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1、,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题,罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理,泰勒公式,推广,微分中值定理的应用与技巧,基本概念、内容、定理、公式,一、罗尔( Ro le )定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,中值定理,一、罗尔( Rolle )定理 y= f(x) 满足: (1) 在区间 a, b 上连续 (2) 在区间 (a, b) 内可导 (3) f( a) = f( b),在( a, b) 内至少存在一点 , 使 f() = 0. 证:因 f(x) 在a , b上连续，故在 a, b上取得最大
2、值 M和最小值 m. 若 M= m,则 f(x) M, xa, b , 因此 (a, b), f() = 0 .,b x,y,o,a,y= f(x),机动 目录 上页 下页 返回 结束,若 M m,则 M和 m中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M f(a) , 则至少存在一点 (a,b), 使,f() = M, 则由费马引理得 f() = 0. 注意: 1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立. 例如,0 x 1 0, x= 1 y,f(x) = x,x,1,y,o,x1,1,f(x) = x,f(x) = x y x0,1 o,x,1 o 1,x,1,机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、,lim f(x) = lim f(x) xa+ xb 在( a, b) 内至少存在一点 , 使 f() = 0.,2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为,y= f(x) 在 ( a, b) 内可导, 且,证明提示: 设 F(x) =,证 F(x) 在 a, b 上满足罗尔定理 .,f(a+ ), x= a f(x), a x b f(b ), x= b,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理 y= f(x) 满足: (1) 在区间 a, b 上连续,(),(2) 在区间 ( a, b) 内可导,至少存在一点 (a,b) , 使 f() = f(b) f(a).,b a,
4、a ,b x,y,o,y= f(x),思路思路思路思路: 利用逆向思维逆向思维逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 , (x) 在 a, b 上连续 , 在 ( a, b) 内可导, 且 (a) = bf(a) af(b) = (b), 由罗尔定理知至少存在一点,证: 问题转化为证,(x) = f(x) f(b) f(a) x,b a,b a (a,b), 使() = 0, 即定理结论成立 . 证毕,拉氏 目录 上页 下页 返回 结束,= 0,f(b) f(a),f() ,b a,三、柯西(Cauchy)中值定理,= 0,f(b) f(a) F() f() F(b)
5、 F(a),(),分析: F(b) F(a) = F()(b a) 0,f(x) 及 F(x) 满足 : (1) 在闭区间 a, b 上连续 (2) 在开区间 ( a, b) 内可导 (3)在开区间 ( a, b) 内F(x) 0,至少存在一点 (a,b) , 使,f(b) f(a) = f() .,F(),F(b) F(a),a b,要证,(x) = f(b) f(a) F(x) f(x) F(b) F(a),柯西 目录 上页 下页 返回 结束,证: 作辅助函数,( ) ( ),F(b) F(a),(x) = f(b) f(a) F x f x,则(x) 在a,b上连续, 在(a,b)内可导
6、, 且 (a) = f(b)F(a) f(a)F(b) = (b) F(b) F(a) 由罗尔定理知, 至少存在一点 (a, b),使 () = 0, 即 f(b) f(a) = f() .,F(),F(b) F(a),思考: 柯西定理的下述证法对吗 ? f(b) f(a) = f()(b a), (a, b) F(b) F(a) = F()(b a), (a, b),两个 不 一定相同,错!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上面两式相比即得结论.,罗尔定理,f() = 0,y y= f(x) o a b x,F(),f(b) f(a) = f(),F(b) F(a),b a,f() =
7、f(b) f(a),拉格朗日中值定理,f(a) = f(b),f(a) = f(b),F(x) = x,)n+1, x x0,(n+1) ( )(,+ (n+1)! f,1,柯西中值定理,F(x) = x,y y= f(x) o a b x,泰勒中值定理,f(x) = f(x0 ) + f(x0 )(x x0 ),(n) n,+ + n! f,(x0 )(x x0 ),1,n= 0,几个中值定理的关系,证明中值定理的方法,辅助函数法,直观分析,逆向分析,例如, 证明拉格朗日定理 : f(b) f(a) = f()(b a) 要构造满足罗尔定理条件的辅助函数 . y = f(x),方法1. 直观
8、分析 由图可知 , 设辅助函数,o a,y,x x+ C,b,y =,f (b) f (a) ba,F(x) = f(x) f(b) f(a) x C b a (C为任意常数 ),方法2. 逆向分析,f(b) f(a) = f()(b a),要证 即证,f() f(b) f(a) = 0 b a F(),F(x) = f(x) f(b) f(a) b a 原函数法 F(x) = f(x) f(b) f(a) x b a 辅助函数,同样, 柯西中值定理要证,(a, b),f(b) f(a) = f() ,g(),g(b) g(a),即证,f() f(b) f(a) g() = 0,g(b) g(
9、a),F(x) = f(x) f(b) f(a) g(x) g(b) g(a) 原函数法,F(x) = f(x) f(b) f(a) g( x) g(b) g(a),设,* 中值定理的条件是充分的, 但非必要. 因此,可适当减弱. 例如, 设 f(x) 在(a,b) 内可导,且 f(a+ 0) = f(b 0),则至少存在一点 证: 设辅助函数,(a,b), 使 f() = 0 ., f(b 0) ,F(x) = f(x) , f(a+ 0), x= a a x b x= b,显然 F(x)在a,b 上连续, 在(a,b) 内可导, 由罗尔 定理可知 , 存在一点(a,b), 使 F() =
10、0 , 即 f() = 0 .,* 中值定理的统一表达式,设 f(x), g(x), h(x) 都在,a,b上连续 , 且在 (a,b),内可导, 证明至少存在一点 (a,b),使,f() g() = 0 h(),f(b) g(b) h(b),f(a) g(a) h(a),证: 按三阶行列式展开法有,f() g() = h(),f(b) g(b) h(b),f(a) g(a) h(a),h(b) f(),g(a) h(a),g(b),( ),h(b),f(a) h(a),f(b) g +,f(b) h(),g(b),f(a) g(a),利用逆向思维设辅助函数,f(a) f(b) f() g(a
11、) g(b) g(a) g(b) g() = h(a) h(b) f() h(a) h(b) h() f(a) f(b) g + f(a) f(b) h() h(a) h(b) ( ) g(a) g(b),F(x),( ) f(b) f(x) g(b) g(x) h(b) h(x),h(b),f(a) h(a),f(b) g x,g(b) f(x) ,f(a) ( ) = g(a) h(a),f(a) g(a) g(b),f(b) h x,+,显然 F(x) 在a, b 上连续 , 在 (a, b)内可导, 且 F(a) = F(b) = 0 , 因此,由罗尔定理知至少存在一点, (a,b), 使 F() = 0 ,h(a) h(b),= g(a),即 f(b) f() g(b) g() = 0 h(b) h(),f(a) g(a) h(a),F() =,说明 若取 h(x) 1, g(x) = x, f(a) = f(b) ,即为罗尔定理;,设 f(x), g(x), h(x) 都在 (a,b) 上连续 , 且在a,b,内可导, 证明至少存在一点 (a,b),使,f() g() = 0 h(),f(a) f(b)
