南开大学金融学本科核心课程10解析

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1、南开大学金融学本科核心课程 投资学 南开大学金融学系 李学峰 2008年第一学期 第四节 固定收益证券组合的管理： 消极策略 对固定收益证券组合的消极管理，所涉及到的 概念和工具包括久期、凸性和免疫。下面我们即在 对这些工具进行介绍的基础上，研究固定收益证券 的组合管理策略。 一、久期 所谓债券的久期(duration)，即以加权平均的 形式计算债券的平均到期时间。公式为： D= （9.27） 式中，D为债券的久期；P0为债券当前市场价 格；PV(ct)是债券未来第t期现金流（利息或本金） 的现值,其中的贴现率即债券的到期收益率；T是债 券到期时间。 例题9.4： 假设一债券的面值是1000元

2、，年息票利息支付 额为80元，剩余期限是3年，其目前市价是950.25 元。请计算：该债券的到期收益率？该债券的 久期。 解： 根据到期收益率公式可得，该债券的到 期收益率是9.091。 该债券的久期为： D=(800.90911+800.909122+10800.90913 3)/950.25 =(72.73+132.23+2434.21)/950.25 =2.78年 （一）久期的意义 由例题11.2可见,虽然该债券的剩余期限是3 年，但考虑到息票现金流后，其平均剩余期限是 2.78年。也就是说，久期可以使我们在考虑到各期 现金流后，更精确地把握剩余持有期，从而利于投 资中的现金管理和对持有

3、期的动态管理。换言之， 久期可用于测算动态投资收回期。 久期还可以帮助我们进行债券价格的利率敏感 性分析。衡量债券利率风险的指标是利率弹性IE， 即： IE= （9.28） 式中分子为债券价格变动率，即波动幅度；分 母为债券收益率变动率。利率弹性与久期的关系为 ： IED （9.29） 由以上两式可得到： P/PD（y/1+y） （9.30） 即给定收益率变动幅度，久期越大，债券价格波 幅越大。 此外，久期还用于免疫策略，即进行消极组合管 理策略。 （二）关于久期的定理 久期存在如下六大定理。 1，只有0息债券的久期等于其到期时间。 证明： 因为0息债券只有一次现金流，因此有P0=PV(CT)

4、 根据久期的公式，D=PV(CT)/P0T 因此有D=1T=T 2，除零息债券外，大多数债券具有期限（ maturity）越长,久期（dutation）越长的特 点，即久期直接与期限长度相关。特别是，这些大 多数债券的久期小于它们的到期期限。 3，一般情况下，久期与利息支付水平呈反比变 化，利息支付水平越高，久期越短。 4，一般而言，久期会随着时间的延长而下降， 即存在所谓久期缩减（duration drift）规律。 5，一般来看，久期与到期收益率呈反比变化， 即收益率越高，久期越短。其原因即在于久期是以 所收到的现金流的现值为权重计算的加权平均，收 益率越高，远期现金流贴为现值就越低，权重

5、即越 小，从而久期越短。 6，债券投资组合的久期等于单个债券久期的加 权平均，其中的权重由债券市场价格决定。即： D= (9.31) 式中，wi=MVi/MV，而其中的MVi是该债券投资组 合中单个债券i的市场价值；MV为该债券组合的总市 场价值。Di是债券i的久期。 久期的上述原理有助于投资者对债券投资组合 的管理。比如如果投资者希望延长久期，根据原理2 和原理3，投资者就应选择票面利率较低而期限较长 的债券；再比如如果投资者希望久期为某一确定的 年限（以便管理利率风险），根据原理5，投资者即 可把多种债券混和在一起，以达到控制组合利率风 险的目的。 二、久期缺陷与债券的凸性 （一）久期的缺

6、陷 从久期的计算中可以看出，它对于所有现金流都 只采用了一个折现率，也即意味着利率期限结构是 平坦的。换言之，久期实际上只考虑了收益率曲线 平缓的情况，而实际上，由于时间因素的影响，不 同期限长度收益率对某一市场影响因素的反应是不 同的，即不同期限长度收益率的变化幅度不一致， 从而导致收益率曲线的变化可以呈现出很多形式。 进一步看，采用久期方法对债券价格利率风险的 敏感性进行测量，实际上只考虑了价格变化和收益 率变化之间的线形关系，而市场的实际情况表明这 种关系经常是非线形的。 （二）凸性 为了克服久期的上述缺陷，就需要我们引入债券 凸性的概念。从上一章债券定价的五大原理中，我 们可概括出债券

7、价格的一个主要特性，即债券的凸 性。 所谓债券的凸性（convexity），是指债券的价 格与其收益率之间成反比关系（债券定价原理1）， 且这一反比关系是非线性的、凸向原点（债券定价 原理4）。如图. 图中，当债券价格由P0上升到P1时，收益率由 Y0下降到Y1（价格与收益率的反向变化），且收益 率下降的幅度小于债券价格上升的幅度（非线性） ；反之，当债券价格由P0下降到P2时，收益 率则由Y0上升到Y2，且收益率上升的幅度大于债券 价格下降的幅度。 P P1 P0 P2 Y1 Y0 Y2 Y 久期可以看做是债券价格对利率小幅度波动敏 感性的一阶估计，而凸性则是债券价格对利率敏感 性的二阶估计

8、。或者说，久期度量的是债券价格 收益曲线的切线的斜率，而凸性度量的是债券价格 收益曲线的曲度。凸性（C）可以通过计算久期对 收益率的导数或债券价格对收益率的二阶导数再除 以债券的价格得到： （9.32） 为了显示凸性的重要性，可以对债券价格的相 应变化进行泰勒二阶展开： （9.33） 由公式（9.33）可以看出，当收益率变化较小 时，凸性的意义并不明显，可以忽略不计。而当收 益率的波动较大时，凸性的作用就变得很重要。 公式（9.33）也可以写为： （9.34） 该式表明当利率出现上升或下将时，凸性（考 虑价格变化的二阶项）会引起债券久期的下降或上 升。 （三）凸性原理 凸性存在以下三大基本原理

9、： 1，凸性与到期收益率呈反方向变化。也就是 说，收益率低的债券比收益率高的债券的价格收 益曲线的曲度更大。 2，凸性与利息也呈反方向变化。即利息较高的 债券其价格收益曲线的曲度较平缓。 3，凸性与久期呈正向变化。一般来说，期限较 长的债券其价格收益曲线的曲度也较大，而由久 期的原理（原理2）我们知道，期限较长的债券其久 期也较长。 凸性的上述原理可帮助我们进行债券投资决 策。例如，久期原理3告诉我们，久期与利息水平呈 反向变化，而凸性原理2则告诉我们，凸性与利息水 平也呈反向变化。这样，如果投资者希望延长久期 并增加凸性，即可通过抛出高利息债券，并购入相 同期限的低利息债券，来达到投资目的。

10、 三、免疫 根据利率的期限结构理论，利率会发生变动， 从而给债券的收益带来利率风险。构建免除利率风 险的债券投资组合的过程，称为免疫（ immunization）。 （一）免疫策略 如果投资时间与债券的久期不等，则收益率将 发生变动，这将使投资组合的价值与债务流的现值 发生相应变动，导致投资组合与债务的不匹配。为 解决这一问题（即消除利率风险），有两种免疫策 略可供选择。其一是所谓现金匹配策略（cash matching strategy），即当需要现金清偿某一债 务时，投资者可以出售资产组合中的一些债券；反 之，当投资组合产生的现金多于需要的现金，则可 购买更多的债券。上述过程中，如果收益率

11、不变， 则投资组合价值将与剩余债务相匹配。这即是现金 匹配策略。 其二是久期匹配策略（duration matching strategy），即使得投资组合的久期与负债流的 久期一致，则对于收益率的变动，投资组合的现金 价值将与负债流的现值产生完全相同的变动。 比如养老基金，假设其发售一种投资担保合约 （一次性支付），利率为8%，期限为5年，得到这笔 债务（保费收入）后，再投资于利率为8%、期限为5 年的息票债券。这样，如果出现利率上升，利息收 入再投资即抵消了利率风险；而如果出现利率下 降，则出售债务可以抗衡再投资风险。即无论利率 如何变动，利率风险与再投资风险都得到解决。 （二）免疫策略的

12、应用单个债券的利率 风险免疫 免疫策略的本质之一即是根据我们希望获得的现 金流，使债券组合尽可能地贴近该现金流。比如为 了在一定时期后获得一笔一次性的付款，如果存在 一个一定期限的零息票债券，我们就应该购买它， 因为该头寸的未来价值是确定的，它完全地免除了 利率风险，期满时将按投资初期预定收益率（通常 是现时的市场利率）获得理想的现金流。 例题9.5： 假设债券管理者希望在5年后获得14693.28元的 稳定现金流。其可选择的投资方案为：1，投资一个 售价为10000元，到期收益率为8%的5年期零息票 债券，这样，到期时他将获得： 10000(1+0.08)5=14693.28元 2，进行息票

13、债券无免疫投资。比如还是投资于 一个面值为10000元，息票率和再投资利率均为8%的 5年期息票债券。具体情况见9.1。 表9.1： 无免疫投资 从表9.1可以看到，如果再投资利率保持在8% 不变，则投资者可以在5年后获得14693.28元的现金 流，实现复收益率为8%，等于预定的收益率，即投 资初期的市场利率。 但当再投资利率变动时，投资者将面临着利率 变动的风险。如表9.1所示，假设再投资利率下降 到7%或上升至9%时，则实现的复收益率分别下降到 7.86%和上升至8.14%。 3，进行息票债券免疫投资。我们设计这样一种 债券，使其久期等于该债券的预定持有期限。即投 资于一个面值为1000

14、0元，息票率和再投资利率均为 8%的6年期息票债券，该债券的久期为5年。我们将 在持有5年后售出该债券，则其实现复收益率情况为 如表9.2所示。 由表9.2可见，进行免疫投资后，一方面利率 变动不影响复利收益率，即所实现的复利收益率完 全相等；另一方面，利率变动对最终收入的影响也 可忽略不计。由此我们得到的结论即是，久期匹 配，可以规避利率风险。 表9.2： 免疫投资 我们需要指出的是，免疫实际上是对一定范围的 收益率的变动提供了保护。但如果收益率发生很大 变动，则须对投资组合进行再免疫。也就是说，免 疫是一个动态过程。此外，免疫通常假设久期较长 的债券与久期较短的债券具有相同的收益率（现实

15、中长期高于短期），这使得其构造过程会产生一定 的非现实性。 第五节 固定收益证券组合管理的积 极策略和混合策略 积极的投资管理策略即试图分析市场目前的非均 衡（定价错误）或预测市场未来的走势，并利用这 一发现或预测获得更高利润的投资策略。而混合的 投资管理策略则是将消极的策略与积极的策略结合 在一起一种投资方式。 一、债券管理的积极策略 积极的债券组合管理策略可能产生两个利润来 源：其一是对利率的预测，比如如果债券管理者能 够准确地预测到利率将要下降，那么就可以通过增 加债券组合的久期来获得利润； 其二是对相关债券价格的确定，例如如果组合 管理者能够确定某债券的价格被低估了，即可利用 这一价格失衡获利。 就第一种可能的利润来源看，如果债券管理者 能够准确预测利率的走势，就可以采取利率预期互 换的策略进行积极的投资组合管理。 所谓利率预期互换（rate anticipation swap ）即是盯住利率的预期。在这一策略下，如 果投资者确信利率将下降，就可把久期较短的债券