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1、2017/3/15有心力1 理 论 力 学 教材：周衍柏理论力学教程 编 北京交通大学理学院 教师：王波波 2017/3/15有心力2 （1）有心力的基本性质）有心力的基本性质 1.9 有心力有心力 质点所受的力的作用线始终通过某一定点，质点所受的力的作用线始终通过某一定点， 则该力称为则该力称为有心力有心力。该定点称为。该定点称为力心力心。 有心力分有心力分引力引力和和斥力斥力。 在有心力作用下，质点始终在一个平面上运动。在有心力作用下，质点始终在一个平面上运动。 这是一个平面问题，可用（这是一个平面问题，可用（x,y）或（）或（r,q）来描述）来描述 有心力的量值一般是矢径的函数，即有心力
2、的量值一般是矢径的函数，即 FF r或或 r FF r r (1.9.1) 2017/3/15有心力3 r FF r r 0F r 斥力斥力 0F r 引力引力 在直角坐标系下，运动方程为在直角坐标系下，运动方程为 x mxF r r y myF r r 该方程应用起来不方便该方程应用起来不方便. 今后不再在采用直角坐标系研究有心力问题今后不再在采用直角坐标系研究有心力问题. 2017/3/15有心力4 在极坐标下，运动微分方程为在极坐标下，运动微分方程为 2 20 r m rrFF r m rrF q q qq (1.9.3) 上面的第二式可以变为上面的第二式可以变为 2 1 0 d mr
3、r dt q 积分得积分得 2 rhq 或或 2 mrmhq 2 Jrpm rvmrvmr q q 动量矩（角动量）守恒动量矩（角动量）守恒 r O q P v r v i v j q 2017/3/15有心力5 有心力的基本方程有心力的基本方程 2 2 r m rrFF r rh q q 有心力是保守力有心力是保守力 证明：证明： B A WF dr B r A FdrF rd q q B r A WFdr B A F r dr 一般情况下，一般情况下，的原函数一定存在，所以上式的原函数一定存在，所以上式 积分与路径无关。积分与路径无关。 F r (1.9.6) 2017/3/15有心力6
4、有心力是保守力。有心力是保守力。 FV 机械能守恒律机械能守恒律 上式代替上式代替(1.9.6)中的一式，得基本方程中的一式，得基本方程 222 2 1 2 m rrV rE rh q q 2 1 21 r r F r drVV 222 1 2 m rrV rEq 2017/3/15有心力7 （2）轨道微分方程）轨道微分方程比耐公式比耐公式 求轨道方程的一般方法：求出运动规律，在运动求轨道方程的一般方法：求出运动规律，在运动 方程中消去时间方程中消去时间t。 有心力的情况，可以先从运动微分方程中消去有心力的情况，可以先从运动微分方程中消去 dt，得轨道微分方程。，得轨道微分方程。 令令1/ur
5、 得得 2 2 22 2 11 , drdr dddudu rh dtddtduu dd drdduddudd u rhhh u dtdtddddtd q qq qqqq q qqqq 这里利用了这里利用了(1.9.6)中第二式中第二式. 2017/3/15有心力8 将前将前2式代入式代入(1.9.6)第一式，得到第一式，得到 这就是比耐公式这就是比耐公式 已知力可以求得运动轨道，反之，已知力可以求得运动轨道，反之， 已知运动轨道可求力的表示式。已知运动轨道可求力的表示式。 2 22 2 d uF h uu dmq 2017/3/15有心力9 （3）平方反比引力）平方反比引力行星的运动行星的运
6、动 行星与太阳之间的引力行星与太阳之间的引力 代入比耐公式，得代入比耐公式，得 即即 2 22 22 GMmk m Fmk u rr 2 2222 2 d u h uuk u dq 22 22 d uk u dhq 令令上式变为上式变为 2 2 k u h 2 2 0 d d q 2017/3/15有心力10 其解为其解为 所以所以 即即 选择适当的积分常数选择适当的积分常数(q q0=0)，上式变为，上式变为 圆锥曲线圆锥曲线 2 2 0 d d q 0 cosAqq 22 0 22 cos kk uA hh qq 22 22 0 1/ 1cos/ hk r uAhkqq 22 22 / 1
7、/cos hk r Ahkq 2017/3/15有心力11 2222 /,/hkp AhkApe p为圆锥曲线正焦弦的一半，为圆锥曲线正焦弦的一半，e为偏心率。为偏心率。 22 22 / 1/cos hk r Ahkq 与标准圆锥曲线公式与标准圆锥曲线公式 比较，得比较，得 1cos p r eq 2017/3/15有心力12 2 2 (1) B,1,0 1, 1 1,1 (2) B,0,2 ,1 (3) B,1 1 ,1 racae p ae e paee rqpq e rcaa e pa ee q q 椭圆 在 点 故 即 抛物线 在 点 双曲线 在 点 故 2017/3/15有心力13
8、用什么力学量判定轨道的类型？用什么力学量判定轨道的类型？ e只是一个几何量，它与力学量的关系如何？只是一个几何量，它与力学量的关系如何？ 事实上，可用另一组基本方程求解事实上，可用另一组基本方程求解 222 2 1 2 m rrV rE rh q q 式中式中 因为因为 22 2 rk m k m V rdr rr dV F dr 2017/3/15有心力14 对于引力，机械能守恒定律具体写为对于引力，机械能守恒定律具体写为 利用角动量守恒定律利用角动量守恒定律得得 2 rhq 机械能守恒定律变为机械能守恒定律变为 从上式可解出从上式可解出后得后得, dr dq 2 222 1 2 k m m
9、 rrE r q 2 drdr dh dr r dtddtr d q qq 2 222 42 12 2 hdrhk mE rdrrq 222 2 2 hdr d E rrk rh m q 2017/3/15有心力15 积分得积分得 即即 这是一个圆锥曲线方程，与标准方程比较，得这是一个圆锥曲线方程，与标准方程比较，得 可见可见则则，椭圆。，椭圆。 0E 1e 则则，抛物线。，抛物线。0E 1e 则则，双曲线。，双曲线。0E 1e 222 2 2 hdr d E rrk rh m q 22 1 0 42 223 sin 2 48/ kh rkEhm qq 22 22 0 / 112/cos hk
10、 r h E k mqq 2 2 2 1 Eh e mk 2017/3/15有心力16 （4）开普勒定律）开普勒定律 第一定律第一定律:行星绕太阳作椭圆运动行星绕太阳作椭圆运动,太阳位于椭圆的太阳位于椭圆的 一个焦点上一个焦点上. (以下略以下略) 第二定律第二定律:行星和太阳之间的连线行星和太阳之间的连线(矢径矢径),在相等的在相等的 时间内所扫过的面积相等时间内所扫过的面积相等. 第三定律第三定律:行星公转的周期的平方和轨道半长轴的行星公转的周期的平方和轨道半长轴的 立方成正比立方成正比. 2017/3/15有心力17 （5）宇宙速度和宇宙航行）宇宙速度和宇宙航行 利用利用(1.9.4)
11、,把把从式从式(1.9.22)中消去中消去,得得 2 rhqq 22 2 2 1 2 hk m m rE rr (1.9.28) 如轨道为如轨道为椭圆椭圆,则在近日点则在近日点,有有 1,0raer 将上式代入将上式代入(1.9.28),并利用并利用,得得 22 /,1hkp pae 22 2222 22 2 1 212 21 mk ae mhk mk mk m E rraea ae (1.9.29) 2017/3/15有心力18 如轨道为如轨道为抛物线抛物线,则在近日点则在近日点, 0,2rrq pq 上式代入上式代入(1.9.28),得得 22 22 2 0,2 2 mhk m Ehkq
12、qq 同理同理,如轨道为如轨道为双曲线双曲线,则在近日点则在近日点 0,1rra e 代入代入(1.9.28)后后,得得 2 2 k m E a 2017/3/15有心力19 宇宙速度宇宙速度 椭圆轨道椭圆轨道 22 2 1 22 k mk m mv ra (1.9.32) 第一宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度环绕速度) 对绕地球运行的卫星而言对绕地球运行的卫星而言,可令可令 22 ,arkGMgr 地 地球半径 所以所以 22 2 1 1 , 22 gr mgr m mv rr 1 7.9/ ,vgrkm s 即即: 第一宇宙速度第一宇宙速度 2017/3/15有心力20 第二宇宙速度第二宇宙
13、速度(逃逸速度逃逸速度) 从地球发射的物体能运行到无穷远从地球发射的物体能运行到无穷远(逃逸逃逸), 其发散速度称为第二宇宙速度其发散速度称为第二宇宙速度,可令可令 a 所以所以 2 2 2 1 0, 2 k m mv r 21 2211.2/ ,vgrvkm s 即即: 第二宇宙速度第二宇宙速度 2017/3/15有心力21 第三宇宙速度第三宇宙速度:逃出太阳系的速度逃出太阳系的速度 在地球绕太阳运行的轨道上发射物体可以脱离在地球绕太阳运行的轨道上发射物体可以脱离 太阳系的速度太阳系的速度 2 , GM vMr r 太阳质量地球轨道半径 计算得计算得 2 42/ GM vkm s r 考虑地
14、球公转速度约考虑地球公转速度约30千米千米/秒秒,只需只需12千米千米/秒的秒的 速度速度. 地球上的发射速度为地球上的发射速度为v3,则则 2 2 2 3 1 12 22 k mm mv r 即即 3 16.5/vkm s第三宇宙速度第三宇宙速度 2017/3/15有心力22 （6）圆形轨道的稳定性）圆形轨道的稳定性(略略) 2017/3/15有心力23 （7）平方反比斥力）平方反比斥力a a粒子的散射粒子的散射 a粒子为氦核，带粒子为氦核，带2 2e的电量。的电量。 把把a粒子射入原子中，则核心与粒子射入原子中，则核心与a粒子的粒子的 相互作用力为相互作用力为 式中式中 2 0 2 4 Ze k 机械能守恒定律为机械能守恒定律为 显然显然0E 2 22 0 12 4 Zek F rr 2 222 1 2 k m rrE r q 2017/3/15有心力24 a粒子的
