二自由度系统.

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1、第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 3.3 不同坐标系下的运动微分方程 3.4 无阻尼自由振动 南京农业大学机械设计教研室 周永清 3.5 有阻尼自由振动 3.6 无阻尼强迫振动 3.7 动力吸振器(工程应用） 3.1 引言 3.2 运动微分方程 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 31 引言 第二章介绍了单自由度系统的振动。这是研究 机械振动的基础，也可以处理一些简单的振动问题 。但是，工程中大量出现的是多自由度系统乃至无 限自由度系统的振动问题。而两个自由度系统的振 动则是最简单的多自由度系统中。 两个自由度系统，顾名思义，就是说：系统的 运动状态需要而且可以由两个独立坐标来描

2、述的， 称之为两个自由度系统。 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 两个自由度系统虽然比单自由度系统只多一个 自由度，两者之间却有着质的区别。后者的系统固 有特性只有固有频率；而前者除了固有频率外还有 固有振型，这正是多自由度系统的共有特征。 31 引言 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 3.2 振动微分方程 两个物块的运动微分方程可列出如下 移项后得 （方法一：隔离体受力分析） 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 上式是一个二阶线性齐次微分方程组 是否可以让其形式上与单自由度系统 运动微分方程相似（同） ？ 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 3.2 振动微分方程

3、写成矩阵的形式： 其中： 可见M、K均为对称阵 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 7 例2：转动运动 两圆盘 转动惯量 轴的三个段的扭转刚度 试建立系统的运动微分方程 外力矩 3.2 振动微分方程 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 幻灯片放映 8 解： 建立坐标： 角位移 设设某一瞬时时： 角加速度 受力分析： 3.2 振动微分方程 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 9 建立方程： 矩阵形式： 坐标间的耦合项 3.2 振动微分方程 可见I、K也均为对称阵 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 3.2 振动微分方程 由上述两例可知，M、K及有阻尼时的C矩阵均为对 称阵

4、，即 如果能直接写出三个矩阵的各元素也便得到 了二自由度系统的运动微分方程，那么， 能否直接写出各元素呢 ？ 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 1. 质量矩阵M一般是对角矩阵，对角元素mii=mi。 2. 阻尼矩阵对角元cii为所有与第i个质量元件相连接的阻 尼元件阻尼系数之和，非对角元cij = cji ，是连接第i个 质量元件和第j个质量元件的阻尼元件阻尼系数之和取 负。 3. 刚度矩阵的对角元kii为所有与第i个质量元件相连接的 弹性元件刚度之和，非对角元kij = kji ，是连接第i个质 量元件和第j个质量元件的弹性元件刚度之和取负。 （方法二：视察法） 第第3 3章章 二自

5、由度系统二自由度系统 视察法举例 建立广义坐标如图所示，坐标原点 在系统静平衡时各质量的位置。 振动微分方程 : 其中： 链式系统 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 振动微分方程的建立 视察法举例 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 振动微分方程的建立 视察法举例 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 视察法举例 振动微分方程的建立 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 先写出系统中动能ET，势能U及损耗能D的表达式， 便有： 以例1为例自行验证 （方法三：能量法） 振动微分方程的建立 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 振动微分方程的建立 方法四： 利用mij,k

6、ij,cij 的物理意义 如： kij称为弹性系数，表示第j个坐标处发生单位位移， 其余各广义坐标保持不动时， 为了保持平衡需要在i坐标处施加的力（平动）或力矩（转动）。 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 振动微分方程的建立 方法五： 利用第二类Lagrange方程 对复杂系统，采用Lagrange方程比较方便。 q为广义坐标 LT-U，即动能与势能表达式之差 D为耗散能表达式 其中： Lagrange方程：或 Qi ：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 非链式系统 建立广义坐标x和，坐标x的原点 在系统静平衡位置，方向向右 。 为摆杆转角

7、，逆时针为正。 对系统作速度分析 。 质量 M： 质量m ： 方法五举例： 振动微分方程的建立 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 系统势能： 耗散能： 其他非保守力 方法五举例： 振动微分方程的建立 系统动能： 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 对广义坐标分别运用lagrange方程得 当很小，有 对方程线性化 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 幻灯片放映 22 例：研究汽车上 下振动和俯仰振动 的力学模型 表示车体的刚性杆 AB的质量为m，杆 绕质心C的转动惯 量为Ic 悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和 k2 的两个弹簧来表示 写出车体微振动的微分方程 选取

8、D点的垂直位移 和绕D点的角位移 为坐标 AB CD a 1 a 2 e l1l2 l k 1 k 2 3.3 不同坐标系下的运动微分方程 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 幻灯片放映 23 A BCD a1 a2 e l1l2 l k1 k2 A BCD a1a2 e l1l2 l k1 k2 简化形式 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 24 A BCD a1a2 e l1l2 l k1 k2 A B C D 车体所受外力可以向D点简 化为合力 PD 和合力矩 MD 由于微振动，杆质心的垂直 位移、杆绕质心的角位移： 首先采用拉格朗日方程建立 系统的运动微分方程 系统的动能：

9、 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 25 A BCD a1a2 e l1l2 l k1 k2 A B C D 系统的动能： 系统的势能： 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 26 n 自由度系统的拉格朗日方程： q为广义坐标 LT-U，即动能与势能表达式之差 D为耗散能表达式 其中： Lagrange方程：或 Qi ：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 A B C D 或 Qi 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 幻灯片放映 28 代入拉格朗日方程，得： 矩阵形式： 存在惯性耦合 存在弹性耦合 第第3 3章章 二自由度系统二自由

10、度系统 幻灯片放映 29 如果D点选在这样一个 特殊位置，使得： A BCD a1a2 e l1l2 l k1 k2 只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 30 如果D点选在质心C： A BCD a1a2 e l1l2 l k1 k2 只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合 ：作用在质心上的外力合力和合力矩 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 31 问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出 现惯性耦合，也不出现弹性耦合？ 即： 若能够，则有： 方程解耦，变成了两个单自由度问题 使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标 3.3 不同

11、坐标系下的运动微分方程 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 32 讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的 运动微分方程之间有着怎样的联系？ A BCD a1a2 e l1l2 l k1 k2 选取D点的垂直位移及 角位移作为坐标 选取质心C点的垂直位移及角位移作为坐标 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 33 令： 令： 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 幻灯片放映 34 D点和C点的坐标之间的关系： 写成矩阵形式： 坐标变换矩阵 e D C 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 D C CD 和 的关系 利用力平移理论将D点的作用力与力矩 平移至C点 得

12、： 写成矩阵形式： T 非奇异，因此： 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 36 小结： 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 得： 验证： 将 代入D点的方程，并左乘 ： 由 CCD T CD T FTXKTXTMT=+ m2:=m k1:=0; k2:=2k; k3:=3k; k11:=2k; k12:=-2k; k21:=-2k; k22:=5k 3.6 无阻尼受迫振动 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 例14 在二质量弹簧系统中，质量 弹簧刚度 ， , 。 设质量 受到 的激励，求系统稳态 振幅，并画出频率响应曲线。 解 由观察法得振动微分方程 ， 3.6 无阻尼受迫

13、振动 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 式中： ； 。 和 的分母为特征行列式，有 和 为稳态振幅。若以 和 为横坐标，以无因 次量为纵坐标，则可画出频率随振幅的幅频响应曲线 。 3.6 无阻尼受迫振动 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 无阻尼系统振动特性 越大，振幅 、 也越大，成线性关系 若激励力频率与其中系统任一固有频率接近时（即 或 ） ，系统都将产生共振。系统有两个共振区。 2振幅特性 二自由度系统受迫振动振幅取决于激励力幅值、频率以及系统 本身的物理参数。 1、频率 二自由度系统受迫振动频率与激励力频率相同。 3.6 无阻尼受迫振动 第第3 3章章 二自由度系统二自

14、由度系统 无阻尼系统振动特性 3相位特性 当 ， 由正变负，而 由负变正，出现第二次共振 ，两质量又一次相位突变。 4振特性 振点: 两个共振频率之间有一个波谷（最低点） 即X k / F1= 0，对应频率称为振频率。 共振时振幅为无穷大（或最大）；振时振幅为 零（或最小）。 和 均为正值，即 和 两质量的位移同相。 当 时，相位突变，出现第一次共振，两质量的位移相位反相。 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 3.7 动力吸振器 无阻尼动力吸振器 无阻尼动力吸振器 稳态响应 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 3.7动力吸振器 当 时， ， 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 3.7 动力吸振器 这时 传给 的力为 作用于 上的激励力与由弹簧 传给 的力恰好抵消，因而 。 设 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 3.7 动力吸振器 设： ， ，令 可得到 ，（二自由度的固有频率）。 第第3 3章章 二自由度系统二自由度系统 3.7 动力吸振器 无量纲响应随无量纲 频率变化的曲线 曲线1-和曲线2- 当 =1，即 = 1= 2时才 能使 1= 0，从而X2=0。当 稍偏离 1.0