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1、 第三章 实体运动数学模型 第三章 实体运动数学模型 3.1 引言引言 实体运动的数学模型就是描述实体运动的数学表达式，即描述实体的运动变量、外 力、物理特性之间的复杂的数学方程。在当今飞行力学中，一般用矢量矩阵方法推导鱼 雷运动的数学模型。这一方法不仅使运动数学模型的推导与表达十分简洁，而且是飞行 动力学数值计算的理想方法。 矢量矩阵法基于矢量可用来表示独立于坐标系客观存在的 一些物理量。其基本思想是，首先根据质点系动力学基本原理和运动学关系用不依赖与 坐标系的矢量(还有标量)表示各种物理量之间的关系，然后对于具体的求解问题选用合 适的坐标系，建立矩阵形式的运动方程，最后展成标量形式的运动方
2、程17。 3.2 坐标系的定义及坐标系之间的关系坐标系的定义及坐标系之间的关系 鱼雷在空间的运动，可以看做质心的运动和鱼雷绕质心的转动二者的合成。要建立 描述鱼雷运动的方程，需要定义一些坐标系，由于选择不同的坐标系所建立的鱼雷运动 方程组的形式和复杂程度会有所不同。因此选用合适的坐标系是很重要的。 3.2.1 常用坐标系的定义常用坐标系的定义 在定义坐标系及鱼雷运动参数中，假设： (1)大地是平坦的平面，即不考虑大地的曲率和自转，于是大地坐标系就成为惯性坐 标系。 (2)流体介质相对大地是静止的， 于是鱼雷相对地面的速度同相对流体介质的速度是 一致的，都称为鱼雷航行速度。 1.大地坐标系 大地
3、坐标系(Ogxgygzg,记为 Sg)固连于大地， 原点 Og跟鱼雷发射离管瞬时的本体坐标 系的原点 O 重合，轴 xg在水平面内指向发射方向，轴 xg铅垂向上，轴 xg按右手法则确 定。大地坐标系主要用来作为确定鱼雷质心位置和空间姿态的基准。 在研究各坐标系之间的关系时，还要用到平动坐标系 Oxgygzg记为 Sg。其原点始 终与本体坐标系原点 O 重合，其 3 轴 xg、yg、zg始终分别平行于大地坐标系的 3 轴 xg、 yg、zg。 2.本体坐标系 本体坐标系(Oxbybzb,记为 Sb)固连于鱼雷本体，原点 O 为鱼雷质心在 xb轴上的投影 点，轴 xb称为纵轴，沿鱼雷结构纵轴，指向
4、鱼雷头部，轴 yb称为竖轴，在鱼雷对称平 面内，并垂直于 xb轴，指向上方，轴 zb称为横轴，垂直于对称平面，指向右方。 3.速度坐标系 速度坐标系(Oxayaza,记为 Sa)是同鱼雷航行速度矢量和鱼雷本体相联系的坐标系， 原 点 O 始终跟本体坐标系原点 O 重合，轴 xa沿鱼雷航行速度矢量 V，指向前方，轴 ya在 鱼雷对称平面内，并垂直于 xa轴，指向上方，轴 za垂直于平面 Oxaya指向右方。 11 4.航迹坐标系 航迹坐标系(Oxhyhzh,记为 Sh)是由鱼雷速度矢量决定的， 同本体坐标系无关， 原点 O 始终跟本体坐标系原点 O 重合，轴 xh沿鱼雷航行速度矢量 V，指向前方
5、，轴 yh在鱼雷 铅垂平面内，并垂直于 xh轴，指向上方，轴 zh垂直于平面 Oxhyh平面，指向右方。 以上定义的 4 种坐标系中，后面的 3 种都是活动坐标系，它们相对于大地坐标系有 不同的转动运动。 3.2.2 常用坐标系之间的几何关系常用坐标系之间的几何关系 鱼雷在运动过程中，作用在其上的力包括流体动力、推力、重力等。一般情况下各 个力分别定义在上述不同的坐标系中。要建立鱼雷质心运动的动力学方程，必须将分别 定义在各坐标系的力变换到某个选定的、能够表征鱼雷运动特征的坐标系中，几个坐标 系的关系如图 3-1 所示。 1.本体坐标系和大地坐标系之间的关系 本体坐标系和大地坐标系的关系通过
6、、 三个欧拉角来确定。这三个角度分别 为： (1)偏航角 ：鱼雷纵轴 xb在水平面 Ogxgzg上的投影与 xg轴之间的角度，如果按右 手法则绕轴 yg从轴 xg转到该投影线，则 为正。 (2)俯仰角 ： 鱼雷纵轴 xb与水平面 Ogxgzg之间的角度， 当 xb轴偏向上方时， 为在。 (3)横滚角 ：鱼雷对称平面 Oxbyb同包含轴 xb的铅垂平面之间的角度，如果按右手 法则绕轴 xb从铅垂面转到鱼雷对称平面，则 为正。 2.航迹坐标系和地面坐标系之间的关系 这两个坐标系之间的位置关系由航迹倾角 和航迹偏角 s来决定。分别为： (1)航迹倾角 ：航行速度矢量 V 同水平面 Ogxgzg之间的
7、角度，当 V 偏向上方时 为正。 (2)航迹偏角 s：航行速度矢量 V 在水平面上的投影同轴 xg之间的角度，如果按右 手法则绕轴 yg从轴 xg转到该投影线，则 s为正。 3.速度坐标系与本体坐标系之间的关系 这两个坐标系之间的位置关系由一下两个角度来决定： (1)攻角 ：航行速度矢量 V 在鱼雷对称平面上的投影同纵轴 xb之间的角度，当投 影线偏向纵轴的下方时，攻角 为正。 (2)侧滑角 ：航行速度矢量 V 同鱼雷对称平面之间的角度，如果 V 偏向右侧，则 为正。 4.航迹坐标系与速度坐标系之间的关系 速度坐标系 Oxayaza与航迹坐标系 Oxhyhzh之间的方位只相差一个角度 s。 绕
8、航行速度矢量V的横滚角s： 速度坐标系的平面Oxaya同航迹坐标系的平面Oxhyh 之间的角度，如果按右手法则绕航行速度矢量 V 从铅垂平面 Oxhyh转动到平面 Oxaya， 则 s为正。 12 Sh SbSg Sa s s 、 图 3-1 坐标系之间的几何关系 Fig3-1 the relation of the coordinates 3.3 鱼雷数学建模鱼雷数学建模 鱼雷在水下空间的数学模型是由它的运动方程来描述的。 鱼雷一般的运动方程由鱼 雷质心运动的动力学方程与运动学方程、 鱼雷转动的动力学方程与运动学方程以及几何 关系方程组成。在鱼雷运动过程中，作用在鱼雷上的外力包括：原静止的无
9、界流的流体 动力(简称流体动力)、浮力、重力、波浪干扰力以及艇首绕流产生的附加流体动力等。 建立鱼雷的一般运动方程需要基于一些基本的假设： (1)将大地视为平面，即不考虑大地的曲率和自转，于是大地坐标系就成为了惯性 参考体。 (2)将鱼雷视为水下 6 自由度运动的常量刚体，即不考虑鱼雷结构的弹性变形和鱼 雷内部活动机构的影响。 (3)假设流体介质是平静的，即不考虑海流及波浪的影响。 鱼雷的一般运动方程中， 决定运动变化同外力之间的关系的动力学方程是鱼雷一般 运动方程的主体， 决定运动变量之间关系的运动学方程是为求解动力学方程所作的必要 准备，而几何关系是求解鱼雷一般运动方程的补充方程。下面将描
10、述 B-B 体系鱼雷一般 运动方程16。 3.3.1 鱼雷动力学方程鱼雷动力学方程 1.鱼雷质心运动动力学方程 用动量定理来求质心运动方程，但是对于水下物体，涉及到流体惯性力后，在航迹 坐标系中的处理比较困难，本文中是在本体坐标系中建立质心运动方程，表达式如下： . . 22 . sin ()coscos cossin z zyxyx z xxzy x yxxyz mu mhmvmmhRP mv mummhRP mmhmumvmhRP += += +=+ (3.1) 13 2.鱼雷绕质心转动动力学方程 . . . 22 JJ()J cossin JJ()J cossin J()J () cos
11、sinsin xy xxyzyxyxyxy xyRx yx yxyxzxzxyxz RyB z zyxxyxyyx xyRxB mhJJ mhvmhuMhG JJ MX B mhuJJ mhvmhMX BhG + += += + + +=+ (3.2) 3.3.2 鱼雷运动学方程鱼雷运动学方程 研究鱼雷质心的运动学方程和绕质心转动的运动学方程， 目的是为了确定质心在每 一瞬间的坐标位置以及鱼雷相对于大地坐标系的瞬时姿态。 1. 鱼雷质心运动的运动学方程： . . . (coscos )(sinsincossincos ) (sincoscossinsin ) sin(cossin )(coss
12、in ) ( sincos )(cossinsinsincos ) (coscossinsinsin ) g g g xuv yuv zuv =+ + =+ = + (3.3) 2. 鱼雷绕质心转动的运动学方程： . . . tan (cossin ) sec (cossin ) sincos xyz yz yz = = =+ (3.4) 3. 鱼雷参数几何关系方程： 222 tan sin Vuv v u V =+ = = (3.5) 以上公式中 J 表示惯量张量，Rx、Ry、Rz、M Rx、M Ry、M Ry分别表示流体动力、 力矩在本体坐标系中的分量。G 表示鱼雷重力。以上 5 个公式共
13、 15 个方程构成了鱼雷 一般运动方程。给定 12 个初值条件就存在唯一解，只要选择适当的数值求解方法和合 理的计算步长，就可以获得该方程的数值解。 14 3.3.3 控制关系方程控制关系方程 在鱼雷的运动方程中，由于舵角的运动规律是未知的，所以必须给出控制规律才能 使方程封闭， 即需要知道纵向、 横向和横滚控制方程。 本文中采用如下形式的控制方程。 17 横向控制 rrr Tk += (3.6) 横滚控制 d k= (3.7) 纵向控制 123e D yD yD y=+ (3.8) 其中T为舵机的时间常数，而 r k 、 1 D 、 2 D 、 3 D 都是传递参数。 但是当鱼雷不在一个平面
14、内运动时， 需要纵倾控制装置来操纵鱼雷以一定的俯仰角 上爬或下潜，并保持鱼雷航行过程的稳定性，这时纵向控制方程通常采用如下形式 e k= (3.9) 其中式(3.9)的控制性能较好，但是需要有测量角速度的元件。 3.4 潜艇运动模型潜艇运动模型 3.4.1 潜艇航迹模型潜艇航迹模型 研究潜艇的运动模型主要是为了研究其航迹， 因为潜艇的航迹就反映出其作战活动 的情况。潜艇的运动模型主要有两个过程来表述，包括直线运动和规避障碍物的运动。 根据 3.2 节中对几种坐标系的描述，在本体坐标系中运动实体的位置和方位可表示为 (x,y,z,p,q,r) 18。 为了计算的方便， 本文中假设潜艇在水平移动时俯仰角和滚转角都是零， 及 q=0，r=0。也即是忽略了水流对潜艇运动方位的影响。 1.直线航迹模型 在潜艇的直线航行过程中，用下面的公式来计算其每个周期的坐标参数： 2 2 1 (0.5)sin (0.5)cos iiiw i iiiw xxvta tC ykC zyvta tC =+ + = =+
