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1、第，卷 玲9 9年 专 性 工 1月 中国管理科学 C h in e se J o u r n a l o f Ma n a g e m e n t S ci e n c e V o l . 7 . S p e c i a l 1 N o v e m b er . , 1 9 9 9 变系数 B l a c k 一S c h o l e : 模型的统计推断 肖庆宪 ( 河南师范大学经 管系， 新乡4 5 3 0 0 2 ) 摘要: 本文讨论了变系数 B la c k 一S c h o l es 棋型中波动率函数的估计间题. 给出了期权价格的估计 t . 关位词: 股票价格过程; 彼动率函数;
2、期权价格 在B l a c k 一 S c h o le s 模型中， 股票价格过程( B , ) 满足随机微分方程 d S , = p S 碑 t +a S ,d B , 其 中p 称 为 股 票的 增 值 率( a p p re c i a t i o n r a t e ) , a 。 称 为 波 动 率( v o la t ili t y ) , ( B , ) 为 带 流 概率 空间( 0 , F , P , F , ) 上的标准 布朗 运动。 Sam uelso n 和 K ozin 发 现 ，在 B lac、 一 S ch oles 模 型 中 ， 当 ， 2 2 时 有 l l
3、m5, =- a 至 于 ， 誓 ，则 缺 乏 实 际 背 景 及 理 论 依 据 。11. 2这 说 明 B lack 一 * ho les 模 型 存 在 。 明 显 的 不 足 之 处 ， 大 f 的 实 证 工 作 也 表明 股 票 收 益 过 程 的 波 动 率不 是一 个固 定 的 常数 。 3 1 . 4 1 通过 研 究 ， 人 们发现变系数B l a c k 一S c h o l e s 模型 d S , =p , S , d t +饥 S 碑 B , 更符合市场实际( 这里p 6 , 。 为未知的连续函数) ， 然而关于S , 的估计问题尚 未得到很好 的解决。 4 1 本
4、 文考虑氏及期权价格的估计问 题。 令 X , 一 8 0 由 随机分析理论可知 5 1 ( a ) E X 二 E8d B = 0 , 基金项 目: 原 国家教委 人文社 科项 目 L , 中国管理科学 1 9 9 9 年 ( 。 ) 。 ， 态二 卜 E 1 S u d “ 一 i “ “ 。 ， “ ，、 为 ， 过 。 当 f ( t ， 为 阶 梯 形 函 数 时 ， 不 难 看 出 J f ( u ) d b “ 为 正 态 变 量 . 对 于 一 般 的 连 续 函 数 S , ， 存 在阶梯形函数列 几( t ) ) 在 0 , T 上一 致地有 几( : ) 一S ， 卜 -
5、 - 0 而 1 f ( u ) d B ， 为 正 态 变 量 ， 且 f ( u ) d B - L - X , 于 是 J f ( u ) d B 的 分 布 函 数 列 收 敛 于 某 正 态 分 布 函 数 ， 因 而 二 为 正 态 变 量 ， 类 似 地 可 以 证明X : 为G a u s s 过程， 所以X , 为零均值G a u s s 过程。由 ( C ) 可知对t s - 0 有 E X , I F , 二 茂 由此可得 E X , X , = E X 2 所以当t 3 t Z t 1 之0 时有 E ( X I 3 一 X , 2 ) ( X , 2 一 X , 1
6、) = 0 即X ， 为正交增量过程， 由G a u s s 过程的 性质即可知X , 为独立增盈过程。由 此及( b ) 可得 E (X , 一 二 ， 一 E X ， 一 E X = E S 22 d u S (， 一 藻S Z E ( X , 一 X ,) = 3 (E (X , 一 X ,) )5 3 ( m ax S 1,os s e; “ 一 ” 设t 0 , II ; 二 叮 , = 0 , 1 , 2 , 一 ， k 为区 间 。 ， 门的一 个分割序 列， 令 II , ( X ， 一 焦 ( X ( t, ， 一 X ( 。 一 ， ， ， ， 我们有 定 理 1 若 。
7、: 二 。 ， _t ， 2 ttt n ” 一1 ，. . . -t , t l i mn , ( X ) 二 。 子a . s . 证明令 刃一 I X ( t, ) 一 ( 一 1 ) l 2 一 ( a 夸 一 a 夸 ，) ， 对任意的 。s 0 ， 由 X = ( X 一 X , ) + ( X 。 一 X o ) 及 X , 的 独立增量性可知 。 卜 E ( X 。 一 X , ) 2 + a 2 , 即 E ( X一 戈) 2 = a 卜， 子 所以。 里 ， 4 z ， 一 : 为一组 零均值的独立随 机变蛋， 且 E ( 6 ; ) 2 一二 经 二座 汤 专 辑金融管理
8、 一 X ( 罗 ) 一 X ( 叮 一 、 ) ) 十 ( 奢 一 夸 1 ) ( X ( 叮 ) 一 X ( 才 一 ; ) ) ， 二 2(冲 一 玲_ 1 ) 2 对任一: 。 ， 由c h eb y s h ev不 等式可 得 尸 ( ， 。 : 。 二 ) 一 。 之 ， 乡 E 少.鑫 = 1 、 、 “ r 一 六 愈 “ ( : )书 + 举 (、 )2: ( 、 )2 而: ( 。 : ) 4 一 息 己 : : 、 ( ， : ) 一 x ( : 一 ) :2 孟 ( 一 ， )4 一 ( 夸 一 夸 一 。) 4 一 一 ( 夸 一 介 一 : ) ( 1 0 5 一
9、“ 0 十 8 一 4 + ) 6 0 ( C : ) ， ( 毋 ) 举( 盯 ， E ( r ， 2 兰 4 n ( n 一 ， ) ( Ct )， ( 毋 ) 其 中C 卜语澎己 ) ， ， 因 为 。髻 16 。 (c 。)2手 + 4 ( 一 1 )( ; )2，景 - 若记 A 。 二 l ll J ( x ) 一 。 苦 1 全。 则有 三 P(A ” ) co 由E 心 r el 一 C a 幻 t elli 弓 1 理可知 P( l i ms 叩 A ， ) =0 由 此即知结论成立。 定理2 若。 二 踢 片心= : 将阳 ， 门等分为n 个小区间， 则 有 证 明由于 辣
10、 却09 今 一 1055: 一 ，) ， = 砖 5 ， = 5 o e 戈 十 J 二 ， . d 二 一 告 碑 所 以 、 5 ， 一 fo g s 。 + 、 + J ; ; 。 d “ 一 告 。 ， 105 5 : 一 、 5 ，; 1， 一 (X : 一 X ，; :， 几 :。 。 一 合 ( 卜 一 乏 :， 一 N( 于是有 尸 。 d 赵 一 合 口 升 一乏 J )2 ， ( 升 一 乏 1) 2 ) 息 ( !、 5 ，: 一 1、 5 :_ ，) 2 一 客 ( x ，: 一 x ，:_ ) ， + 专 客 ( 。 补 一 补 一 :) ，昆 一 叁 于_二 盖
11、与、二二 益 公是 洁 舀 苦 浦 6 2 4 .电.，月，.，.月，.， 客 ( r0_ 二 d u ， 一 客 (、 中国管理科学 1 9 9 9 年 一 _， )z ) ( 厂 p du ) + 2 z (X ,_ =1 : 一 凡 : :，( rwX l_, ) ( . 。二 ， X . ) ( a , 一 咬d 2 ) ( 2) d - i - , ( r 一 r; - i 。 一 、 Cnt 峨睁 艺问为卜 一因扣 f 城 ,2 , d u I 5 m axa s .5 , 。 。 ” “ : 一 : 一 ， 一 1n as s 所以当 n充分大时有 冬 ( a L - a - :
12、 )z = 0 ( n ) ( 3 ) 冬 ( 4 - P d u )， 一 O ( 贵 )( 4 ) .E ( a 一 咬 _ 1川拉 ，尸 二 a U ) 2 三 冬 ( a I- - a 2, . )2 1 ( f 泉 1Pu d u ) z 一 O ( 1 2 )n( ， ) ，燕 ( X ,: 一 X ,:一 ， ( f 左 ， k u d u ) fz S E ( 二 : 一 X ,:一 :) 2 j ( 泉 。p d u ) 2 5 2 , ;0 贵 ，。 . ( 6 ) 冬 ( X ,: 一 X ,: 一 ，) ( a 一 a 2， 息 ( 二 : 一 X ,:一 。 ) 2息
13、 ( a 0 - a ;一 )z 5 2 x ,0 贵 ， a . s . ( 7 ) 故 感 ( fo g s ,: 一 lo g s ,:一 : ) Z = a ) 由 以 上 讨 论 可 见 ， 若 以 “ 卜 郭lo g S ,. - lo g S ,.一 :， ， 作 为 砖 的 估 计 量 ， 则 有 L i m 砚二 。 苦 在 衍生 证券的定价公式中， 方差函数是不可观察的因素。 如果能给出 方差函数的具优良 性质的 估计量， 那么衍生证券的估计向题就迎刃而 解了。 在变系数B la c k 一 K , T , r , 。 子 ) = S , 45 ( d , ) 一 一 ，
14、( T 一 t ) 4 5 ( d 2 ) 其中 K为买权合同规定的交割价， T为交割日 期， ( . ) 为标准正态分布函数， 而 ; _汤 专辑 金融管理 烦 劝 . _易 2T - t 5K og d, = 十 : ( T 一 ， ) + 粤 乙 口T一已 雀9一 d 2 =d, 一a T 一 将衬代入期权定价公 式C ( a 子 ) ， 即可得期权价格的 估计量 C ( ) ， 由 于 C ( a i ) 一 C ( a ? ) = C C ( a ? ) ( a t 一 a t 卜 ( a t 一 a 2 ) 2 -S , 其 中 1 2 e 一dr2 (b ;一 d t) - K e一食一1Z (b 2- d2) 凡-K g d , 二 十 : ( T 一 ， ) 十 令 a 2 ,r 乙 a丁一已 a 2 二 b ; 一 a T - t 于是 、_5 ， ， 1 1 . 1 1， “ ， 一 “ 2 一 0g 万 ( 荞 刃 一 索万 ) 十 r ( T 一 )( 众 一 众 ) 十
