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1、浙江大学理学院 硕士学位论文 混合鞅线性过程的泛函中心极限定理 姓名：陈晓梅 申请学位级别：硕士 专业：概率论与数理统计 指导教师：林正炎 20080501 摘要 在过去的二十多年中，计量经济学在其各个领域内都取得了重要的发展。这 不仅使计量经济学自身成为一门同趋重要的边缘学科，也使得它在现代经济学 和金融学中起着越来越重要的作用。计量经济学的发展主要归因于最新的统计 理论的进展。然而，遗憾的是，目前大部分的研究中比较经典的结果是基于误差 项为独立同分布的情形或者鞅差序列情形，关于较为一般的相依情形研究相对 较少。 由于在大部分的实际应用领域中，尤其是在计量经济时间序列中，创新项通 常不相互独
2、立，许多研究者寻求各种方法刻划创新项之间的相依性。鞅差序列和 混合序列是最早被提出来的。然而，鞅差序列太特殊，不足以涵盖一般情形。同 时我们也注意到，基于混合序列的无穷个滞后项或预期项的函数所构成的序列 通常不满足混合性质。本论文将应用概率极限理论的相关工具，对由混合鞅序列 产生的线性过程的极限性质进行讨论。 混合鞅的定义最初是由M c L e i s h 仿照鞅的定义给出的，之后由A n d r C W S 给出推广。令 ，r t 1 ) 为定义在概率空间( Q ，莎，汐) 上的随机变量序列。 设 。，死1 ) 为莎的子盯。域序列，它关于礼递增。对于P 0 ，令I l x I I p = (
3、 E l X I p ) 1 p 和鼠( X ) = E ( X f 磊) 定义0 1 令P 1 ，称 ，罗，佗1 为L p 。混合鞅，如果存在非负实数序 列 c n ) 和 肛( m ) ) ，满足下列条件：p ( 仇) _ 0 ( m _ 0 0 ) ，且对于所有的n 1 和m 0 ，成立 ，I I 玩一m K I l p 肛( m ) c n ， 1 1 一鼠+ m K b u ( m + 1 ) c n 。 本文主要讨论由L 2 混合鞅产生的线性过程的弱收敛性质。 在第一章中，我们将介绍混合鞅的泛函中心极限定理，并且给出混合鞅序列 加权和的弱收敛性以及证明，这对于第二章中证明由混合鞅产
4、生的线性过程的 部分和过程的弱收敛性具有很重要的作用。第一章的最后简要介绍一下混合鞅 的其他研究结果。 线性过程的泛函中心极限定理对于刻划各种从计量经济模型的统计推断问 题中所导出的检验统计量的分布，起着至关重要的作用。有相当多的文献关于这 一课题作了深入而细致的讨论，其中主要针对有关创新项的相依性和模型系数 的各种不同假设条件下，部分和过程的极限分布形式。在第二章中，我们先介绍 关于线性过程的一些经典研究结果。 在第二章第二节中，我们讨论了如下线性模型 o o 磊= 如五勘 ( 1 ) j = o 其中 咒，一o 。 t l ， K ，莎，r t 1 w i l lb ec a l l e
5、d L p - m i x i n g a l e ， i ft h e r ee x i s tn o n n e g a t i v es e q u e n c e C n ) a n d p ( m ) ) ，w h e r ep ( m ) _ 0 ( m _ ) ，s u c ht h a tf o ra l ln 1a n dm 0 ， I l 鼠一仇I I p 肛( m ) c n ， I I K 一玩+ m k I I p p ( m + 1 ) c n W ew i l li n t r o d u c et h ew e a kc o n v e r g e n c ea
6、 n do t h e rc l a s s i c a lr e s u l t so ft h e m i x i n g a l ei nC h a p t e r1 T h ef u n c t i o n a lc e n t r a ll i m i tt h e o r yo ft h el i n e a rp r o c e s sp l a y sa ni m p o r t a n t r o l ei nt i m es e r i e sa n a l y s i s Av a s ta m o u n to fl i t e r a t u r ei sd e v
7、o t e dt ot h es t u d yo f t h ea s y m p t o t i c sf o rl i n e a rp r o c e s su n d e rv a r i o u sa s s u m p t i o n so nt h ei n n o v a t i o n s a n dt h ec o e f f i c i e n t s I nC h a p t e r2 ，w ed i s c u s sal i n e a rp r o c e s sd e f i n e db y 磊= ：易咒0 ， ( 2 ) j = o w h e r e X
8、 ，一o o t l ，称 K ，爵，n 1 ) 为厶一混合鞅，如果存在非负实数 序列 ) 和 弘( m ) ，m o ) ，满足下列条件：u ( m ) _ 0 ( m _ O O ) ，且对于所有 的n l 和m 0 ，成立： l l B 一m 0 p p ( m ) c n ， I I X 一鼠+ m I I p 肛( m + 1 ) c n 混合鞅的定义最初是由M c L e i s h 仿照鞅的定义给出的，之后由A n d r e w s 给 出推广。 当对于所有的m 1 ，有u ( m ) = 0 ，定义1 1 中定义的随机变量序列即为 厶- 鞅。 通常c n 是随机变量相对大小的
9、一种衡量，比如范数I I | | p ，我们有 I I K | l 鼠I l p + I | 一玩| l p ( p ( o ) + p ( 1 ) ) ( 1 1 ) 若对于某个E 0 ，u ( m ) = O ( m 以叫) ，则称( p ( m ) ) 的“大小”为一A 。进 而，如果定义1 1 中的 p ( m ) 的“大小”为一入，相应地，我们称 ，n 1 ) 是“大小”为一久的混合鞅。 下面我们给出随机阵列的混合鞅定义。令( i ：i = 1 ，2 ，n = 1 ，2 ，) 是- - N 定义在概率空间( Q ，莎，P ) 上的零均值随机变量阵列。 定义1 2 我们称阵列 k l
10、，i = 1 ，2 ，n = 1 ，2 ，) 满足岛一混合鞅的条 件：如果对于某个o r 一代数序列Z 。i ，只缸关于i 单调递增，存在一列正常数序列 i 以及 p ( m ) ，仇o 满足下列条件p ( m ) _ o ( 当m _ o o 时) ，对于所有的 礼1 ，i 1 ，m 0 ，有 I I E ( X t I 磊，t m ) I l p p ( m ) c 砸，( 1 2 ) 浙江人学硕士学位论文 t E ( K i l 民，件m ) l l p p ( m + 1 ) c 砸( 1 3 ) 鞅差序列、零均值M 一相依序列、L p ( P 1 ) 有界( s u p i 1E I
11、 X i I p 0 ) 的标准正态分布， 即 w z n 】= 高上。e - u 2 2 t p O t 砒，o ， 1 ( 1 4 ) 对于t = 0 ，则有w z o = 0 】= 1 ( 2 ) 随机过程 z t ：o t 1 ) 在分布w 下具有独立增量，即如果 0 t o t l “1 ，( 1 5 ) 则 z t l z t o ，z t 2 一z c l ， ，z t k z “一1( 1 6 ) 在分布W 下相互独立。 1 2 2 混合鞅的部分和的泛函中心极限定理 M c L e i s h ( 1 9 7 7 ) 在参考文献 2 1 中，证明了关于混合鞅阵列部分和的泛函 中
12、心极限定理。 定理1 1对于混合鞅阵列 i ，磊t ：1 i ，死1 ) - ，令( ) 是一列 在【0 ，k n ) 取整数值的非降的右连续函数，我们定义一个随机函数 k n ( t ) ( ) = K i ( 1 7 ) i = l 假设对定义1 2 中的己2 混合鞅阵列 i ，玩i ：1 i k n ，死1 ) ，T 。o ，有 一2 一 浙江大学硕士学位论文 ( 2 ) 一致可积， ( 3 ) s u p l i p 婆盥 ， s t Tn o 。t S 孥；，2 ，；妯( T ) ) m 呸、c n _ 0 ， h ( ? ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) (
13、志) 毛 o o ，(1II)k = ln = O 7、。7 ( 5 ) 对于任意s t U ，有 k ( u ) E I E ( K 1 ) 2 I 磊剐s ) ) 一( 乱一亡) I o ，佗_ o o ， ( 1 1 2 ) i = k n ( c ) 则彬，( ) 弱收敛到一个标准W i e n e r 过程。 为了本文需要，我们根据定理1 1 推论出混合鞅序列的泛函中心极限定理。 推论1 1 若随机变量序列 k ，玩，佗1 ) 为定义1 1 中定义的己2 混合 鞅，令k n ( t ) 是在【0 ，n 】上取整数值的非降的右连续函数。我们定义一个随机函数 h ( t ) 眠( 艺)
14、= z 1 x ， ( 1 1 3 ) 一“i = 1 其中，2 = E 砩，最= ：lX 假设T o 。，以下条件成立： ( 1 ) 一致可积， ( 3 ) 删i 嬲p 糍 o o ， 睾删，2 ；i 洲珊 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ， m a x ，、 _ 0 ， ( 1 1 6 ) i 七n ( T ) 、 7 3 一 浙江大学硕士学位论文 ( 4 ) k - - - - i ( n = 0 志) 呜 。， ，_ 。， ( 5 ) 对于任意s 亡 钍，有 惫，l ( t 上) 1 ，- E I E ( 妄) 2 l 巩小) ) 一( u t ) l o ，n o 。， i = k 。( t ) “n 则( t ) 弱收敛于一个标准W i e n e r 过程。 1 3 混合鞅序列加权和的弱收敛性 ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 完全收敛性的定义是由H s u 和R o b b i n s 给出的。称一个随机变量序列 ，n 1 ) 完全收敛于一个常
