《江苏省宿迁市高中数学 第二章 基本初等函数（ⅰ）2.2.1 函数的单调性1 苏教版必修1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省宿迁市高中数学 第二章 基本初等函数（ⅰ）2.2.1 函数的单调性1 苏教版必修1（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、通过实验研究，专家发现：中学生听课的注意力指标是随着老师讲课时间 的变化而变化的。讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学 生的兴趣保持平稳的状态，随后开始分散。学生注意力指标数随时间变 化的函数图象如图所示（指标数越大表示学生注意力越集中）。 摘自2004年“TRULY信利杯”全国数学竞赛试题第11题 48 39 20 x（时间：分） y(指标数) 0 5102045 问题探究 x（时间：分） y(注意力指标数) 0 20 10 20 45 48 。 请你说出注意力指标数与时间 在0，45内的变化规律. 问题探究 x（时间：分） 0 20 10 48 y(注意力指标数) x y x1x
2、2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1x2 y1 y2 问题探究 一般地，设函数y=f(x)定义域为A，区间 如果对于区间I内的任意两个值x1、x2，当x1x2时，都有 f(x1)f(x2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数. 此时，I称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间内的任意两个值x1、x2，当x1f(x2) ，那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数 此时，I称为y=f(x)的单调减区间 任意x1x2 f(x1)f(1)，则函数 f(x)是R上的增函数. ( ) (2)函数f(x)是R上的增函数,则必有f(2)f(1
3、) .( ) (3)定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1) ，则函数 f(x) 在R上不是减函数. ( ) 辨一辨： (4)若定义在R上的函数f(x)在区间 上是单 调递增函数 ，在区间 上也是单调递增 函数，则函数f(x) 在R上是单调增函数. ( ) (5)若定义在R上的函数f(x)在区间 上是单 调递增函数 ，在区间 上也是单调递增 函数，则函数f(x) 在R上是单调增函数. ( ) 辨一辨： O x y y Ox O x y -1 y Ox 写出下列函数的单调区间： 例1 下图是定义在5，5上的函数yf（x）的图象 ，根据图象说出yf（x）的单调区间，以及在每一单 调区间上， y
4、f（x）是增函数还是减函数. 解： yf（x）的单调区间有 5，3），3，1） 1，3），3，5. 其中yf（x）在5，3）， 1，3）上 是减函数，在3，1）， 3，5）上是增函数. x y o 3 1-35 -5 数学应用 例2 证明函数f(x)=2x+1在区间(-,+) 上是增函数。 注意：我们在证明函数的单调 性时，不能“以图代证”, 而 是严格按照定义证明. 回想一下,定义的本质是什么? 本题怎样用定义来证明? 证明： 例2 证明函数f(x)=2x+1在区间(-,+) 上是增函数。 证明函数单调性的步骤： 第一步：取值.即任取区间内的两个值， 且x1x2 第二步：变形.将f(x1)f(x2)通过因 式分解、配方、有理化等方法，向有利 于判断差的符号的方向变形。 第三步：定号.确定差的符号，适当的 时候需要进行讨论。 第四步：结论.根据定义作出结论。 取值变形定号结论 课本P38 例2 演练反馈 1.求证：函数y= - 5x+3在R上为减函数. 3.求证：函数f (x) = -x3 + 1在(- , + )上是减函数. 2.求证：函数f (x) = x2-2x +6在(1, + )上是增函数. 3.证明: 设x1 ,x2R 且 x1 x2 x1 x2 x1 x2 f (x2) 所以f(x) = x3 + 1在(, + )上是减函数.
