3-1一维运动问题的一般分析

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1、 1 第三章 一维势场中的粒子 3.1 一维运动问题的一般分析 一维问题的实际背景是平面型固体器件，“超晶格”，以及从高维问题约化下来的一维问题。 3.1.1 一维定态 Schr dinger 方程的解的一般特征 一维定态 Schr dinger 方程是 22 2 ( ), 2 d V xE m dx 或者写为二阶常微分方程的标准形式 2 22 2 ( )0. dm EV x dx 在经典力学的意义上ETV，其中T是动能，永远0，因此我们永远有0EV。而在量子力 学里由于有不确定关系的缘故，我们完全谈不上粒子在某点处有多大的动能，因此即使在0EV的 区域里，波函数仍然有非零解。然而方程在0EV

2、的区域和0EV的区域解的特征是完全不同 的。我们把0EV的区域称为经典允许区经典允许区，0EV的区域称为经典禁戒区经典禁戒区。 把方程重写为 2 22 12 (), dm EV dx 并假设是实函数。画出( ) vs ( )xx的曲线，那么我们发现： 在经典允许区(0E V即EV)里，( )x在横轴上方是向上 凸的，在横轴下方是向下凹的； 在经典禁戒区(0E V即EV)里，( )x在横轴上方是向下 凹的，在横轴下方是向上凸的。 所以，在经典允许区里( )x呈现出振荡式的行为，而在经典禁 戒区里( )x通常是单调变化的。 这样一个直观的图像对于我们理解以后的问题很有帮助。 3.1.2 关于一维定

3、态 Schr dinger 方程的解的基本定理 朗斯基(Wronski)定理：若势能( )V x在x上没有奇点，1( )x和2( )x都是一维定态 Schr dinger 方程的解，而且属于相同的能量，那么 12 1212 12 常数, 其中/ddx 。证明：1( )x和2( )x分别满足 11 2 2 ()0 m EV , 22 2 2 ()0 m EV , 前式乘以 2 ，后式乘以 1 ，再把后式减去前式，得 0)( 21212121 , 所以 c 2121 . 称为)( 1 x和2( )x的朗斯基行列式(Wronskian)。它的意义在于：当0时，1( )x和2( )x是线 性相关的，也

4、就是说它们只相差一个常数因子，而当0时，1( )x和2( )x是线性无关的。 以下我们只考虑非奇异的势能函数。 3.1.3 一维定态的分类 束缚态与非束缚态 一个量子体系的状态可以从不同的角度加以分类。区分束缚态束缚态与非束缚态非束缚态是其中重要的分类方法。 它们的定义定义是：如果 2 | ( )0 x x , 从而粒子在无穷远处出现的几率为零，那么这样的量子状态就称为束缚态，否则（也就是说在x 或x或x时0)(x）称为非束缚态，或称散射态。 粒子处于束缚态还是非束缚态的判据判据是：假设( )V x在x 时有确定的极限（也允许） ， 分别记为()V 和()V ，那么在能量E满足 ()EV和()

5、V 时粒子处于束缚态，而在 ()EV或()V 或二者兼有 时粒子处于非束缚态。 在束缚态下，粒子只在有限的空间范围内运动，而在非束缚态下，粒子可以在无穷远处出现。 束缚态和非束缚态有重要的区别。这些区别将在今后通过具体的例子进行介绍。 把束缚态和非束缚态的概念推广到高维空间是直接的。 3.1.4 一维束缚态的一般性质 首先我们指出下面两个定理和两个定义。 共轭定理：若( )x是定态 Schr dinger 方程的解，则( ) x 也是该方程的解（且能量相同） 。 当然，这里要假定势能( )V x是实函数。 反射定理：设势能函数( )V x是关于原点对称的，即满足 ( )(),V xVx 那么若

6、( )x是该方程的解，则()x也是该方程的解（且能量相同） 。 这两个定理的证明都很容易，不再详述。 定义：如果对一个给定的能量E，只有一个线性独立的波函数存在，则称该能级是非简并非简并的，否则 称它是简并简并的，其线性独立的波函数的个数称为它的简并度简并度。 定义：如果波函数( )x满足 ()( ),xx 则称( )x有正的（当号成立时）或负的（当号成立时）宇称宇称。如果量子态有确定的宇称，它的宇 称是正还是负就有重要的意义。宇称具有纯量子力学的特征，在经典力学中没有对应物。在二维或三维 空间中，宇称的定义推广为 ()( ).rr 关于一维束缚态有以下的一系列定理。 不简并定理：一维束缚态必

7、是非简并态。 证明：假设1( )x和2( )x是一维定态 Schr dinger 方程在同一能量下的任意两个解，并且都是束 缚态，那么首先根据 Wronski 定理， c 21 21 , 其中c是与x无关的常数，因此可以在X轴的任意点上计算它的值。再根据束缚态的定义，当| x 时( )0 x，我们就可以在| x处计算，当然得到 0 , 所以1( )x和2( )x是线性相关的，即 )()( 21 xAx,（A是常数） 而这就表示1( )x和2( )x代表相同的量子状态，所以它是非简并态。 注意，这个定理的两个前提“一维”和“束缚态”缺一不可。 波函数既然是复函数，它就可以写成下面的形式： )(i

8、 e)()( x xx , 其中)(x和)(x都是实函数，)(x称为波函数的模，)(x称为波函数的相位。 定理：一维束缚态波函数的位相函数)(x必是常数。 证明：借助于共轭定理和不简并定理，一维束缚态波函数和它的复共轭必然只相差一个常数，即 ( )( ),xAx 3 所以 i( )i( )i2 ( ) eee xxx AA 常数, 由此就得到 ( ).x常数 推论：一维束缚态波函数可以取为实函数。这是因为上式中的常数可以取作零。 说明：非束缚态（散射态）的波函数是根据边界条件来确定的，通常不会导致实的波函数。 宇称定理：如果()( )VxV x，则一维束缚态波函数必有确定的宇称，即()( )x

9、x 。 这个定理的证明不再详述。 束缚态（不只是一维束缚态）还有一个更重要的特征：它的能级是不连续地（离散地）变化的，即 是说，仅仅当E取某些离散的数值时，定态 Schr dinger 方程才有单值、有限、连续的解。这就是通常 所说的“能量的量子化”。在直观上，可以利用一维 Schr dinger 方程的解的一般特征做如下的说明。 见左图。 假设粒子从x 向右方跑来。 1 xx是经典禁戒区， 只能从0开始单调地增加，在 1 xx处达到0 。 12 xxx是经 典允许区，振荡地变化，到 2 xx时再次有0 。在 2 xx的区 间里，又是单调地变化， 具体的行为取决于 2 xx那一点的和， 而它们

10、已经被 2 xx的解完全决定了。 所以就有这种可能： 在 2 xx处 的和都0，因此会一直增长下去，在x时， 这当然不行。为了避免这样的情况发生，我们应该增加一点E的值。 而如果E增加得太多，在x时又可能，这也不行。所 以情况是如此微妙， 就是存在一个能量 c E， 恰好使x时0。 这样的能量 c E就是实际存在的能级。当然，图中所画的情况在 12 xxx中 4 次跨过横轴，并不是必然的。把能量降低得充分多，我 们可以依次找到使在 12 xxx中 3 次，2 次，1 次跨过横轴乃至与横轴完全 不相交的能级，见右图。 在数学上，有严格的理论Sturm- Liouville 理论， 可以证明离散本征值的存 在。