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1、2.3 数学归纳法(2) 瑞安十中 朱善彬 数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确 ； （2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确 递推基础递推依据 “找准起点，奠基要稳” “用上假设，递推才真” 注 意： 1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k1中间的变化。 (1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明 时应根据具体情况而定. 练习1:欲用数学归纳法证明2nn2,试问n的第 一个取值应是多少? 答:对n=1,2,3,逐一尝试,可知初始值为 n=5. 证明中需要注意的问题 练习2:用数学归纳法证明3nn2. 此题在第二步的证明过程中
2、在假设n=k时,3kk2成立 的基础上,当n=k+1时, 要说明此式大于零,则必须k2.故在 证证明的第一步中,初始值应取1和2两个值. (2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k 命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之 间的逻辑递推关系,造成推理无效. 练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么 (1).当n=1时,左边= , 右边= (2).假设n=k时命题成立 即 那么n=k+1时, 左边 =右边, 即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确. (3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要
3、 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么 ，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加 的项. 1.已知: ,则 等于( ) A: B: C: D: C 练习： 例1:已知数列 计算 ,根据计算的结果,猜想 的表达式,并用数学归纳法进行证明. 例2:是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的 特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳 法证明它对一切正整数n都成立. 解:令n=1,2,并整理得 以下用数学归纳法证明: (2)假设当n=k时结论正确,即: 则当n=k+1时, 故当n=k+1时,结论也正确. 根据(1)
4、、(2)知,对一切正整数n,结论正确. (1)当n=1时,由上面解法知结论正确. 作业 1.是否存在常数a、b、c使得等式 对一切 都成立，并证明你的结论。 五.归纳、类比、猜想、证明 归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法； 数学归纳法的科学性：基础正确；可传递； 数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论； 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的 缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种 科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、 由有限到无穷 数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的 手段来解决“无限”的问题 数学归纳
5、法的核心: 在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二 步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数 学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限 到无限的飞跃。 课 堂 小 结 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 明确首取值n0并验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。 可明确为： 重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。
