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1、湖南大学 硕士学位论文 几类平面微分系统的定性分析 姓名：刘兴国 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：黄立宏 20070518 硕士学位论文 II 摘摘 要要 本学位论文利用常微分方程定性理论和 Lyapunov 稳定性理论的基本方法， 研究了几类平面微分系统的平衡点的性态和极限环的存在性与唯一性 本篇论文由六章组成： 第 1 章简述了问题产生的历史背景及研究意义、 相关预备知识和本文的主要 工作 第 2 章主要讨论了两类无极限环的高次系统的全局结构 用奇点理论分析了 两系统有限处与无穷远处奇点的性态， 借助 Dulac 函数法讨论了系统全平面上闭 轨的不存在性，分别作出了相应参数条
2、件下系统于 Poincar圆盘上的全局结构 相图 第 3 章对一类三分子生化反应系统模型的平衡点性态、 解的正向有界性及极 限环的存在性进行了讨论，推广了已有的结果 第 4 章对一类平面12 +n次多项式微分系统的平衡点性态及极限环的存在唯 一性进行研究运用形式级数法进行了中心焦点的判定，借助 Dulac 函数法讨论 了闭轨的不存在性，依据 Hopf 分支理论分析了从平衡点分支出极限环的充分条 件，然后在时间变换下将系统转化为 Li nard 方程，再通过构造对比系统和运用 微分方程比较原理来验证 . 和 . 的极限环唯一性定理中 所要求的条件， 然后依据该定理分析得到了多种参数条件下极限环的
3、唯一性和稳 定性 第 5 章通过对一类三次系统增加高次扰动项和减少对参数的假定条件得到 更一般的平面微分系统依据 Hopf 分支理论分析了极限环存在的充分条件，根 据 . 和 . 的极限环唯一性定理分析得到了多种参数条件 下极限环的唯一性和稳定性在关于包围原点极限环存在唯一性的讨论中所得 结论改进了已有的结果 第 6 章采用类似第五章的方法，对一类平面微分系统的平衡点性态、闭轨 的不存在性及极限环的存在唯一性进行了研究 关键词：平面微分系统；Dulac 函数；平衡点；稳定性；极限环；存在性；唯一 性；全局结构 几类平面微分系统的定性分析 III Abstract In this thesis,
4、 by applying the qualitative theory and stability theory of ordinary differential equations, we mainly study the properties of equilibrium, existence and uniqueness of limit cycle for some kinds of planar differential systems. This paper is composed of six chapters. In the first chapter, we introduc
5、e the background of problems which will be investigated and the main results of this paper. At the same time, some basic theory of the qualitative theory and stability theory of ordinary differential equations are given. Chapter 2 deals with the study of two types of planar differential systems with
6、 2n+1 degree. By the singular theory, the properties of the finite singular points and infinite singular points are obtained. By the Dulac function, the nonexistence of the closed orbits in whole plane is proved. Under respective conditions, the phase portraits about global structure on the Poincar-
7、disc are given. Chapter 3 mainly considers a class of a biochemistry reaction system. The sufficient conditions for the boundedness of solutions and the existence for limit cycle are obtained. Some known results are generalized. In chapter 4, we study a class of higher planar differential system. By
8、 the formal series method, the center and focus are judged, by the Dulac function, the non-existence of closed orbit is discussed, by the Hopf bifurcation theory, some sufficient conditions for the existence and stability of limit cycles bifurcated from the equilibrium point is analyzed, then, under
9、 the change of time, the system is changed into Li nard equation, and then, by constructing comparison system and using the comparison principle of differential equation, all conditions in the theorem of . and .it can be proved, finally, by applying of the theorem about uniqueness, some sufficient c
10、onditions for the uniqueness and stability of limit cycles are established. In chapter 5, by being added higher degree disturbance terms and deleted the assumption on parameters, a class of planar differential system is studied. By Hopf bifurcation theory, some sufficient conditions for the existenc
11、e of limit cycles of such systems are obtained. By applying of the . and .s theorem about uniqueness, some sufficient conditions for the uniqueness of limit cycles of such system are established. Some known results about the properties of limit cycles around origin are generalized. In the last chapt
12、er, by the same method as chapter 5, we consider a class of planar differential system. Some sufficient conditions for the existence, uniqueness and stability of limit cycles of such system are obtained. Key words: Planar differential system; Dulac function; Equilibrium; stability; Limit cycle; Exis
13、tence; Uniqueness; global structure. I 湖 南 大 学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授
14、权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 保密 ，在 年解密后适用本授权书。 2不保密。 (请在以上相应方框内打”) 作者签名： 日期： 年 月 日 导师签名： 日期： 年 月 日 硕士学位论文 - 1 - 第 1 章 绪 论 1.1 问题研究的背景及意义 由常微分方程来直接研究和判断解的性质，这是常微分方程定性理论的基本 思想极限环问题是常微分方程定性理论研究的主要问题之一自从 H.Poincar 在他的论文微分方程所定义的积分曲线中发现极限环以来，极限环问题立刻 受到众多数学家的重视，参见
15、文献1-10关于极限环的研究大体上分两个方面， 一个方面是关于极限环的存在性、稳定性、个数以及它们的相对位置等问题；另 一方面是关于极限环随系统中参数的变化而产生或消失的问题关于极限环存在 性问题的工作多一些，唯一性的工作就比较少，至于个数问题和相对位置问题， 难度比较大，已有的工作就相对更少了 著名数学家 D.Hilbert 于 1900 年在巴黎国际数学家大会上提出了二十三个数 学难题，其中第十六个问题的后一半就是：给定微分方程 ),( ),( yxQ yxP dx dy n n = (1.1) 其中 n P 、 n Q 是关于yx,的次数不高于n的实系数多项式；问它最多有多少个极限 环及它们的相对位置，即对于一切这样的n次多项式，能否具体算出极限环的上 界（自然依赖于n） 有关这一问题只有法国数学家H.Dulac在1932年证明了对 每个这样的系统，极限环的个数是有限的.上世纪80年代初Dulac的证明被发现 有误，后来Yu.S.Ilyashenko(1991)和J.Ecalle(1987)各自独立地弥补了此漏洞另 外， 只对限制性很强的一类极限环， 即强稳定性和强不稳定性极限环，S.P.Diliberto 于1950年给出了极限环个数和上界，参见文献6-8 关于极限环理论，国内外很多学者做了大量的工作，特别是在平面二次系统 极
