；二是会构造边形、 圆都是“形状相同” 的 对于这个概念的正例（用圆规画圆）；三是会举反例（知道随手画认识， 只会背定义是远远不够的，必须形成直
13、的那个不是圆） 如此说来， 他们应该“理解”了觉 到了这个程度才算是初步“认识” 了这个概圆的概念 但是为什么仍坚持“折过的圆还是念， 才有可能应用它圆”， 而且毫不犹豫呢 ？那是因为他们没有用三、 直觉和逻辑的对立统逻辑来判断， 用的仍然是直觉， 出错也是因为“数学概念是事物在数量关系和空间形式他们还没有形成正确的直觉“纸上的圆沿直方面的本质属性， 是在数学研究对象的诸多径弯折”后， 只有“平面内”这一个条件被破坏属性中抽出其本质属性概括而成的” 作为了 ， 其他条件都没变 而“平面”是一个原始概概括的结果形态，概念把多个因素融合在一起念，所有的原始概念都只能靠直觉感知 小学形成内涵， 把多
14、个个体归类在一起形成外延生对“平面”没有直觉，因此也就无法对圆的概比如“圆” 的概念就综合了 “平面内 、 定点 、 动念形成直觉， 他们对圆的直觉只是对圆的“表点、 距离、 定值、 集合”等多个要素， 它们被象的直觉”，这就是他们和高中数学教师的差整合成一个新的整体而成为“圆概念”的内涵距前文所说的“高中数学教师凭借专业知识符合这个内涵的所有个体都被这一个概念归属故爭篆学年第期在一起， 而成为“圆概念” 的外延 一个概念的若是素数， 则因不同于，？ ？ ？，形成， 就等于形成了一个新的认识模块 人们 中的任一个，说明 ， ， ， ， 之外仍有素用这个模块浓缩了一个思维过程，整合了一大数， 与假设矛盾；类分散的个体 当人们把这个模块运用到新的 若不是素数，则它一定会有一个素因思维过程的时候， 就跳过了被这个概念所蕴含数，不妨设为，而除以 ， ，
