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1、信息论基础 第4章 抗干扰二元编码 韩宇辉 *1 第4章 抗干扰二元编码 4.1 抗干扰二元编码的基本概念 4.2 检错码 4.3 用于单向信道的简单纠错码 4.4 纠一位错误的汉明码 4.5 循环码 4.6 纠正独立错误的卷积码 4.7 纠正突发错误的编码 4.8 有限域的基本知识 Date 2 4.1 抗干扰二元编码的基本概念 *3 4.1.1 抗干扰编码的基本思想 00 01 10 11 0 0 1 1奇校验 抗干扰编码的基本思想： 利用剩余的增加来换取可靠性的提高 信息元监督元 许用码字：系统实际使用的码字。 001,010,100,111 禁用码字：系统中不使用的码字。 000,01
2、1,101,110 Date 4 4.1.2 几个定义 码距（汉明距离） W =x1 x2 xn xi 0,1 W=x1x2xn xi 0,1 最小码距（最小汉明距离） 一个码组（码字）集合中，两码字间的最小距离 dmin称为该码字集合的最小距离，简称最小码距。 码重（汉明重量） 码组中所含码元“1”的数量，称为该码组的重量，简 称码重。 Date 5 4.1.3 最小码距与纠检错能力的关系 1.译码准则 X:x1, x2, , xn Y:y1, y2, , ym P(Y/X):p(yj/xi); i=1,2,n; j=1,2,m 这时定义一个收到yj后判定为xi的单值函数， 即： F(yj)
3、=xi (i=1,2,n; j=1,2,m)； 这个函数称为译码函数。它构成一个译码函数组，这 些函数的值组成了译码准则。 对于有n个输入，m个输出的信道来说，可以有nm 个不同的译码准则。 Date 6 2.最小码距译码准则 若 d(x*j,yj) d(xi,yj) (对一切的i)，则F(yj)=x*j (j=1,2,m， x*j X ) 3.最小码距与纠检错能力的关系 【例】 X：0000000,1111111， dmin=7 检错能力： 发送码字： 接收码字： 判断结果： 纠错能力： 发送码字： 接收码字： 译码结果： 0000000 0000000 0000000 0000000 10
4、00000 0000000 1100000 0000000 1110000 1111111 1111000 1111111 1111100 1111111 1111110 1111111 1111111 0000000 最多可以发现6位错误 0000000 传输正确 最多可以纠正3位错误 1000000 传输错误 1100000 传输错误 1110000 传输错误 1111000 传输错误 1111100 传输错误 1111110 传输错误 1111111 传输正确 Date 7 纠错同时检错的能力 纠正1位错误： 发送码字： 接收码字： 判断结果： 译码结果： 纠正2位错误： 发送码字： 接
5、收码字： 判断结果： 译码结果： 0000000 00000001000000110000011100001111000111110011111101111111 0000000 最多可以同时发现5位错误 0000000 传输正确 1000000 传输错误 1100000 传输错误 1110000 传输错误 1111000 传输错误 1111100 传输错误 1111110 传输错误 1111111 传输正确 最多可以同时发现4位错误 0000000 0000000 不进行译码不进行译码不进行译码不进行译码1111111 1111111 传输正确 传输错误 传输错误 传输错误 传输错误 传输错
6、误 传输错误 传输正确 0000000 0000000 0000000 不进行译码 不进行译码1111111 1111111 1111111 Date 8 若发现e个错误，则要求 dmine+1; 若纠正t个错误，则要求 dmin2t+1; 若纠正t个错误，同时发现e个错误， 则要求 dmint+e+1 （ te ） Date 9 4.1.4 抗干扰编码的基本原理 1.原理： dmin与纠检错能力的关系 2.实现方法：信息元+监督元 3.代数编码：信息元与监督元是按一定的代数关系 互相制约的。 (1)分组码（块码） k信息位长度 n码长 r=n-k监督位长度 特点：无记忆性 (n,k)分组码的
7、码率（编码效率）： =R/C=H(A)/Hmax(A)=k/n 逻辑网络 1 2 k 1 2 n . . . . . . Date 10 分组码按其结构可以分为系统码和非系统码。如 果在一个分组码码字中，信息元安排在前k位，而 监督元安排在后n-k=r位，则称其为系统码，否则 就称为非系统码。 (2)卷积码（连环码） m=m+1编码器的约束长度 或编码约束长度 n=n0m卷积码的约束长度 特点：有记忆性，输出不仅与当时的输入有关，还 与前m个单位时间的输入有关。 (n0,k0,m)卷积码的码率（编码效率）：=k0/n0 时序网络 1 2 k0 1 2 n0 . . . . . . Date 1
8、1 4.抗干扰编码的分类 (1)用途：检错码和纠错码 (2)干扰的性质： 纠正独立错误的编码和纠正突发错误的编码 p 独立错误也称为随机错误，是由随机噪声引起的 ，其特点是各码元发生错误与否是互相独立的，因 而一般不会成片地出现错误。 p 突发错误是由突发噪声（脉冲噪声、深衰落、接 触不良引起噪声等）引起的，其特点是各码元是否 发生错误存在某种相关性。通常称突发错误持续时 间内的码元数目为突发长度。 (3)对信息的处理方式：分组码和卷积码 (4)约束关系：线性码和非线性码 (5)信息元的位置：系统码和非系统码 Date 12 5.差错控制系统的分类 (1)ARQ(Automatic Repea
9、t reQuest)自动反馈重传 采用检错码，接收端收到码字后判断在传输中有 无错误产生，并通过反馈信道把检测结果告诉发 送端。发端把收端认为有错的消息再次传送，直 到收端认为正确为止。 优点：译码设备简单，由于同一种码的检错能力比 纠错能力要高得多，因而整个系统能获得极低的 误码率。 缺点：应用ARQ方式必须有一条从收端至发端的反 馈信道，只适用于点对点的方式，并要求收、发 两端必须互相配合，其控制电路比较复杂，实时 性也较差。 Date 13 (2)FEC(Forward Error Correction)前向纠错 采用纠错码，接收端收到码字后，自动地纠正传 输中的错误。 优点：不需要反馈
10、信道，既适用于点对点的方式， 也适用于点对多点的方式，实时性较好，控制电 路也比较简单。 缺点：译码设备较复杂，编码效率较低。 (3)HFC(Hybrid Error Correction)混合纠错 是前两种方式的结合。发端发送的码既能检错、 又有一定的纠错能力。收端译码时若发现错误个 数在码的纠错能力以内，则自动进行纠错；若错 误个数超过了码的纠错能力，但能检测出来，则 通过反馈信道告知发方重发。 Date 14 4.2 检错码 *15 一致监督检错码也叫一致监督校验码或奇偶校验码 。 1.原理： 信息元（k位）：x1，x2， ，xk 监督元（1位）： xn = xk+1 偶校验： 奇校验：
11、 4.2.1 一致监督检错码 Date 16 2.漏检概率 奇偶校验码只能发现码字中的奇数个错误，不能 发现偶数个错误。 n为偶数： n为奇数： 若 ，则 Date 17 定比码也称恒比码、等重码或范德伦码，每个码字 中“1”与“0”的比例是固定的，“1”的个数也是固定的 。 1.五三定比码 五三定比码每个码字的码长为5，含有3个“1”和2个 “0”的码字作为许用码字。 (1) 许用码字数目： 禁用码字数目： 4.2.2 定比码 Date 18 (2) 漏检概率 若“1”错成“0”的数目正好等于“0”错成“1”的数目 ，则五三定比码不能发现这类错误。 一个码字中有2位错误，且其中1位“1”错成
12、“0”， 1位“0”错成“1”的概率为 一个码字中有4位错误，且其中2位“1”错成“0”， 2位“0”错成“1”的概率为 因此，漏检概率为 当 时， Date 19 (3) 编码效率 =R/C=H/Hmax=log10/log3266% 2.七三定比码 七三定比码每个码字的码长为7，含有3个“1”和4 个“0”的码字作为许用码字。 (1) 许用码字数目： 禁用码字数目： (2) 编码效率 =R/C=H/Hmax=log35/log12872% Date 20 (3) 漏检概率 一个码字中有2位错误，且其中1位“1”错成“0”， 1位“0”错成“1”的概率为 一个码字中有4位错误，且其中2位“1
13、”错成“0”， 2位“0”错成“1”的概率为 一个码字中有6位错误，且其中3位“1”错成“0”， 3位“0”错成“1”的概率为 因此，漏检概率为 当 时， Date 21 4.3 用于单向信道的简单纠错码 *22 编码效率：=1/n (1) 逐位重复：用于纠正随机错误。 (2) 逐段重复：还可用于纠正突发错误。 例如，1 0 1 1 0 1 0 0 逐位重复，三重码： 111 000 111 111 000 111 000 000 逐段重复，四位一段，三重码： 1011 1011 1011 0100 0100 0100 4.3.1 简单重复码 将信息重复多次，只要正确传输的次数多于传错的 次数
14、，则可以将错误纠正过来。重复次数n通常为奇 数。 Date 23 4.4 纠一位错误的汉明码 *24 1.线性分组码的定义 若分组码的监督元与信息元之间是一种线性约束关 系，则称其为线性分组码。 (n,k) 线性分组码的码率：=k/n 许用码字数目：2k 禁用码字数目：2n -2k 系统码： x1 x2 xk xk+1 xk+2 xn 信息元监督元 Date 25 2.线性分组码的监督矩阵 线性分组码监督元与信息元之间的线性关系可以用 二元域上的线性方程组描述。 整理得： Date 26 将方程组用矩阵方程来表示，可得 监督矩阵H H CT= 0 码字向量 C =x1 x2 xn Date 27 rk子阵Prr单位阵Ir r=n-k行：r个监督元，r个监督方程 n列：n个码元之间的监督关系 (n,k)系统线性分组码监督矩阵形式: (典型监督矩阵或标准监督矩阵) H=P Ir Date 28 3.线性分组码的生成矩阵 Date 29 码字C信息码组m生成矩阵G 由于对于矩阵A，B，C有 因此 C =mG Date 30 G=Ik PT (n,k)系统线性分组码生成矩阵形式: (典型生成矩阵或标准生成矩阵) 子阵PTkk单位阵Ik k行n列 Date 31 【例】已知线性分组码的生成矩阵G
