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1、最速下降路线的确定 14.1 实验目的 本实验的目的为了培养根据实际问题建立微分方程 模型的能力。学会根据实际问题提出猜想，然后通过 数据实验验证猜想，最后得到正确结论的思维模式， 为将来其他课程的学习打下基础。 14.2 实验内容 2.1 实验问题 如图14.1所示，确定一条连接两个 定点A、B的曲线，使得一个质点在 该曲线上下滑最快，即质点在滑动 过程中经历的时间最短（最速下降 路线问题。下滑过程中的摩擦力和 阻力都忽略不计）。 1 2.2 问题分析 其实，我们很自然地想到质点从A点滑动到B点经 历时间最短的轨迹曲线是连接A和B两点的直线段。 但事实并非如此。 在很早以前牛顿就多次作过这样
2、的实验，在铅垂 的平面内，取同样的两个球，其中一个沿圆弧从A点 滑到B点，另一个球则沿直线从A点滑到B点，结果发 现沿圆弧的球先到达B点； 伽利略也曾研究过这个问题，他研究的结果认 为质点从A点滑动到B点经历时间最短的轨迹曲线是 圆弧线。 下面我们先通过几个简单的实验来看看最速下降路 线到底是什么，它属于哪一类曲线。 2 如图14.2所示，并选取相应的坐标系。 图中P(x,y)表示下降中的质点坐标，途经曲线设为 y=y(x)，质点的质量设为m，重力加速度设为g，质点 下降的速度设为v(t)，t为质点的下降时间。 则根据质点在下降过程中的能量守恒定律可知 由此可得 3 若设质点下降路程为s(t)
3、，则由 可得 这样质点沿曲线从A点滑到B点所用的时间为 4 由此可见，质点从A点滑到B点依赖于曲线的形状， 不同的曲线下滑所用的时间不同。 下面我们分别用三种不同的曲线来计算质点所用的时间。 不妨假设B点的坐标为(1,1)，如图14.3所示。 我们取g=9.8，将已知条件代入式（14.1）分别计 算所用的时间。 5 （1）对于路径曲线y=x，有 （2）对于路径曲线 由问题的实际意义可知该广义积分是收敛的，同时下 面的式子亦说明该积分是收敛的。 6 我们可以算得上面积分的值为0.584395。 （3）对于路径曲线 我们用类似的方法可以算得积分值为0.592262。 通过对上述三条不同路径的计算，
4、发现沿直线路径 并不是最快的下降路径，也不是圆弧。它应是其他形 式的一条上凹曲线。可以自己取几条其他的曲线计算 质点在下降过程中的时间。 7 我们设想质点（也像光线那样）能选择所需时间 尽可能短的路径从点滑到点，如图9.4所示。 2.3 建立数学模型 因此按照史奈尔折射定律可得出 （常数） 据能量守恒原理：质点下降某一高度后的速度，完 全由其达到该高度处时所损失的势能确定，而与其所经 历的路径无关。 8 在假设质点下滑过程中经历的路径曲线为y=y(x)的 情况下，质点从A下滑至P(x,y)点时速度v必满足下面的 关系式 或 从几何的角度我们也可以得到 9 由此得到 其中 ， 这就是质点下降时下
5、降速度最快的路径曲线所满足的 微分方程模型。 2.4 模型求解 （1）求数值解 我们可用MATLAB软件求方程（14-2）的数值解 ，并画出初值问题（14-2）解的曲线。 这里，我们假设史奈尔折射常数为0.07，那么 。 10 用MATLAB软件提供的二三阶龙格-库塔法求其数值解。 执行得方程（14-2）的数值解曲线如图16.5所示 若执行命令plot(xb,yb)即可画出没有“o”点的曲线如 图14.6所示。 这就是质点从A点开始下滑时最快的下滑路径曲线。11 （2）求解析解 可将方程（16-2）变形为 再令 ， 12 两边积分得到 其中C为积分常数。将初值条件u=0时，x=y=0代 入得C
6、=0，此时有 若令参数 ， ， 则式（14-3）变为 13 这正是摆线的标准参数方程，参数a为摆线发生圆的半径。 由此我们得出：质点自然地从A点滑到B点时间最短 的路径曲线是摆线。 适当地选择参数a可使得该摆线经过指定B点，并 且这样的参数a是唯一的。 事实上，让摆线发生圆半径a从0逐渐增大到无穷大 ，这些摆线的第一拱将扫过整个第一象限。 作为特殊情况：若B点的坐标为(1,1)，我们自然可 以找到一条从(0,0)点出发经过(1,1)点的摆线，对此只要 找到相应摆线发生圆的半径即可。 14 此时有 我们可以做出函数 的图形如图9.7所示。 我们用牛顿切线迭代法可以算得该函数的一个非零 零点2.4
7、120， 15 那么摆线发生圆的半径就是。 现在可以画出从(0,0)点到(1,1)点质点的最快下降路 径如图16.8所示。 思考：计算当质点下滑路径为图16.8所示的摆线 时需时多少？ 16 （3）变分法理论解法 瑞士数学家伯努利对最速下降曲线问题的解法 非常奇妙，他利用变分法理论得到最速下降曲线的 数学模型。 可以说这是一项水平极高的艺术性工作，也充分 表现出了他惊人的想象能力。在这里我们仅对此方法 做简单介绍。 以s表示曲线从A点到点P(x,y)的弧长，那么根据 问题的实际意义，相当于求式（16-1）的极小值， 即求 ，使得下式积分取得极小值。 17 这是一个泛函的极值问题， 令 ，由变分法理论可得其解所满足的欧拉方程为 18 这可简化为 与方程（16-2）是一致的。 2.5 内容小结 本次实验我们首先通过几个简单曲线的计算，排 除了直线是最快的下降曲线这一直觉结果，得出最快 的下降曲线应该是一条上凹的曲线这一猜想。然后根 据问题的实际意义得到相应的数学模型方程。先通过 求数值解的方法得到最快下降路径曲线，然后求出它 的理论解应是一条摆线。 14.3 实验任务 1 19
