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1、Jl.刀J闷1月.刃1.日1.;.，11刁刁1，j，工J、!， 3 2 0模糊集理论与应用 F u z z y 循环群及其计数间题 胡宏佳 摘 要本文主 要研究F u z z y 循 环群的计数间 题、 并介绍F u z z y 群的同 构与 群链的关系 关扭词F u z z y 循环群计数 引言 模糊数学是一门崭 新的学 科， 它自1 9 6 5 年由 美国著名控制论专家查德( L . A . Z a d e h ) 教 授创始以来， 发展十分迅速， 关于F u z z y 群的理论亦在蓬勃发展。 本文仅在 1 的基础上， 对 F u z z y 循环群的计数间题作了进一 步的探讨， 并得到
2、了一 个普遍的结论， 在一特殊的情形下 得到了彻底的解决。 在此之前， 先介绍一下 F u z z y 群的有关理论。 一、 F u z z y 群的子群链与同 构 IJ月1月，.闷 钊 定义1 群GI的F u z z y 集u称为F u z z y 子群， 如果满足: ( 1 ) 对任 意g E G , p ( g ) = k - ( g ) t ( 2 ) 对任意g i , g z E G , p ( g i g z ) )P ( y; , 琢( g 2 ) ， 特别地当G是 循环群时， 称H 为 F u z z y 循环群。 F u z z y 子群与群链关系有如下定 理: 定 理1 设
3、G为有限群， G的一个 子群 降链为G=G , : ) G L 7)。认. 又取 0 , 1 上 数 组n 一 A , A 2 一 “ ; ， 那 么 ， 。 二 ，以 A :G是 G 的 一 个 F u zz y 子 群 。 定 理2 设 群G 与乙的 子 群 链 分 别为 G=6 , DG 2 D. . . 7)G ， 及石二 瓦 瓦 。 。瓦， 又 设 在 0 , 1 上 取 值为n =I A , A 2 A ( 与n =1 A , A 2 x 洲， 若 存 在 G 一 百 的 映 射 * 使 。 t 叠 瓦 ( * 二 1 , 2 , 、 ) ， ， 是 * 在 G ， 上 的 限 制
4、 ， 则 F u z z y 子 群 ， 二 0 l ;G与 N二 0 、 耳同 构 。 定 理 证 明 略 ) : -1 i = 1 为了叙述方便， 我们再介绍一个定义: 定 义2 群与 吞的 两 个 子 群 链: G=G , G 2 = ) 。民与乙二瓦。瓦 熟 瓦之间 如 果 存 在 映 射， ， 使G ; = 砚 ( 二1 ， 2 ， . . . , ) , p 是 G 、 上 的 限 制 ， 则称 它 们为 同 型 子 群 链。 综上所得: 同 构的F u z z y 群具有同型 子群链， 反 过来， 如果两个子群同型， 则具有相应数 组( 个数和 大小 顺序相同) 的两个子 群必同
5、构。 特别地: 当G二 G时， 同型的 链由 完全相同的 子群构成。 第三部分模糊代数 3 2 1 二、 有限F u z z y 循环群的计数问题 有限F u z z y 群的 计数问 题， 要求群的阶 数N的 任何一个因子都有唯一确定的子群， 故下 面只 就F u z z y 循环群进行 讨论。 下面讨论一般的有 限F u z z y 循环群的计数问题， 为了 叙述方便， 先引 进点串 的概念。 定义3 在S 维空间上， 设( n ) , n 2 , , n ) 为 空间上以非负整数为坐标的点， 自 ( 7 n , n 2 ， 一 ， 。 ， ) 起 ， 用 线段 把 若干 点( n u ，
6、 ， 妄 . . . ， n ; L ) ) , ( n 1( 2 ) ， n z( 2 ) ， 二 ， n 2 ) ) , ， ( n i ) , n z 1 ) , ， ， 尸 ) , (0 , 0 , . , 0 ) ( 其 中 。 Gn i() 一 (n (2 ), 。 ) -n ， ， 二 1 ,2 , ， : ; 且 。 艺n cn 了二飞 刃 砂 买 心 买 n, 连 接 成 的 点 组 ，称 为 。 (R z . R ， 的 点 串 ， D ( ,。二 z ，!， 所 有 可 能 的 点 串 数 记 为 D ( n .。 :, n ) I ， 特 别 地 ， ( I D (o
7、,o. .。 ， I - 0 ) 0 现在介绍本文的重要定理: 定理3 G为 循环群， G =P : 0 P z 0 : 一只 。 、 ， ( P ) , P z , ， 只为 互异素数， 。 ， 妻。 ， ， 一 买 、 到 ， 则 G 上 的 F u zz y 循 环 群 的 个 数 M “ “ 、 、，州 ; 其 中 D ( n ， ， 、 ，J) 二 1 +艺 厂今f 二 t , 2 I D( ; Z t , 云 rz 特别地: 当、 证 1 . 当 5二 2 . 假设 : 一 1 时 ， ， G I 一 尸， 则M=D， ， 而 D , - I + 艺 D ; ， = I时， 命题显
8、然成立。 二k 时， 命题成 立 即: ) D c ， 、 ， 甲 、 n 买 : 。 “ ( ， ， S 乙， 那么， 当、二 要 证: I D 。 1 k+1时 翼 . ，* 1 。 1， ， 、 d 兄: 艺n ( 1 ) 0 当n 1 =， : =价 =n k=0 , n k : =1 时， ( I ) 式显然成立。 当、二n * 十 I =1 , 而，=。 ， f 共， 时， ( 1 ) 式显然成立。 2 . 假设。*1 簇 。 。， 即: D i m . ， .。 卜 1 ) = 1 , ， ， (。 ( 1 (， -k ) 时 ， ( I ) 式 成 立 。 艺 气 气 勺广i
9、. z 1 r D 二 l r z 、 . . , 3 2 2 模翔集理论与应用 由于 点( MI , m 2 , . . . , m .; 十 l ) 的 每一个坐标均不大于( n 1 ， 二 2 。 一， ， ; 1 ) 的坐标， 其中二 。 + ， 镇n k + 1 一 1 ;而 在 这 些 点 中 的 点 串 上 连 结 ( n 1, n 2 ， 二 ， n k + 1 ) 就 可 以 得 到D ( n1 。 ，二 ， 。,.1 ， 的 点 串 ; 而D ( :.。 :， ， 。卜 :) 的 点 串 ( 除 ( n l , n 2 , “ , n k , l) 一 ( 0 ， 0 ，
10、， 0 ) 外 ) 都 可 如 此 得 到 。 由 点 ( ( n 1 , n 2 ， 一， n k + l 一1 ) 变为 点( n l , n 2 , 一 n k , n k . 1 ) 时. 新增加的那 些新点为: l ( t l , = N 2 , D k , ， ; 十 1 ) t i ( n j , j 由! D m . o . . . . o . u 可 求 ， 得 D co , o . - 、 D (o .o .o. 1) 可 求 ， $4 I D (i ,o , 二 1 , 2 , - -, k 且 艺八艺， ， .o . ._ ) 可 求 ， 又 由( D (1 ,o ,o
11、 , . ，、 :) I 可 求 。 同 理 D ro . , ， 。 1 ) I 可求， D (l , a . 二 ， o , o ) . ，,. ,) 可 求 ， 其 中 :1 簇 j 簇 k , 汽 镇n j , 八十 + 八-1 ， 而当。=1 时， a c 1 。 ) 在后面) ( 4 ) = 1 , n) I ( 定理4的证明 由定 理4 以及( 2 ) 式， 则可以确定 a 1 = P I P 2 二上的F u z z y 循环 群的个 数。 为了 计算 M二 D ( ; n 。 ) 的 方 便 ， 现 把 一 部 分 的。 ( ， . 。 ) 值 做 线 表 格 给出 ， 这 样 对。 ( ， 、 : ) 的 规 律的 体 现 以 及对 M = D c ， ) 的求值都有好 处: j.，刊J，、J闷月、11 n 1一 2 _ 345 6789 111 2481 63 26 41 2 8 2 12 5 l 1 22 86 41 4 43 2 07 0 4 313 92 56 61 6 84 1 61 0 0 82 4 0 0 4141 4 4 41 2 93 6 09 6 82 5 2 86 4 4 8 515 2 0 一 7 02 2 56 8 11 9 7 0 5 5 0 01 4 9 2 0 6162 71 0 43 6 31 1 8
