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1、波前功率谱密度( P S D ) 测量滤波器的设计 陈伟k 2 姚汉民1 伍凡1 范斌1 吴时彬1 陈强1 ( 1 中困科学院光I U 技术研究所，成都6 1 0 2 0 9 2 中国科学院研究生院，北京1 0 0 0 3 9 ) 摘要相：采用波前功率谱密度( P S D ) 评价火I ：J 径光学7 e 件时，由于测得的原始数j j 舌受到测量系统 0 l 入的符种噪声和外界十扰的作用，会使检测精度下降。针对这个问题，必须0 I 入带通滤波技术，对原始 数据的有效滤波，日J _ 以减小带外的噪声分量和频珊混叠现象的影响。分别设计J ，无限脉冲响心( f I R ) 带 通滤波器和柯限脉冲响心
2、( F I R ) 带通滤波器，通过模拟分析比较r 两者的性能，得n 波前P S D 用于人 u 径光学兀件面形质量的评价时，采用F I R 滤波器可以得到更高的测量精度。 关键例功率谱密度，傅直叶变换，带通滤波，光学榆测 一引言 随着航大、大文、军事等领域的发展，人口径光学元件在各种精密光学系统中虑州日 益J 泛，同时对成像系统的分辨力要求不断提高，从而要求更严密的控制元仆的表面面形 及表面散射。传统光学面形评价指标如P V 、R M S 及粗糙度，仅覆盖了表面面形低频及高 频频率段，对丁：中频部分面形误差没有专门的评价方法I l 】，P S D 计算的本质是傅立叶频谱 分析，分析时不受元4
3、 q ：孑L 径的限制，便于对不规则外形的元什进行各种频率分草的分析。 采H jP S D 描述方法，通过傅立n _ I 变换，可以定餐地给山光学元f ，l ：波前误差的空问频率分布， 从而确定各个频率分堵的影响。 P S D 测鼙中涉及了傅立n _ I 变换和滤波，故采样不足、频谱混叠、滤波窗口选取不当等 都会导致测量结果的误差。设计一个合理的滤波器对提高测量的精度有至关重要的作川。 本文从测量精度分析比较了应用于P S D 测量的I I RB u t t e r w o r t h 带通滤波器利F I R 带通滤波 器的性能。 二理论 光学面形轮廓函数z ( x ) 的一维傅立叶变换如。卜
4、【2 j z ( 七) = f z ( x ) e x p ( 一i h ) d x ( 1 ) 式年：k 为波数。假设面形数据中包含了N 个z 0 ) ，且它们具有相同的采样间隔A x ，则 整体采样艮度为L = N 血。将( 1 ) 式离散化 z ( 肌) = 血z ( n ) e x p ( - i 2 n m n N ) ( 2 ) 一2 1 7 式中：七= 2 n f ，其中厶= m ( N 6 x ) 为空间频率，N 2 _ ，1 ：N 2 。 P S D 可从表面轮廓数据直接得到，其一维计算式为：。 肋c m ，= 掣= 簇如一吼删1 2 P S D 的有效频率宽度本质上跟被测表
5、面轮廓的特征有关，测量上跟采样方向上所取的 采样长度及该采样长度内含有的象素点数有关，因此每次测量中选取采样长度及象素点数 时，应注意被测表面轮廓起伏大致的周期，即被测的是什么样的表面，保证每个周期上能 有合适的采样点数，还须注意，任何情况下，P S D 有效频率宽度都跟测试仪器的频率响应 宽度有关。 如按照ELC h u r c h p 方法，对P S D 有效频率宽度做保守估计，则有效频率宽度为： 2 厶 I 厂 暑 ( 4 j 这里 为最低空间频率，f o = 1 L ，L 为采样长度 三滤波器设计 P S D 测量受测试设备的限制，其有效频率带宽在一定的范围之内，设计一个合适的带 通滤
6、波器尽呵能地过滤无用的频谱成份而保留有用成份，将有效的提高分析的精度H l 。出 于设计和实现目的，滤波器可分为无限脉冲响应滤波器( I I R ) 和有限脉冲响应滤波器( F I R ) 两大类。 由公式4 可知，对于采样长度为i 0 0 m m ，采样点数为2 0 0 点的一维轮廓线，采样频 率为2 垅m ，其有效频率响应宽度在0 0 2m m _ O 5m m _ 之间。 1 I I R 滤波器设计 I I R 滤波器具有无限宽的脉冲响应，所有 的模拟滤波器一般都具有无限长的脉冲响应， 因此它与模拟滤波器相匹配p J 。I I R 滤波器的 基本技术就是利用复值映射把熟知的模拟滤 波器转
7、换成数字滤波器。 因为I I R 滤波器的相位为非线性的，所以 需要对信号按顺序滤波，然后将所得到的结果 逆转后反向通过滤波器，实现零相位数字滤 波。B u t t e r w o r t h 滤波器在通带内有最大平坦 的幅度特性，而且随着频率升高呈现单调减小 的特点，故以之设计满足上述要求的I I R 滤波 器，由所给参数计算得到B u t t e r w o r t h 带通滤 一2 1 8 一 N o r m a l i z e ds p a t i a lf r e q u e n c yN o r m a l i z e ds p a t i a lf r e q u e n c y
8、 图lf I R 带通滤波器和F I R 带通滤波器的频率响应 Dp，星ad霉：名 波器的阶数M = 1 0 。 2 F I R 滤波器设计 与I I R 数字滤波器相比，线性相位选频F I R 滤波器的优越性为：在设计中，只包含实 数算法，不涉及复数算法；线性相位滤波器中，不存在延迟失真，只有固定数量的延迟； 长度为M 的滤波器( 阶数为M 一1 ) 的计算量为M 2 数量级。 采取窗函数法设计F I R 数字滤波器，选取h a r m i n g 窗，阶数取为4 0 阶，其数学表达式 为： w i n ) = 扣c o s ( 鲁) 】，m _ 0 ，l ，肛1 ( 5 ) 其频域特性为：
9、 职w ) = 侄( 缈) + o 2 5 【( 国+ 音备) + ( 国_ 音乌) 】卜问 掣 ( 6 ) 其频率窗可以看作是三个矩形空域窗的频谱之和，括号中后两项相对于第+ 个频率窗左、 右作r 一定平移，从而使负旁瓣相互抵消，消去高频干扰和泄漏。 由给定的设计参数，I I R 的1 0 阶B u t t e r w o r t h 滤波器和加h a n n i n g 窗的F I R 滤波器的频 率响应如图l 所示。 四模拟实验 通过计算机模拟一个采样长度为1 0 0 m m ，对应的采样点数为2 0 0 的序列，该序列包 含三种频率成分，Z = 0 1 m m 一， = O 2 r a
10、 m _ 。， = 0 6 r a m _ ，第三个频率成分可以 看作是通带外的噪声分量。由它们合成的信号可表示为： z ( n ) = s i n ( 2 n ，：z ) + s i n ( 2 n f 2 z ) + s i n ( 2 n f 3 z ) ( 7 ) x l m m ) 图2 I I R 滤波器和F I R 滤波器的 滤波输出信号 喜 l 堇 l 图3l I R 滤波器和F I R 滤波器的滤波输出信号 与理想输出信号之间的误差 2 1 9 该公式表示的数据序列如图2 的上图所示。图2 的中图和下图分别表示该信号通过I I R 带 通滤波器和F I R 带通滤波器得到的输
11、出信号。由图中可以看出，两种滤波器均可以滤除带 外分量，获取有效频段内频率分量所组成的信号。图3 是I I R 滤波器和F I R 滤波器的滤波 输出信号与理想输出信号之间的误差。I I R 滤波器测得的最大面形误差为2 0 3 8 4 ，平均误差 为0 0 6 8 9 ；F I R 滤波器测得的最大面形误差 为1 2 7 2 3 ，平均误差为0 0 3 0 6 。由此可见 F I R 滤波器的最大测量误差以及平均测量误 差都比I I R 滤波器的小，说明F I R 法设计的 带通滤波器有更高的测量精度。 图4 上图为由模拟的原始数据计算所 得的功率谱密度图，中图为经过I I R 滤波器 滤波
12、后所得数据计算出的功率谱密度图，下 图为经过F I R 滤波器滤波后所得数据计算 出的功率谱密度图。由图中可以看出，I I R 滤波器和F I R 滤波器均可检验出有效频段 内的频谱成分，而I I R 滤波器对有效频段外 的频率虽然起到了抑制作用，但其效果不如 F I R 滤波器的抑制作用好。 五结论 f ( r a m 、 图4 I I R 滤波器和F I R 滤波器的 滤波输出信号的功率谱密度 在波前P S D 分析中，由于测得的原始数据受到测量系统引入的各种噪，知和外界二 二扰的 作用，为此必须引入带通滤波器，以减小带外的噪声分量的影响及避免发生频潜混叠现象。 I I R 滤波器的计算量
13、只与滤波器的阶有关，而F I R 计算量与脉冲响应的点数有关，相对而言， I I R 滤波器比F I R 滤波器计算速度快，但精度不如F I R 高，二者各有优缺点，合理的选择、 设计滤波器对于准确的恢复波前相位数据，求取其P S D 具有重要意义。 参考文献 【1 杨力。“先进光学制造技术”，北京，科学出版社，2 0 0 1 2 JME l s o na n dJMB e n n e t t C a l c u l a t i o no ft h ep o w e rs p e c t r a ld e n s i t yf r o ms u r f a c ep r o f i l e d a t a A p p lO p t 。1 9 9 5 ，3 4 ( 1 ) ：2 0 1 2 0 8 3 ELC h u r c h 。F r a c t a ls u r f a c ef i n i s h ，A p p lO p t ，1 9 8 8 ，2 7 ( 8 ) ：1 5 1 8 1 5 2 6 4 胡，。f S ，“数字信号处理一一理论、算法与实现”，北京，清华大学出版社，2 0 0 3 5 王泽勇，吴双卿，高晓蓉，等光栅投影三维形貌低通滤波器的设计 光电L 程， 2 0 0 5 3 2 ( 4 ) ：5 9 - 6 2 2 2 0
