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1、第九章 向量值函数的导数与积分 9.1 向量值函数及其极限与连续 9.2 向量值函数的导数与微分 9.3 向量值函数的不定积分与定积分 9.2 向量值函数的导数与微分 9.2.1 向量值函数的导数与微分 内容小结与作业 9.2.2 空间曲线的切线及法平面方程 Dept. Math. (2)中的三维向量值函数对应的图形是 三维空间上的螺旋曲线 Dept. Math. & Sys. Dept. Math. & Sys. SciSci. . 应用数学教研室应用数学教研室 高等数学分级教学A2班教学课件 且在区间 I 内 光滑的 如果一个向量值函数在区间上满足连续， 例如，例1中的椭圆曲线与螺旋曲线都
2、是光滑的 我们就称在区间上是 一条曲线如果由多个光滑的片段组成，那么就称这 条曲线为分段光滑曲线 Dept. Math. & Sys. Dept. Math. & Sys. SciSci. . 应用数学教研室应用数学教研室 高等数学分级教学A2班教学课件 解 因为 光滑的曲线在点(1, 0) (对应t = 0)突然改变了方向， 在曲线上出现了尖点的特征 所以，该曲线不是 是否为光滑曲线？ 例2 判断曲线 尖点 Dept. Math. & Sys. Dept. Math. & Sys. SciSci. . 应用数学教研室应用数学教研室 高等数学分级教学A2班教学课件 解 质点的速度为 质点的速率
3、为 质点的加速度为 例3 一个质点的位置向量为 求 质点的速度、加速度与速率 Dept. Math. & Sys. Dept. Math. & Sys. SciSci. . 应用数学教研室应用数学教研室 高等数学分级教学A2班教学课件 可导的向量值函数 r = r (t) 的微分定义为 对于可导的二维向量值函数 对于可导的三维向量值函数 对于二维向量值函数与三维向量值函数，dr 是一个与 与切向量同向； 平行的向量，曲线的切向量当 dt 0 时, dr与 反向.当dt 0 时, dr与切向量 Dept. Math. & Sys. Dept. Math. & Sys. SciSci. . 应用数
4、学教研室应用数学教研室 高等数学分级教学A2班教学课件 数值函数， 设u(t), v(t)为可导的向量值函数， 常数，则有 定理9.2.1 C 为常向量 (即 C的各分量都为常数), k 为 f (t)为可导 2向量值函数的求导法则 Dept. Math. & Sys. Dept. Math. & Sys. SciSci. . 应用数学教研室应用数学教研室 高等数学分级教学A2班教学课件 ( 7 ) 链式法则：设 u (s)为可导的向量值函数，s = f (t) 为可导的数值函数，则 Dept. Math. & Sys. Dept. Math. & Sys. SciSci. . 应用数学教研室
5、应用数学教研室 高等数学分级教学A2班教学课件 例4 设 r(t) 是可导的向量值函数，且如果 (C为常数)，证明：与垂直 证 因为则由求导法则 (5) 知 因此， 几何意义: 如果一条曲线位于一个以原点为球心的 也就是说与垂直 垂直于位置向量球面上, 那么它的切向量 Dept. Math. & Sys. Dept. Math. & Sys. SciSci. . 应用数学教研室应用数学教研室 高等数学分级教学A2班教学课件 例5 如果质量为 m 的质点的位置向量为r(t), 角动量 转动力矩为 证明： 证 由求导法则（6），知 注意到 则 特别，当 M(t) = 0 时,从而L(t)为常向量.
6、 这就是物理学中的角动量守恒定律 Dept. Math. & Sys. Dept. Math. & Sys. SciSci. . 应用数学教研室应用数学教研室 高等数学分级教学A2班教学课件 空间曲线在点 t0 处的切线 向量为 空间曲线 在点的切线方程为 称过点 P 且与向量 T (t) 垂直的平面为空间曲线 的 法平面，其方程为 9.2.2 空间曲线的切线与法平面 Dept. Math. & Sys. Dept. Math. & Sys. SciSci. . 应用数学教研室应用数学教研室 高等数学分级教学A2班教学课件 切线方程与法平面方程 且点(1,1,1) 与 t = 1对应, 所以，在点(1, 1, 1)处曲线的切线向量为 因此，所求切线方程为 例6 求空间曲线在点(1, 1, 1)处的 解 因为 所求法平面方程 即 Dept. Math. & Sys. Dept. Math. & Sys. SciSci. . 应用数学教研室应用数学教研室 高等数学分级教学A2班教学课件 内容小结与作业 作业:教材80-82页 1(1)(3)(5), 2(2)(4), 5, 7, 10(1), 12 1. 向量值函数的导数与微分的概念 2. 向量值函数的求导法则 3. 空间曲线的切线及法平面方程
