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1、 两个复数的和（差）依然是一个复数，它的 实部是原来的两个复数实部的和（差），它的虚 部是原来的两个复数虚部的和（差），并满足交 换律和结合律。 1、复数加法 ： Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+di) 2、减法： Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-di) 3、几何意义：复数的加法可以按照向量 的加法进行，复数的减法可以按照向量 的减法进行。 知识回顾知识回顾 1.复数的乘法法则： 说明:(1)两个复数的积仍然是一个复数； (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在 运算过程中把 换成1，然后实、虚部分别合并. (3)易知复数的乘法满足交换
2、律、结合律以及分配律 即对于任何z1 , z2 ,z3 C,有 例1.计算(2i )(32i)(1+3i) 复数的乘法与多项式的乘法是类似的 . 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, 类似地,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算. 实数集R中正整数指数的运算律, 在复数集C中仍然成立.即对 z1,z2,z3C及m,nN*有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n. 练习: 1+i1+i2+i3+i 2012的值为( ) (A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) i A A 注意 a+bi 与 a-bi 两复数的特点. 例3.计算(a+bi)
3、(a-bi) 思考：在复数集C内，你能将 分解因式吗？ 例2 2、定义:实部相等,虚部互为相反数的 两个复数叫做互为共轭复数. 思考：设z=a+bi (a,bR ),那么 复数 z=a+bi 的共轭复数记作 另外不难证明: 思考: ？ 若z1 , z2是共轭复数，那么 在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？ z1z2是一个怎样的数？ 解：作图 得出结论：在复平面内，共轭复 数z1 ,z2所对应的点关于实轴对称 。 令z1=a+bi,则z2=a-bi 则z1z2=(a+bi)(a-bi) =a2-abi+abi-bi2 =a2+b2 结论：任意两个互为共轭复 数的乘积是一个实数。 y x
4、(a,b) (a,-b) z1=a+bi o y x (a,o) z1=a o x y z1=bi (0,b) (0,-b) o 例4 已知复数 是 的共轭复数，求x的值 解：因为 的共轭复数是 ， 根据复数相等的定义，可得 解得 所以 探究：类比实数的除法是乘法的逆运算，规 定复数的除法是乘法的逆运算。试探究复数 除法的法则。 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di0) 的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数c+di的商, 3.复数的除法法则 先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都 乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形式(分母 实数化).即 分母实数化 复数代数形式
5、的除法实质： 分母实数化 例5.计算 解: 先写成分式形式 化简成代数形式就得结果. 然后分母实数化即可运算.(一般分子 分母同时乘以分母的共轭复数) 解题步骤： (2) D （1）已知 求 练 习 （2）已知 求 （3） （4） 设 ，求证： （1） ；（2） 证明： （1）（2） 3.互为共轭复数的两个复数之和一定为实数 4.互为共轭复数的两个复数之差一定为虚数 2.实数与实数相加为实数， 虚数与虚数相加为虚数 判断正误：错误的请举出反例 1.实数与虚数相加一定为虚数正确 错误 正确 错误 3、复数代数形式的除法实质：分母实数化 1、复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得 的结果中把i2换成
6、1，并且把实部和虚部分 别合并。 2、实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立 如果nN*有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到nZ.） 设 ,则有: 事实上, 与 统称为1的立方虚根,而且对于 ,也 有类似于上面的三个等式. 4、一些常用的计算结果 一. 平方根定义： 定义： 练习 1.计算:(1)i+2i2+3i3+2004i2004; 解:原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(2001i-2002- 2003i+2004)=501(2-2i)=1002-1002i. 2.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2, 求x14+x24的值. 解: 注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用. 另外,本题还可用几何知识来分析. 6、
