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1、第八届全国振动理论及应用学术会议论文集，上海，2003 年 11 月 用子波谱与有限元耦合求解声振耦合的声响应 用子波谱与有限元耦合求解声振耦合的声响应 文立华 1，张京妹2，王卫祥1 （1西北工业大学振动工程研究所；2西北工业大学自动系，西安市 710072） 摘摘 要： 要： 在轴对称有限元和轴对称 Helmholtz 边界积分方程子波谱方法的基础上，建立了轴对称弹性体 结构声振耦合的边界子波谱与有限元耦合的声响应求解方法，该方法能处理任意边界条件。它将轴对称声振 耦合的三维问题简化为二维问题。频率响应函数的计算效率一直是人们关心的问题，本文通过用级数展开积 分方程中的积分核函数，建立了频
2、率响应函数计算的频率迭代算法。算例表明：提出的方法能有效的处理轴 对称问题，计算简单，精度良好，大大提高了计算效率。 关键词： 关键词： 子波; 有限元；轴对称；声振耦合；频率响应 Application of Coupled Finite Element and Wavelet Boundary Spectral Method to The Solution of Structural-acoustic Coupling of Axisymmetric Bodies WEN Li-hua1, ZHANG Jing-mei2, WANG Wei-xiang1 (1. Institute of
3、Vibration Engineering, Northwestern Polytechnical University, Xian 710072; 2. Department of Automatic Control, Northwestern Polytechnical University, Xian 710072) Abstract: The coupled FEM-BEM method is a conventional means of solving fluid-structure interaction problems. However, traditional bounda
4、ry element methods with a full matrix equation，which solution has a high computational cost， have been met by a challenge in a large-scale scientific computation and numerical simulation in engineering. Use of wavelets as basis functions in the solution of integral equations has both the advantages
5、of the spectral methods and a spare matrix system which can be solved rapidly by spare solvers. In this paper, on the basis of axisymmetric finite element method 基金资助：国家自然科学基金资助项目(10274059) 作者简介：文立华（1964-） ，男，湖南人，副教授，博士 1 and the new wavelet approaches that authors have presented for solving Helmhol
6、tz integral equation, coupled finite element and wavelet spectral method is formulated for solving sound-structure interaction of axisymmetric elastic bodies with arbitrary boundary conditions. The coupled system has a spare interaction matrix and reduces a three-dimensional formulation to a one-dim
7、ensional that along the generator of the body. How to improve the computational efficiency of frequency-response functions in structural-acoustic coupling is still a difficult problem. In the new technique, the iterative technique of frequencies is proposed for evaluating frequency-response function
8、s through expanding the integral kernel in Taylor series in integral equation. The results from the new technique show that it has highly computational efficiency and good accuracy. key words: Wavelet; finite element; Axial symmetry; sound-structure interaction; frequency-response 1 引言引言 有限元-边界元耦合是求
9、解声振耦合较为流行的方法。但是，由于边界元方法的系数矩阵是非对 称满阵，因而传统的边界元方法在今天的大规模科学计算和工程数值模拟中受到了挑战。边界积分 方程中的积分算子是全局算子，全局近似技术比用低阶插值的边界元方法有更高的收敛性和精度， 因而用高阶多项式或级数逼近的谱方法求解边界积分方程受到重视1。子波分析在积分方程求解方 面取得了重要进展。由于子波具有紧支集和高阶消失矩特性，使得求解积分方程中的满系数矩阵变 为稀疏矩阵 2，3，因此用子波求解边界积分方程，既具有谱方法的优点，又能用稀疏矩阵求解，因而 能大大提高求解工程问题的效率和规模。 本文将在轴对称壳体有限元和作者发展的轴对称Helmh
10、oltz边界积分方程的子波谱方法 2，3的基 础上，建立轴对称弹性壳体结构声振耦合的边界子波谱与有限元耦合的声响应求解方法。频率响应 函数的计算效率一直是人们关心的问题，本文将通过用级数展开积分方程中的积分核函数，建立频 率响应函数计算的频率迭代算法。 2 边界子波谱方法边界子波谱方法2,3 声学中旋转轴对称体的积分方程形式为： +=+ d),()(d),()()( l inlllll QPGQQPGQPC (1) 其中： = 2 0 2 , 1 , 0 dcos 4 )jexp( ),(Lll r rk QPG Ql (2) 式中：C为常数；l， 分别表示速度势和它对边界表面Q点外法线导数的
11、傅立叶级数的第l项系数； lin 为入射声波速度势的傅立叶级数的第l项系数； r为场点P和源点Q之间的距离；k为波数；Q为 轴对称体Q点的回转半径；l为展开的傅立叶级数的阶。将（1）式中的边界变量沿曲线，用子波gk 展开2,3： l d),()(d),()()(in 12 0 12 0 l k k lkk k lkk dQPGQgcQPGQgPgC mm += = = (3) 式中：ck，dk为展开系数。将（3）式写成矩阵形式： Ac=Bd+i (4) 2 其中：c，d分别是由ck，dk 组成的列向量； i为 2m个in点组成的列向量；A，B矩阵的元素 具体表达式见参考文献2，3。式（4）也可
12、以写成以边界物理量u，q为未知数的代数方程： Hu=Gq+ui (5) 其中， u，q分别为l(P） ，l (P)组成的列向量。 （5）式与通常的边界元有相同的形式，将边 界条件代入即可求解边界未知量。式（4） 、 （5）的特点是将边界元的满系数矩阵变为大量稀疏的系 数矩阵，有较高的计算效率和精度。 3 有限元与子波谱方法的耦合有限元与子波谱方法的耦合 轴对称结构有限元形式如文献4，置于流体中的结构附加上流体载荷有： llllllll fTpyKyCyM=+& & (6) 式中：上标 l 表示第 l 阶调谐分量；M、C、K 分别表示结构的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵；p 表示结构表面作用的声压
13、；f 表示作用在结构上的外载荷；分别为结构上的位移、速度和加速 度；T 为变换矩阵。在频域中，式（6）为： yyy& & &, , llllll TPFYKCjM=+)( 2 (7) 相应(5)式写为声压形式，并考虑入射声压Pin有： 2 in llll PYGPH+= (8) 式中： P为声压；表示流体密度；式（7） 、(8)写成矩阵形式： 2 2 = + in l l l ll lll P F P Y HG TMCjK (9) 式（9）便是声与结构耦合的矩阵形式。也可以写成另外两种形式，一种以声学变量为未知量： )( in lll PDFPDTH+=+ (10) 式中： )( 122 +=
14、 llll KCjMGD (11) 另一种以结构位移为未知量，在此略去。 4 频率响应计算频率响应计算 在声响应计算中，往往要在一个较宽的频带内求解频率响应。由于在声的系统方程中，系数矩 阵是频率的函数，因而每计算一个频率点的响应，都必须重新计算系数矩阵，所以，计算效率特别 低。在边界元方法中，目前除了频率插值技术外，还没有其他的方法可用。如何提高求解声频率响 应的效率仍然是一个难题。频率插值技术仅适用于边界元的常元方法。为了提高频率响应的计算效 率，在边界谱方法中，把积分核函数用级数展开，通过频率迭代方法求解声系统中的系数矩阵，可 大大提高计算效率。 在三维边界积分方程中，积分核函数的形式为
15、： 3 j r e E kr = (12) 式中k为波速。当选取较小的频率间隔k，这时k=k0+k。上式中的指数函数可表示为： jj)( jj 00 krrkrkkkr eeee + = (13) 将 展开成泰勒级数，例如取前三项，得一组以下方程： krj e 2 j 1 2 j j 0 = rk k r e r e rk kr (14) 从上面的级数可以看出， 如果k取得较小， 级数的收敛速度很快。 分别以 ， ， ， 为积分核函数形成的矩阵记为G，G1，G2，G3。以频率间隔k，可导得这些系数矩阵的 kr re j re krjkr e j kr er j2 迭代计算形式： 02 2 010 2 jG k kGGG
