《2018届高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和 文 北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和 文 北师大版（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.2 等差数列及其前n项和 知识梳理双基自测2341自测点评 1.等差数列 (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项 起,每一项与它的前一项 的差 等于同一个常数 ,那么这个数列就为等差数列,这个常数 叫作等差数列的公差 ,公差通常用字母d表示.数学语言表示为 an+1-an=d (nN+),d为常数. (2)等差中项:如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列 ,那么A叫作a与b的等差中项 ,即A= . (3)等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d ,可推广为an=am+(n-m)d . 知识梳理双基自测自测点评2341 2.等差数列及其前n项和的性质 (1)若m+n=p+
2、q,则am+an=ap+aq (m,n,p,qN+);m+n=2p,则 am+an=2ap(m,n,pN+). (2)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN+)是公 差为md 的等差数列. (3)若an,bn是等差数列,p,qR,则pan+qbn也是等差数列. (4)设Sn是等差数列an的前n项和,则数列 , 也是等差 数列. (5)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数,则S偶-S奇= ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项). 知识梳理双基自测自测点评2341 3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1
3、)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的 一次函数;当d0时,数列为递增数列;当d0,d0,则Sn存在最大 值;若a10,则Sn 存在最小 值. 2知识梳理双基自测3415自测点评 1.下列结论正确的画“”,错误的画“”. (1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则 这个数列是等差数列. ( ) (2)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列 an一定是等差数列. ( ) (3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 . ( ) (4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有 2a
4、n+1=an+an+2. ( ) (5)等差数列an的单调性是由公差d决定的. ( ) (6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ( ) 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 知识梳理双基自测自测点评23415 2.(2016河南商丘三模)在等差数列an中,首项a1=0,公差d0,若 ak=a1+a2+a3+a7,则k=( ) A.22 B.23C.24 D.25 答案解析解析 关闭 数列an为等差数列且首项a1=0,公差d0, ak=(k-1)d. 又ak=a1+a2+a3+a7=21d. (k-1)d=21d. k=22.故选A. 答案解析 关闭 A
5、 知识梳理双基自测自测点评23415 3.设Sn是等差数列an的前n项和,若a10+a11+a12=6,则S21=( ) A.42 B.21C.23 D.44 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理双基自测自测点评23415 4.已知an为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6= . 答案解析解析 关闭 an是等差数列,a3+a5=2a4=0. a4=0. a4-a1=3d=-6.d=-2. S6=6a1+15d=66+15(-2)=6. 答案解析 关闭 6 知识梳理双基自测自测点评23415 5.在100以内的正整数中有 个能被6整除的数. 答案解析解析 关闭
6、答案解析 关闭 知识梳理双基自测自测点评 1.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列,要注意定义中的 三个关键词:“从第2项起”“每一项与它的前一项的差”“同一个常数 ”. 2.等差数列与函数的区别:当公差d0时,等差数列的通项公式是n 的一次函数;当公差d=0时,an为常数. 3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数 项为0. 4.等差数列的前n项和公式有两种表达形式,要根据题目给出的 条件判断使用哪一种表达形式. 考点1考点2考点3考点4 例1(1)(2016河北唐山一模)在等差数列an中,a4=2,且 a1+a2+a10=65,则公差d的值是( ) A.4B.3C.1
7、D.2 (2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等 于( ) A.3B.4C.5D.6 思考求等差数列基本量的一般方法是什么? 答案 答案 关闭 (1)B (2)C 考点1考点2考点3考点4 解析: (1)在等差数列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65, 公差d的值是3.故选B. (2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3, 数列an为等差数列, d=am+1-am=1, m0,a1=-2, 又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5. 考点1考点2考点3考点4 考点1考点2考点3考点4 考点1考点2考点
8、3考点4 解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d, 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn, 已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想 . 3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数 为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数为a-3d,a- d,a+d,a+3d. 考点1考点2考点3考点4 对点训练1(1)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=( ) A.100 B.99C.98 D.97 (2)设Sn为等差数列an的
9、前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= . 答案 答案 关闭 (1)C (2)-72 考点1考点2考点3考点4 考点1考点2考点3考点4 考点1考点2考点3考点4 例2数列an满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明bn是等差数列; (2)求an的通项公式. 思考判断一个数列为等差数列的基本方法有哪些? 考点1考点2考点3考点4 (1)证明 由an+2=2an+1-an+2得 an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2. 又b1=a2-a1=1, 所以bn是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)得bn=1
10、+2(n-1)=2n-1, 即an+1-an=2n-1. 所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1. 又a1=1,所以an的通项公式为an=n2-2n+2. 考点1考点2考点3考点4 解题心得1.等差数列的四种判断方法 (1)定义法:an+1-an=d(d是常数)an是等差数列. (2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列. 2.若证明一个数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成 等差数列即可. 考点1考点2考点3考点4
11、对点训练2设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n-1.数列bn满足 b1=2,bn+1-2bn=8an. (1)求数列an的通项公式; 考点1考点2考点3考点4 考点1考点2考点3考点4 考向一 等差数列项的性质的应用 例3(1)设Sn是等差数列an的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=( ) A.5B.7C.9D.11 (2)(2016江苏,8)已知an是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+ =- 3,S5=10,则a9的值是 . 思考利用等差数列项的性质解决问题时常用到什么思想方法? 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 考点1考点2考点3考点4 考向二 等差数列前n项和的性质的应用
12、 例4在等差数列an中,前m项的和为30,前2m项的和为100,则前 3m项的和为 . 思考本例题应用什么性质求解比较简便? 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 考点1考点2考点3考点4 解题心得1.利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整 体求值思想,应用时常将an+am=2ap(m+n=2p,m,n,pN*)与 am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN*)相结合,可减少运算量. 2.在等差数列an中,依据题意应用其前n项和的性质解题能比较 简便地求出结果,常用的性质有:在等差数列an中,数列 考点1考点2考点3考点4 对点训练3(1)已知等差数列an的前17项和S17=
13、51,则a5-a7+a9- a11+a13等于( ) A.3B.6C.17 D.51 (2)(2016山西阳泉高三模拟)已知等差数列an,bn的前n项和分 (3)已知在等差数列an中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9= . 答案 答案 关闭 (1)A (2)D (3)45 考点1考点2考点3考点4 考点1考点2考点3考点4 (3)an为等差数列, S3,S6-S3,S9-S6成等差数列. 2(S6-S3)=S3+(S9-S6). a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45. 考点1考点2考点3考点4 例5在等差数列an中,已知a1
14、=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n 取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值. 思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法? 考点1考点2考点3考点4 考点1考点2考点3考点4 nN*,当n=12或n=13时,Sn有最大值,且最大值为 S12=S13=130. 又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0. 5a13=0,即a13=0. 当n=12或n=13时,Sn有最大值, 且最大值为S12=S13=130. 考点1考点2考点3考点4 解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法: (1)函数法:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看做二 次函
15、数,根据二次函数的性质求最值. (2)邻项变号法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,当 利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值. 考点1考点2考点3考点4 对点训练4(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5+a7=4,a6+a8=- 2,则当Sn取最大值时,n的值是( ) A.5B.6C.7D.8 (2)设数列an是公差d0,a7=-10;又数列an是等差数列,因此 在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最 大值时,n=6,选B. (2)由题意得S6=6a1+15d=5a1+10d, a6=0,故当n=5或n=6时,Sn最大,选C. 答案解析 关闭 (1)B (2)C 考点1考点2考点3考点4 1.等差数列的判断方法 (1)定义法; (2)等差中项法; (3)利用通项公式判断; (4)利用前n项和公式判断. 2.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数,且常数 项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数,则该数 列不是等差数列,它从第2项起成等差数列.
