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1、统计学 第十章 方差分析 2 解释方差分析的概念 解释方差分析的基本思想和原理 掌握单因素方差分析的方法及应用 理解多重比较的意义 掌握双因素方差分析的方法及应用 学习目标 本章学习目标 3 10.1方差分析引论 4 方差分析及其有关 术语 方差分析的基本假 定 方差分析的基本思 想和原理 问题的一般提法 12 34 方差分析引论 5 1.检验多个总体均值是否相等 通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等 2.研究分类型自变量对数值型因变量的影响 一个或多个分类型自变量 两个或多个 (k 个) 处理水平或分类 一个数值型因变量 3.有单因素方差分析和双因素方差分析 单因素方差分析：涉及一个分类
2、的自变量 双因素方差分析：涉及两个分类的自变量 方差分析引论 6 消费者对四个行业的投诉次数消费者对四个行业的投诉次数 行业 观测值零售业旅游业航空公司家电制造业 1 2 3 4 5 6 7 57 66 49 40 34 53 44 68 39 29 45 56 51 31 49 21 34 40 44 51 65 77 58 【 例例 】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在4 4个行业分别抽取个行业分别抽取 了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共2323家企业投诉的次数如下表家企业投诉的
3、次数如下表 方差分析 7 1.分析4个行业之间的服务质量是否有显著差异，也 就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响 2.作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉 次数的均值是否相等 3.若它们的均值相等，则意味着“行业”对投诉次数 是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异 ；若均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是 有影响的，它们之间的服务质量有显著差异 什么是方差分析?(例题分析) 8 1.因素或因子(factor) 所要检验的对象 分析行业对投诉次数的影响，行业是要检验的因 子 2.水平或处理(treatment) 因子的不同表现 零售业、旅游业、航空公司、家电制造业
4、 3.观察值 在每个因素水平下得到的样本数据 每个行业被投诉的次数 方差分析中的有关术语 9 1.试验 这里只涉及一个因素，因此称为单因素4水平的 试验 2.总体 因素的每一个水平可以看作是一个总体 零售业、旅游业、航空公司、家电制造业是4个 总体 3.样本数据 被投诉次数可以看作是从这4个总体中抽取的样 本数据 方差分析中的有关术语 10 方差分析及其有关 术语 方差分析的基本假 定 方差分析的基本思 想和原理 问题的一般提法 12 34 方差分析引论 11 零售业 旅游业 航空公司 家电 制造 方差分析的基本思想和原理(图形分析散点图) 12 方差分析的基本思想和原理(图形分析散点图) 1
5、.从散点图上可以看出 不同行业被投诉的次数有明显差异 同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同 家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低 2.行业与被投诉次数之间有一定的关系 如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多 相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近 13 1.散点图观察不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著 差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的 2.需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析 所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是 否有差异时则需要借助于方差 这个名字也表示：它是通过
6、对数据误差来源的分析判断不同总体的均值 是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源 方差分析的基本思想和原理 14 1.随机误差 因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异 比如，同一行业下不同企业被投诉次数之间的差异 这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差 2.系统误差 因素的不同水平(不同总体)之间观察值的差异 比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异 这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成 的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差 方差分析的基本思想和原理(两类误差) 15 1.数据的误差用平方和(sum of squa
7、res)表示 2.组内平方和(within groups) 因素的同一水平下数据误差的平方和 比如，零售业被投诉次数的误差平方和 只包含随机误差 3.组间平方和(between groups) 因素的不同水平之间数据误差的平方和 比如，4个行业被投诉次数之间的误差平方和 既包括随机误差，也包括系统误差 方差分析的基本思想和原理(误差平方和SS) 16 1. 平方和除以相应的自由度 2. 若原假设成立，组间均方与组内均方的数值就 应该很接近，它们的比值就会接近1 3. 若原假设不成立，组间均方会大于组内均方， 它们之间的比值就会大于1 4. 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水 平之间存在着
8、显著差异，即自变量对因变量有影 响 判断行业对投诉次数是否有显著影响，也就是检验被 投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果 这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数 有显著影响 方差分析的基本思想和原理(均方MS) 17 方差分析及其有关 术语 方差分析的基本假 定 方差分析的基本思 想和原理 问题的一般提法 12 34 方差分析引论 18 1. 每个总体都应服从正态分布 对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正 态分布总体的简单随机样本 比如，每个行业被投诉的次数必须服从正态分布 2. 各个总体的方差必须相同 各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的 比如，4个行业被投诉次
9、数的方差都相等 3. 观察值是独立的 比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉 的次数独立 方差分析的基本假定 19 1.在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否 有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的4 个正态总体的均值是否相等 2.如果4个总体的均值相等，可以期望4个样本的 均值也会很接近 4个样本的均值越接近，推断4个总体均值相等 的证据也就越充分 样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越 充分 方差分析的基本假定 20 1. 如果原假设成立，即H0 ： m1 = m2 = m3 = m4 4个行业被投诉次数的均值都相等 意味着每个样本都来自均值为、方差为 2 的同一正态总体 X
10、X f(X)f(X) 1 1 2 2 3 3 4 4 方差分析的基本假定 21 若备择假设成立，即H1 ： i (i=1,2,3,4)不全相等 至少有一个总体的均值是不同的 4个样本分别来自均值不同的4个正态总体 X X f(X)f(X) 3 3 1 1 2 2 4 4 方差分析的基本假定 22 方差分析及其有关 术语 方差分析的基本假 定 方差分析的基本思 想和原理 问题的一般提法 12 34 方差分析引论 23 1.设因素有k个水平，每个水平的均值分别用1 , 2, , k 表示 2.要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出 如下假设： H0 ： 1 2 k H1 ： 1 , 2 ,
11、 ，k 不全相等 3.设1为零售业被投诉次数的均值，2为旅游业被 投诉次数的均值，3为航空公司被投诉次数的均值 ，4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设 为 H0 ： 1 2 3 4 H1 ： 1 , 2 , 3 , 4 不全相等 问题的一般提法 24 10.2单因素方差分析 25 观察值观察值 ( ( j j ) ) 因素因素( (A A) ) i i 水平水平A A1 1 水平 水平A A 2 2 水平水平A A k k 1 1 2 2 : : : : n n x x11 11 x x 21 21 x x k k1 1 x x12 12 x x 22 22 x x k k2 2 : :
12、 : : : : : : : : : : : : : : x x 1 1n n x x2 2n n x xkn kn 问题的一般提法 26 分析步骤 提出假设 构造检验统计量 统计决策 分析步骤 27 提出假设 1. 一般提法 H0 ：m1 = m2 = mk 自变量对因变量没有显著影响 H1 ：m1 ，m2 ， ，mk不全相等 自变量对因变量有显著影响 2. 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总体的 均值不相等，并不意味着所有的均值都不相等 28 构造统计量需要计算 水平的均值 全部观察值的总均值 误差平方和 均方(MS) 构造检验的统计量 29 1. 假定从第i个总体中抽取一个容量为ni的
13、简 单随机样本，第i个总体的样本均值为该样本 的全部观察值总和除以观察值的个数 2. 计算公式为 式中：式中： n n i i 为第为第 i i 个总体的样本观察值个数个总体的样本观察值个数 x x ij ij 为第为第 i i 个总体的第个总体的第 j j 个观察值个观察值 构造检验的统计量(计算水平的均值) 30 1. 全部观察值的总和除以观察值的总个数 2. 计算公式为 构造检验的统计量(计算全部观察值的总均值) 31 构造检验的统计量(例题分析) 32 1. 全部观察值 与总平均值 的离差平方 和 2. 反映全部观察值的离散状况 3. 其计算公式为 前例的计算结果 SST = (57-
14、47.869565)2+(58-47.869565)2=115.9295 构造检验的统计量(计算总误差平方和 SST) 33 构造检验的统计量 (计算组间平方和 SSA) 1. 各组平均值 与总平均值 的离差平方和 2. 反映各总体的样本均值之间的差异程度 3. 该平方和既包括随机误差，也包括系统误差 4. 计算公式为 前例的计算结果 SSA = 1456.608696 34 构造检验的统计量 (计算组内平方和 SSE ) 1. 每个水平或组的各样本数据与其组平均值的离 差平方和 2. 反映每个样本各观察值的离散状况 3. 该平方和反映的是随机误差的大小 4. 计算公式为 前例的计算结果前例的计算结果 SSE SSE = 2708= 2708 35 构造检验的统计量 (三个平方和的关系) 总离差平方和(SST)、误差项离差平方和(SSE)、水 平项离差平方和 (SSA) 之间的关系 SST SST = = SSA SSA + + SSESSE 前例的计算结果前例的计算结果 4164.608696=1
