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1、大应变热弹塑性蠕变分析 陈火红刘长乱席源山 ( 航空工业总公司第六二八研究所) 摘要1本文结合工程实际， 对大应变热弹塑性蠕变有限元分 析进行一些探讨。采用更新拉 格朗日列式作为参照系统来描述大应变问题几何关系。在本构关系数值积分方面采用参数 积分法， 分别采用牛顿一 拉斐逊法 进行应力各分量迭代和等效应力函数法对等效应力进行迭 代。编制了有限元程序并集成人 非线性分析程序A R O L A N S 之中， 最后给出一个工程例题验 证算法及程序的可靠性 也证实了等效应力函数法可以大幅度提高计算效率。 关健词: 大应变几何非线性蠕令;ME件 I 引言 在工程实际中， 常会遇到大应 变热弹塑 性蠕
2、变问题， 如长期在高温环境下工作的承力结 构、 金属 超塑性成形、 压力加工过程等。 对这些结构进行应力、 应变分析及加工成形过程进行 数值模拟时， 需 要采用几何非线性 来描述位移与应变之间的关系及合适的参照系统， 并且需要 效率高、 稳定性好的本构方程积分 方法。 本文先讨论大应变下的有限 元控制方程， 接着给出了由 文献仁 2 1 、 3 提出的二 种不同的热 弹 塑性蠕变本构方程的积分处理方法， 编制了有限元程序， 最后给出 一个金属成形过程数值 模 拟的工程实例， 证实了采用等效应力函数法可以大幅度提高计算效率。 2 几何非线性有限元方程 大应变问 题在力学上属于高 度几何非线性问
3、题， 用传统的工程应变来描述超塑成形的变 形情况已 经不适宜了。现在， 力学上普遍采用了两种参照系统来描述大变形、 大转动和大应变 的问 题。 一种是空间描述， 即欧拉描述; 再一种是物质 描述， 即拉格朗日 描述， 包括全拉格朗日 描 述和 更新拉格朗日 描述。本文中， 采用更新的拉格朗日 描述( U p d a te d L a g a n g i a n F o a n u l a - ti o n ) t i ， 它 是 以 平 衡 时 刻 的 物 体构 形 作为 物 体 的 参 照构 形 ， 即 认为 在t 时刻 的物 体是 未 变 形” 物体， 去求解下一时刻 + ,A t 时物体
4、的各个未知变量。 因此 ， 用更新拉格朗日法所定义的格林应变应为: 丙 = l ra u;2 1 a x; a;a x , I A u ,a x i a p uta z; 。 航空科学 基金 、 人 事部 留学 回国人员 科技 活动 D 类 资助项 目 二 A 城 + Q E 4 ( 1 ) 式中 下 标t 表示参照构 形选在。 时刻。 用 更新拉格朗日 法所定义的K i m J ih o ff 应力在 十 乙 : 时刻写成 1 1 S e = : 。 ， + 4 , 凡( 2 ) 式 中 ， : ， 为: 时 刻的 真 实 应 力， 也就 是 柯 西 应 力， ll i . S v 为 参
5、照: 时 刻 物 体 的K i r c h h o ff 应 力。 有限元的最后控制方程为: ( : 仁 K ) o +, K , ) I A g I 二 J K I r ) L 9 ) 、!厂、IJ、 q连气 了、了奋、了 二 F ) + T 一 P ) :K a = E f ,。 ,B I C ,B d v !f K “一 艺 丁 :， x 丁 a l ax “ 山 :二 二+ 乙 ， 山 、( 6 ) 式中， , K 。 为不考虑几何非线性的常规刚度矩阵、 : 胡。 为初应力刚度矩阵， , K I : 为切线刚 度 矩 阵 ， C 为 材 料 矩阵， B I 为 几 何 矩 阵. 6 q
6、 ; 为 节 点 位 移 增 量， 下 标 表 示 节点 号、 。 为 单 元 体积, N为单元形函数汇司是柯西应力矩阵、 I 川是体外载、 川为考虑了跟随力后的表面外 载， 而 列是等效节点内力。 式( 3 ) 一 式( 6 ) 的详细推导过程可以参见文献 1 0 为了 剔除刚体转动给直接代人本构方程带来的 误差， 引人J a 、应力率方程， 用于计算 真实的物 理应力 柯西应力( C a u c h y S tre s s ) 。焦曼应力率方 程衣述如 下: a y = DD ta ， 一 a o n ; 一 、 fl n 4 二 告 ( a y,.a x ; 一 a v; ( 7 ) 式
7、 中 ， a y 是 应 力率， 。 、 是 旋 转率 。 ( s ) 因 此 在已 知t 时 刻 的 : a y , 丫， tE 州 后， 求 未 知 + a t 时 刻 的 柯 西 应 力 有: w d : a Y = a V + 犷勺， + 加 ; 珠d t + 沁 珠d t 式 中 :. 4 , s ， 二 ，; 0 a 0 d t 二 . m 气( : ， 一 。 成 ) ( 9 ) ,dl,; d t = 2 袋一 翱 由 式( 9 ) 中可以看出， 在考 虑焦曼应力率方程的 情况 下， 也就 考虑了 刚体的 旋转效应的影响川。 3 本构关系积分 蠕变流动定律通常可写为 E q 二
8、 F ( a ) s u 为积分上 式， 采用 参数积分法即。 法( O ti R G ) ， 用: 表 示总应变， 假定t 时刻已知 E a , E , e , 等， 求t + a t 时刻的 十 山 。 、 ， + 山 饥， 山 么 ， + 山 扩及， 0 e等。认 令. d 二 。 + ,+ ,E 0o t ( o 。 蕊 1 ) = E c + 严 ( ， 心 J ) “ 己 5 沪 t 式中 + m o = ( 1 一 ) 奋+ e + d Q - d s ， 二 ( 1 一 。 ) S 4 + a d,S y 为了 利用牛顿一 拉斐逊法迭代求解， + d ee ， 对式 ,. 份二
9、 “、 d ( .) - r+d a (k) ( 11) 上式中， D为偏 应力算子矩阵( s 二 D O。 下标k , k + I 分别表示第k 次和第k + l 次迭代。 把式( 8 ) 同应力” 幽 a (k . 1 ) 迭代式: ! ， 、 - C E L 。 ，一誓 粤 。 “ ama )D 、， (A :二 = ,+ a c E ( : 一 : 一. d, E P 一 6 tiL ( + ,Q (A) ) ) D ,+ Q (k) Q ( k r l ) ad t,. C E L D :一 、 au (,.o,Q )a ,.a,a (,.m ,a )D *、 ,* a(k)一( 1
10、 2 ) 一起求解， 即可解出粘塑应变t + d ce ， 应力 . d 6 等。 式( 1 1 ) , ( 1 2 ) 的详细推导过程可参见文献【 2 0 ( 1 2 ) 式的 + 4 ,E , 由 E , . m , 律相关变盆 , . 气 确定: 口及材料硬化规 , F 4 E p=,E v +乙 t , . a D 0 0 a ( 1 2 ) 式为6 阶方程组， 迭代时需要反复 迭代、 求解6 阶方程组， 效率较低。 一种等效应力函数算法， 将原来6 阶方程组， 应力分蚤。对于各向同性硬化， 迭代式为: ( 1 3 ) 为此文献 3 提出了 降为一阶方程即只迭代求解等效应力而不是六个
11、、 6 2 i . 一 C 2 + 气2 一 d = 0 其 中 f ( , . m o ) =。 ， ; 2 1 +, . o , V a_ 一 , m E 一+a d t 0 0 t 2 +AA b二 3 ( 1 一a ) d t 0 e c二 ( 1 一a ) A t a- d 2 二 3 e 0 , . a ,了 , + a .e 二 十 山 e_ E P一E e 为应变偏张量 二二 粤1 _ a Y . m Q t - 凡 求 得 “ d -a 后 可以 得 到 e + o d ty ,w ， 以， & , 1 1 4 1 . 等 。 4 应用实例 将前述大应变几何非线性有限元方 程
12、及采用等 效应力函 数迭代 算法的 本构方程数值积分 方法 编制成有限元程序并集成人我组开 发的 非线性有 限元分 析程序A P O L A N S 中， 进行算例考 核 后， 应用工程实际中。由于 篇幅所限， 本文仅 列出 在航空发动机静止 叶片 成形 过程数值模拟 分 析中的 应用。 材料为 钦合金T C 4 ， 该材料在适当的高温及在合适的 压力作用下， 具有超塑性性质， 材料 的 延伸性显著 增强， 应变可以达到百分之几百。利用材料这一 特性， 可以 进行一些薄壁件的超 塑 成形。 在本例中， 对利用三层板 来加工形成空心的航空发动机静止叶片工艺过程进行数值 模拟。 采用 平面应变单元
13、， 每层板厚为 1 . 2 m m ， 板宽1 6 0 m m ， 采用弹性蠕 变本构关系描述材超 塑 性， 蠕变规律为E 二 0 . 2 4 2 X 1 0 - b 沪a 。根据对称性， 取结构一半进行分析， 共有1 2 3 个Q 9 节点 平面 应变单元， 如图1 所示。 在实际加工中先对 板的 某些部位 进行焊接， 然后采用吹气法施加 压力载 荷， 载荷时间曲 线由多次 试验来确定， 目 标是尽可能使构件中最 大应变率达到2 x 1 0 - 左右， 以 使材料具有 最佳的 超塑性。在模拟时， 对焊接部件进行位移约束， 压力载荷 采用优化 法施加， 保证构件中 最大应变率始终在要求的范围内
14、。图2 与图3 分别为加载时间为6 0 1) 秒 与2 9 4 0 秒时的变形结果， 与实际情况较吻合， 可 见应变 很大。另外我们不用等效应力函数法 而用 前节中介 绍的前一种迭代方法( 该方法在原A P O L A N S 程序已 存在) ， 则计算时间增加一 倍。这证明采用等效应力函数法可以大幅提高计算效率。 模 具 图 1 变形前单元网格 一 一 一一 _ _ _ 一 图2 时间为6 0 0秒时的单元网格 图3 时间为 2 9 4 0 秒时的单元网格 5 结论 本文 对大应变热弹塑性蠕变分析进行了 一些探 讨， 编制了 有限元程序， 经例题及工 程实例 考 核证 实所采用算法及所编制
15、程序的可靠性， 也证实了在本构关系积分时 应用等效应力函数 法可以有效地提高计算效率。 参考文献 何君 毅、 林祥都， 工租结构非 线性问题的数值解法 ， 国防工业出版社， 1 9 9 4 . M. D. S n y d e r a n d K. J . B ar. , A S o lu ti o n P r o c e d u re fo r T h e r m o-E la s ti c - IIa s ti o- P l a s t ic a n d C r e e p P rob l e ms . N u c le a r E n - g i n e e r i n ga n dD e s ig n , V o l . 6 4 ,4 9 - 8 0 09 8 1 ) . M
