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1、第一章 实数集与函数 1 实数 2 数集 确界原理 3 函数概念 4 复合函数与反函数 1 实 数 一 实数及其性质 二 绝对值与不等式 一 实数及其性质 自然数 减法 负整数 除法 有理数 开方 无理数 无理数的引入： 1）无限小数 2）区间套理论 3）分划法 4）有理数基本序列的等价类定义 实 数 回顾中学中关于有理数和无理数的定义 也可用有 限十进进小数或无限十进进循环环小数来表示； 有理数可用分数形式 有理数和无理数统统称为为实实数. 而无限十进进不循环环小 数则则称为为无理数. （p、q为为整数，q0）表示， 1. 实数的无限十进制表示 规规定 对对于正有限小数（包括正整数）x ，当
2、 时时，其中 而当为为正整数时时， a0 为为非负负整数,记记 例如 2.001 记为记为 2.000 999；对对于负负有限小数(包括负负数) y， 则记则记 例如 -8 记为 -7.999 9； 又规定数 0 表示为 0.0000.， 于是，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示. 则则先将 -y 表示为为无限小数， 再在所得无限小数之前加负号. 说明: 对于负实数x,y,若有-x -y （或-x=-y） , 则称x x)（或x=y）. 2. 两个实数的大小关系 说明: 自然规定任何非负实数大于任何负实数. . )1 , 0(, , 0,1, . 90 , 90), 2 , 1(, ,.,
3、. 1100 00210210 xyyxx，yyx balkbalba y；x，yxkba ba，kba ，babbbbyaaaax llkk kk kkkk nn = = = = + 或分别记为小于或大于则称 而使得或存在非负整数若 记为相等与则称若有 为整数 为非负整数其中 给定两个非负实数 L L L LLLL 定义1 定义义2 为为非负实负实 数，称有理数 为实数 x 的 n 位不足近似， 称为 x 的 n 位过剩近似， n = 0, 1, 2, 。 对对于负实负实 数 其 n 位不足近似与过过 剩近似分别规定为 与 以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件. 设设 而有理数
4、注 不难难看出，实实数 x 的不足近似 xn 当 n 增大时时不减, 当 n 增大时时不增， 即有 x0 x1 x2 ； 而过剩近似 命题题 则则 xy 的等价条件是: 存在非负负整数 n 使得 为两个实数 , 其中 xn表示 x 的 n 位不足近似， 过剩近似。 关于这个命题的证明，以及关于实数的四则运算法则的定 义，可参阅本书附录II第八节。 例1 设 x、y 为实数，x y . 证明：存在有理数 r 满足 x r y . 即有 设设 实数的主要性质 1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是 封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然 是实数. 2.实数集是有序的.
5、即任意两个实数a, b必满足 下述三个关系之一: a b, a = b, a b . 3.实数集的大小关系具有传递性.即 若a b, b c,则有a c. 5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间 必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数. 6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实 数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点 也都唯一的代表一个实数. . , 0 , , . 4 b na n a b R b a , 使得 则存在正整数 若 即对任何 实数具有阿基米德性 例2 证明 .,:,babaRba+则有若对任何正数证明设ee . ,. . baba bababa , + 从而必有矛盾 这与假设为正数且则令有 则根据实数的有序性 假若结论不成立用反证法 e eee a 0 -a 二 绝对值与不等式 从数轴轴上看的绝对值绝对值|a|就是点a到原点的距离： 实数的绝对值定义： 绝对值的一些主要性质 由此可推出 几个重要不等式: 均值不等式: (算术平均值) (几何平均值) (调和平均值) 有平均值不等式: 等号当且仅当 时成立. 即 等号当且仅当 时成立. Bernoulli 不等式: 利用二项展开式得到的不等式: 由二项展开式 今日作业P4 1,4 The Class is over. Goodbye!
