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1、华中科技大学 硕士学位论文 基于分数Brown运动的美式期权数值计算 姓名：王同柱 申请学位级别：硕士 专业：运寿学与控制论 指导教师：梅正阳 20090520 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 摘摘 要要 文章首先介绍了期权的产生、发展以及期权的分类标准；期权定价理论的发展 与定价方法的演进. 接着介绍了分数 Brown 运动与期权定价理论， 并引出基于 Hurst 指数 H(1/3,1/2)的分数 Brown 运动驱动下期权价格所满足的偏微分方程. 随后详 细介绍了分数 Brown 运动并对 Hurst 指数 H(1/3,1/2
2、)的分数 Brown 运动增量、 Hurst 指数 H(1/3,1/2)的分数 Brown 运动以及在此情形下驱动的标的资产的价格 过程进行了模拟 随之，对基于 Hurst 指数 H(1/3,1/2)的分数 Brown 运动环境下 美式期权模拟计算. 最后对基于 Hurst 指数 H(1/3,1/2)的 Brown 运动环境下美式 期权定价的自由边值问题进行了数值解法的分析与研究，采取隐式差分方法计算并 得到了期权价格的离散数值解. 本文的主要研究成果： (1)通过模拟 Hurst 指数H(1/3,1/2)的分数 Brown 运动， 得到该分数布朗运动驱动下的标的资产的价格，使用得到的标的资产
3、价格模拟计算 写在其上的美式期权的价格. (2)通过一系列的变换， 把基于 Hurst 指数 H(1/3,1/2) 的分数 Brown 运动上的美式看跌期权的自由边值问题转化为定义在确定性区域(0,1) (0，T)上的确定性问题，在此基础上，采用有限差分方法数值计算美式期权的价 值. 关键词关键词：美式期权；美式期权； 数值解法；自由边值；有限差分方法数值解法；自由边值；有限差分方法 I 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 Abstract Firstly, The article describes the selection, d
4、evelopment and classification of the options，development , methods and evolution of option pricing . Then, it introduce the Fractional Brownian Motion detailed and simulate the increment of the Fractional Brownian Motion, Fractional Brownian Motion and the underlying asset price process that driven
5、by the Fractional Brownian Motion which Hurst exponent in (1/3，1/2). I studied the numerical methods of American put options pricing that at environment of single Fractional Brownian Motion. I take a method and the Finite Difference Method together and get mathematical expression of the best impleme
6、nt border and the discrete numerical solution of the America put option price. The main results of the article：(1) I get the underlying stock price that driven by the Fractional Brownian Motion whose Hurst exponent in (1/3，1/2) by simulating Fractional Brownian Motion. We calculated the America put
7、option price by the underlying stock price. (2)we get mathematical expression of the discrete numerical solution of the America option price that driven by the Fractional Brownian Motion whose Hurst exponent in (1/3，1/2) by the Finite Difference Method. Keywords: American options; numerical method;
8、free boundary value; Finite Difference Methods II 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复
9、印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本论文属于： 保密，在_年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期：年 月 日 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 绪论绪论 期权在上个世纪 70 年代中期产生于美国. 它是作为一种创新金融衍生产品， 赋 予其持有者一种不附带任何义务的选择权. 期权的持有人有权利在未来某一特定日 期
10、 (或未来一段时间内)以期权规定的价格向期权者买入或卖出期权规定的标的资 产，但没有必须向期权卖出者买入或卖出期权规定的标的资产的义务. 期权中规定 的价格称之为执行价格或交割价格，. 期权中规定的最终日期称之为到期权到期日 或者称之为期权交割日 采取不同的分类方法，期权就可以分为不同的种类. 目前最常用的期权分类方 法有两种： (1) 根据期权规定的持有者是买入还是卖出标的资产的不同来划分. 期权可以 分为看涨期权(call)和看跌期权(put)两种形式. 看涨期权规定其持有者有权利在未来某一确定的时刻(或未来一段时间内)以期 权中规定的价格买入在期权上规定的一定数量的标的资产，而不具有必须
11、买入的义 务. 看跌期权规定其持有者有权利在未来某一确定时刻(或未来一段时间内)以某一 确定的价格卖出期权上规定的一定数量上的标的资产，而不具有必须卖出的义务. (2) 根据期规定的期权持有者在期权有效期内可以执行期权时间的不同， 亦即： 是在到期日才可以执行还是从期权生效日开始至到期日这段时间内均可以执行. 期 权主要有欧式期权和美式期权两种类型. 欧式期权只能在到期日执行，但不具有必须执行的义务；美式期权从期权生效 日开始至到期日这段时间内任意时刻均可以执行，同样不具有必须执行的义务. 在 目前衍生产品市场上最为活跃的为美式期权. 期权从产生那一日起，经过不断地发展，到目前在金融和经济领域
12、中发挥越来 越重要作用：(1)防范金融风险(2)套期保值(3)投资与套利. 1 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 1.1 引言引言 期权赋予其所有者（多头）一种特殊的权利，但又不需要承担义务，那么他就 必须给于期权的卖出者（空头）一定的报酬，在金融范畴内称之为期权金.期权定价 就是在无套利原则下去寻求该期权金的大小. 作为数学理论在金融学中最成功的应用之一，现代期权定价理论在金融研究中 有着重要应用. 期权作为一种金融衍生产品，它的定价决定于标的资产价格的变化. 由于标的资产是一种风险资产，因此它的未来价格是随机的，所以由此起决
13、定性影 响的期权未来价格亦必是随机的. 但是一旦标的资产的价格确定下来，那么写在它 上面的期权的价格也会随之确定下来.这就是说，若在t时刻标的资产的价格为， 期权价格为,则存在函数，使得： t S t V(, ) t V S t (, ) tt VV S t (1.1) 这是一个确定的二元函数. 期权定价就是通过寻找适当的方式去确定这个函数的解 析式或者是函数在相应离散点的值. 在期权的到期日期权的价值是确定的，它就 是期权的收益： T V () ) T T T SE V ES 看涨期权 （看跌期权 其中是标的资产在时刻T的价格，为期权规定的交割价格.期权定价问题就是 求， T S VV K
14、)T(, ) t S t0,S0t （,使得： () (, ) ) T T T SE V S T SE 看涨期权 （看跌期权 因此期权定价问题是一个倒向问题. 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 1.2 期权定价理论发展历程期权定价理论发展历程 1952 年发表了关于证券投资组合选择一篇文章“Mean-variance theory of portfolio selection” 引发了现代金融学的第一次革命. 这次革命在金融学 的发展中产生了极大的影响，它使得几乎平静的金融学领域，荡起一阵研究狂潮. 同时，它把数学引进了纯粹的金
15、融学中，更加丰富了金融学的内容，直接促使金融 数学得诞生. 紧接着著名学者， ，在 Markowitz 先期工 作的基础上， 经过不懈的努力提出了资本资产定价模型 （Capital Asset Pricing Model， 简称 CAPM） .这更加丰富的金融学的研究领域， 也为对金融学的研究提供了重要上 网思想与方法. 3 Markowitz 4 Sharpe 5 Lintner 6 Mossin 随后的几年里，和 通过不懈的努力，又发表了一些研 究成果. 在这些研究成果中第一次正式论述了无套利原则. 在无套利原则的前提 下，利用一定的假设条件便可以获得期权的定价方法与期权价格封闭解析式. 无套 利原则一出现便成为研究期权定价理论的新出发点,目前关于期权定价理论的研究， 无不是建立在无套利原则基础之上的. 7 Modigliani 8-9 Miller 1973 年 Black-Scholes 期权定价模型的产生以及欧式期权价格封闭解析式的得 出，推动了现代金融学第二次革命的到来. 这是一次金融学与数学相结合的划时代 的革命，更是一次体现数学应用价值的革命. 它震撼了整个金融学术界与数学界， 为现代金融数与数学的完美结合的指定了一个前进的方向. 同时它也使得这两位学 者获得了诺贝尔经济学奖. 10 Black-M.Scholes以无套利
