《1999年考研数学一真题及解析公式及答案修正版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《1999年考研数学一真题及解析公式及答案修正版（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题年全国硕士研究生入学统一考试数二试题 一、填空题一、填空题(本题共本题共5小题，每小题小题，每小题3分，满分分，满分15分。把答案填在题中横线上。分。把答案填在题中横线上。) (1) 曲线 sin2 cos t t xet yet = = ，在点()0,1 处的法线方程为 (2) 设函数( )yy x=由方程 () 23 lnsinxyx yx+=+确定，则 0 x dy dx = = (3) 2 5 613 x dx xx + = + (4) 函数 2 2 x y x = 在区间 13 , 22 上的平均值为 (5) 微分方程 2 4 x yy
2、e =的通解为 二、选择题二、选择题(本题共本题共5小题，每小题小题，每小题3分，满分分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是分。每小题给出得四个选项中，只有一个是 符合题目要求的，符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。把所选项前的字母填在提后的括号内。) (1) 设 ( ) 2 1 cos ,0 ( ) ,0 x x xf x x g xx = ，其中( )g x是有界函数，则( )f x在0 x =处 ( ) (A) 极限不存在. (B) 极限存在，但不连续. (C) 连续，但不可导. (D) 可导. (2) 设( )( )() 1 5sin 00 sin ,1 xx
3、 t t xdtxtdt t = =+ ，则当0 x 时( )x是( )x的 ( ) (A)高阶无穷小 (B)低阶无穷小 (C)同阶但不等价的无穷小 (D)等价无穷小 (3) 设( )f x是连续函数，( )F x是( )f x的原函数，则 ( ) (A) 当( )f x是奇函数时，( )F x必是偶函数. (B) 当( )f x是偶函数时，( )F x必是奇函数. (C) 当( )f x是周期函数时，( )F x必是周期函数. (D) 当( )f x是单调增函数时，( )F x必是单调增函数. (4) “对任意给定的()0,1 ， 总存在正整数N， 当nN时， 恒有2 n xa”是数列 n
4、x 收敛于a的 ( ) (A)充分条件但非必要条件. (B)必要条件但非充分条件. (C)充分必要条件. (D)既非充分条件又非必要条件. (5)记行列式 2123 22212223 33324535 4435743 xxxx xxxx xxxx xxxx 为( )f x，则方程( )0f x =的根的个数为( ) (A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 4. 三、三、(本题满分本题满分5分分) 求 () 2 0 1tan1 sin lim ln 1 x xx xxx + + . 四、四、(本题满分本题满分6分分) 计算 2 1 arctan x dx x + . 五、五、(本题满分
5、本题满分7分分) 求初值问题 () 22 1 0(0) 0 x yxydxxdyx y = += = 的解. 六、六、(本题满分本题满分7分分) 为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口 见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N, 缆绳每米重50N ，抓斗抓 起的污泥重2000N，提升速度为3/m s,在提升过程中，污泥以20/N s 的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重 力需作多少焦耳的功？(说明：111 ;NmJ=其中, ,m N s J分别表示 米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不 计.) 七、七、(本题满分本题满分
6、 8 分分) 已知函数 () 3 2 1 x y x = ，求 (1)函数的增减区间及极值； (2)函数图形的凹凸区间及拐点 (3)函数图形的渐近线. 八、八、(本题满分本题满分 8 分分) 设函数( )f x在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且()10f =，( )11f=， ( )00 f =，证明：在开区间()1,1内至少存在一点，使( )3f=. 九、九、(本题满分本题满分 9 分分) 设函数( )()0y xx 二阶可导，且( )0yx，( )01y=.过曲线( )yy x=上任意一点 (),P x y 作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为 1 S，
7、区间0, x 上以( )yy x=为曲边的曲边梯形面积记为 2 S，并设 12 2SS恒为 1，求此曲线 ( )yy x=的方程. 十、十、(本题满分本题满分 6 分分) 设( )f x是区间)0, +上单调减少且非负的连续函数，( )( ) 1 1 n n n i af kf x dx = = ()1,2,n =，证明数列 n a的极限存在. 十一、十一、(本题满分本题满分 8 分分) 设矩阵 111 111 111 A = ， 矩阵X满足 *1 2A XAX =+， 其中 * A是A的伴随矩阵， 求矩阵X. 十二、十二、(本题满分本题满分 5 分分) 设向量组() 1 1,1,1,3 T
8、=，() 2 1, 3,5,1 T = ，() 3 3,2, 1,2 T p=+，() 4 2, 6,10, T p= (1)p为何值时， 该向量组线性无关？并在此时将向量()4,1,6,10 T =用 124 , 3 线性表出； (2)p为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组. 1999 年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数二试题解析 一、填空题一、填空题 (1)【答案】210yx+ = 【详解】点()0,1 对应0t =，则曲线在点()0,1 的切线斜率为 cossincossin sin22cos2sin22cos2 tt tt
9、 dy dyetettt dt dx dxetettt dt = + ， 把0t =代入得 1 2 dy dx =，所以改点处法线斜率为2，故所求法线方程为210yx+ =. (2)【答案】1 【详解】( )y x是有方程 () 23 lnsinxyx yx+=+所确定，所以当0 x =时，1y =. 对方程 () 23 lnsinxyx yx+=+两边非别对x求导，得 23 2 2 3cos xy x yx yx xy + =+ + ， 把0 x =和1y =代入得 0 (0)1 x dy y dx = = (3)【答案】 2 13 ln(613)4arctan 22 x xxC + 【详解
10、】通过变换，将积分转化为常见积分，即 222 538 613613613 xx dxdxdx xxxxxx + =+ + 2 22 1(613)8 2613(34 d xx dx xxx + =+ + ） 2 2 3 ( 1 ln(613)4 3 2 (1 x d xx x =+ + ） 2 ） 2 2 13 ln(613)4arctan 22 x xxC =+ (4)【答案】 31 12 + 【详解】按照平均值的定义有 32 2 1 2 2 1 31 1 22 x ydx x = ， 作变换令sinxt=，则cosdxtdt=，所以 2 3 2 6 1sincos 31 1 sin 22 t
11、t ydt t = 2 3 6 2 sin 31 tdt = 3 3 6 6 111131 ( 31)(cos2 )( 31)sin2 222212 t dttt + =+=+= (5)【答案】 22 12 1 , 4 xx yC eCx e =+ 其中 12 ,C C为任意常数. 【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解. 【详解】原方程对应齐次方程 40yy=的特征方程为： 2 40,=解得 12 2,2= ， 故 40yy=的通解为 22 112 , xx yC eC e =+ 由于非齐次项为 2 ( ), x f xe=因此原方程的特解可设为 *2 , x yAxe=代
12、入原方程可求得 1 4 A =，故所求通解为 *22 112 1 4 xx yyyC eCx e =+=+ 二、选择题二、选择题 (1)【答案】( D ) 【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手. 因为 2 000 1 ( )(0)1 cos 2 (0)limlimlim0, 0 xxx x f xfx f xx xx x + + = 2 000 ( )(0)( ) (0)limlimlim( )0, 0 xxx f xfx g x fxg x xx = 从而，(0) f 存在，且(0)0 f =，故正确选项为(D). (2)【答案】( C ) 【详解】当0 x 有，
13、5 0 11 000 sin sin 0 sinsin5 5 ( ) 5 limlimlim ( ) (1)(1 sin )cos x xxx x tx tx dt x tx x tdtxx = + 1 0 sin sin00 sin5115 5lim5 1 51 lim (1 sin )limcos x x xx x xee xx = = + 所以当0 x 时( )x是( )x同阶但不等价的无穷小. (3)【答案】( A ) 【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性. ( )f x的原函数( )F x可以表示为 0 ( )( ), x F xf t dtC=+ 于是 () 00
14、()( )(). ut xx Fxf t dtCfu duC = =+=+ 当( )f x为奇函数时，()( )fuf u= ，从而有 00 ()( )( )( ) xx Fxf u duCf t dtCF x=+=+= 即 F(x)为偶函数. 故(A)为正确选项. (B)、(C)、(D)可分别举反例如下： 2 ( )f xx=是偶函数，但其原函数 3 1 ( )1 3 F xx=+不是奇函数，可排除(B)； 2 ( )cosf xx=是周期函数，但其原函数 11 ( )sin2 24 F xxx=+不是周期函数，可排除 (C)； ( )f xx=在区间(,) +内是单调增函数， 但其原函数 2 1 ( ) 2 F xx=在区间(,) + 内非单调增函数，可排除(D). (4)【答案】( C ) 【详解】 【方法方法 1】 “必要性”： 数列极限的定义 “对于任意给定的 1 0， 存在 1 0N ， 使得当 1 nN 时恒有 1 | n xa，取 1
