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1、数值逼近数值逼近 1 1 1. 1.函数插值函数插值 2. 2.数值积分和数值微分数值积分和数值微分 3. 3.曲线拟合曲线拟合 2 2 数值微分复习课数值微分复习课 o o P P Q Q x x0 0 x x0 0 + +h h f f( (x x) ) y y x x A A类：类：差商求导差商求导B B类：插值型求导类：插值型求导 3 3 数值微分复习课数值微分复习课 A A类：类：差商求导差商求导 4 4 1 1、向前差商、向前差商截断误差截断误差 2 2、中心差商、中心差商截断误差截断误差 1 1、向后差商、向后差商截断误差截断误差 5 5 课堂练习课堂练习A A ：函数函数f f
2、( (x x) )由下表给出，用差商公式计由下表给出，用差商公式计 算算x x= =0.000.00、0.200.20、0.400.40处的二阶导数值处的二阶导数值 x x 0.000.000.100.100.200.200.300.300.400.40 f f( (x x) ) 1.701.701.501.501.601.602.002.001.901.90 解解为求二阶导数值，须先求出上表中各点的为求二阶导数值，须先求出上表中各点的 一阶导数值，结果如下表一阶导数值，结果如下表 x x 0.000.000.100.100.200.200.300.300.400.40 f f ( (x x)
3、 )-2.00-2.00 -0.50-0.502.502.501.501.50-1.00-1.00 其中：其中：f f (0.00)(0.00)用向前差商计算；用向前差商计算；f f (0.40) (0.40)用向后用向后 差商计算；其余各点用中心差商计算。差商计算；其余各点用中心差商计算。 6 6 再用向前差商计算再用向前差商计算f f ”(0.00)”(0.00)；用向后差商计算用向后差商计算f f ”(0.40)”(0.40)；用中心差商计算用中心差商计算f f ”(0.20)”(0.20)： 7 7 数值微分复习课数值微分复习课 B B类：插值型求导类：插值型求导 两点公式，已知两点两
4、点公式，已知两点( (x x i i , , f f( (x x i i ) )、( (x xi i+1 +1 , , f f( (x xi i+1 +1) ) ： 8 8 三点公式，已知三点公式，已知三点三点( (x x i i , ,f f( (x x i i ) )、( (x xi i+1 +1 , ,f f( (x xi i+1+1) )、 、 ( (x x i i+2+2 , ,f f( (x xi i+2+2 ) ) xi1.01.11.2 f (xi) 0.250000.62267570.206612 解：解：x x 0 0 =1.0=1.0，x x 1 1 =1.1=1.1，x
5、 x 2 2 =1.2=1.2；h h=0.1=0.1 课堂练习课堂练习B B：用三点公式求用三点公式求 在在x x=1.0=1.0， 1.11.1，1.21.2处的导数值，处的导数值，f f ( (x x) )的函数值如下所示的函数值如下所示 1111 数值积分复习课数值积分复习课 插值型求积公式插值型求积公式 代数精度代数精度 代入尽可能多的多项式代入尽可能多的多项式x x 0 0 , , x x 1 1 , , x x 2 2 , , x x 3 3 , , , , x x mm去测试左右是否相等。最高阶的满足 去测试左右是否相等。最高阶的满足 项项mm就称为就称为mm阶精度。阶精度。
6、课堂练习课堂练习C C：已知：已知 (1)(1)推导以这推导以这3 3个点作为求积节点在个点作为求积节点在0,10,1上上 的插值型求积公式。的插值型求积公式。 (2)(2)指明求积公式所具有的代数精度。指明求积公式所具有的代数精度。 (3)(3)用所求公式计算用所求公式计算 。 解解:(1):(1) 所以该插值型求积公式为所以该插值型求积公式为 (2)(2)求代数精度，求代数精度，f f ( (x x) )分别取分别取1 1，x x，x x 2 2 , , x x 3 3 ， 代入求积公式代入求积公式 左边左边=1=1 右边右边= = 左左= =右右 右边右边= = 左边左边= = 左左=
7、=右右 左边左边= = 右边右边= = 左左= =右右 右边右边= = 左边左边= =左左= =右右 右边右边= = 左边左边= =左左 右右 所以该公式具有所以该公式具有3 3次代数精度次代数精度 （3 3）计算积分值）计算积分值 细分插值型求积公式 1717 1818 b b a a y=Ly=L 1 1 ( (x x ) ) o o y y x x y=fy=f( (x x) ) 1919 2020 o o ( (a a+ +b b)/2)/2 y=fy=f( (x x) ) b b a a y=Ly=L 2 2 ( (x x) ) y y x x 2121 分别将分别将f f( (x
8、x)=)=x x 0 0 、x x 1 1 、x x 2 2 、x x 3 3 、x x 4 4 等代入等代入I I( ( f f ) )和和 S S( ( f f ) ) ，可验证具有，可验证具有m m=3=3阶代数精度。阶代数精度。 2222 L L2 2 ( (a a) )= =f f( (a a) )；L L2 2 ( (b b) )= =f f( (b b) ) 2323 课堂练习课堂练习C C： 分别用梯形公式和辛普森公式计分别用梯形公式和辛普森公式计 算积分算积分 令令 取 取a a=0 , =0 , b b=1 , =1 , f f( (a a)=1 , )=1 , f f(
9、(b b)=0.5 )=0.5 解解 2424 由梯形公式计算由梯形公式计算 用辛普森公式计算：用辛普森公式计算： 取取x x 0 0 = =a a=0 , =0 , x x 1 1 =(=(a a+ +b b)/2=0.5 , )/2=0.5 , x x 2 2 = =b b=1=1为积分节点为积分节点 , , f f( (x x1)=1)=f f(0.5)=2/3(0.5)=2/3，则有，则有 因为因为 2525 所以两种方法的误差估计分别为所以两种方法的误差估计分别为 两种方法的实际误差分别为两种方法的实际误差分别为 -0.056853-0.056853 -0.001297-0.0012
10、97 都分别在估计范围内都分别在估计范围内 2626 o o a=xa=x 0 0 x x 1 1 x x 2 2 x x 3 3 x xn n-2 -2 x x n n-1-1 x x n n = =b b y=fy=f( (x x) ) y y x x 2727 2828 y y= =f f( (x x) ) o a=xo a=x 0 0 x x 1 1 x x2 2 x x 3 3 x x4 4 x x 2 2i i x x 2 2i i+1+1 x x 2 2i i+2 +2 x x 2 2m m-2 -2 x x 2 2m m-1-1 x x2 2m m= =b b y y x x
11、2929 6 6. . 解：利用给定的精度和两种方法的余项公式解：利用给定的精度和两种方法的余项公式 进行计算进行计算 00x x11 课堂练习课堂练习E E：若用若用复化梯形公式与复化辛卜生公复化梯形公式与复化辛卜生公 式计算积分式计算积分 ，问区间，问区间00，11应多少等分才能应多少等分才能 使截断误差不超过使截断误差不超过0.5100.510-5 -5？若改用复化辛普生 ？若改用复化辛普生 公式，要得到同样精度区间公式，要得到同样精度区间00，11应多少等分？应多少等分？ 由复化梯形截断误差公式，得由复化梯形截断误差公式，得 解得解得 所以积分区间应等分所以积分区间应等分213213份
12、，节点为份，节点为n n+1=214+1=214个个 由复化辛卜生截断误差公式，得由复化辛卜生截断误差公式，得 所以积分区间应等分所以积分区间应等分8 8份，节点为份，节点为2 2mm+1=9+1=9个个 解得解得 3232 y y= =f f( (x x) ) y y x x o a=xo a=x0 0 x x1 1 x x 2 2 x xi i x x i i+1 +1 x x n n-1 -1 x xn n = =b b x x0+1/2 0+1/2 x x 1+1/21+1/2 x xi i+1/2 +1/2 x xn n-1+1/2 -1+1/2 3333 课堂练习课堂练习F F：
13、利用复化梯形积分的自适应算法计利用复化梯形积分的自适应算法计 算算 下面的积分，使误差不超过下面的积分，使误差不超过0.50.5 1010-6 -6。 。 等分数等分数n n T Tn n ( ( f f ) ) 等分数等分数n n T Tn n ( ( f f ) ) 1 1 0.92073550.920735532320.94605960.9460596 2 2 0.93979330.939793364640.94607690.9460769 4 4 0.94451350.94451351281280.94608150.9460815 8 8 0.94569090.945690925625
14、60.94608270.9460827 16160.94598500.94598505125120.94608300.9460830 3434 课堂练习课堂练习GG：用：用龙贝格方法计算下列积分龙贝格方法计算下列积分 要求精确到要求精确到1010-2 -2 解解：（：（1 1） （2 2）将区间）将区间00，11二等分，二等分，x x=0. 5=0. 5是新是新 分点，得分点，得 在区间在区间00，11上使用梯形公式，得上使用梯形公式，得 （3 3）再将区间等分，增加的分点为）再将区间等分，增加的分点为 （4 4）将区间再等分，增加的分点为）将区间再等分，增加的分点为 （5 5）将区间再等分，
15、增加的分点为）将区间再等分，增加的分点为 注意注意: :什么时候停止计算什么时候停止计算? ? k 区间等分数T SCR 010.5 120.6036 0.6380 240.6433 0.6565 0.6578 380.6582 0.6632 0.6536 0.6536 4160.6636 0.6654 0.6656 0.6658 5320.6656 0.6663 0.6663 0.6663 3939 数值微分数值微分 差商求导差商求导插值型求导插值型求导 两两点公式点公式三点公式三点公式 数值积分数值积分 插值型积分（代数精度）插值型积分（代数精度） 梯形公式梯形公式辛普森公式辛普森公式 复化梯形公式复化梯形公式复化辛普森公式复化辛普森公式 自适应积分公
