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1、趣味数学之 数学桂冠上的明珠数学桂冠上的明珠数学桂冠上的明珠数学桂冠上的明珠 一.哥德巴赫猜想 哥德巴赫是一个德国数学家，生于1690年，从 1725年起当选为俄国彼得堡科学院院士。在彼得堡，哥德 巴赫结识了大数学家欧拉，两人书信交往达30多年。他有 一个著名的猜想，就是在和欧拉的通信中提出来的。这成 为数学史上一则脍炙人口的佳话。 有一次，哥德巴赫研究一个数论问题时，他写出：336，35=8，3+710， 5+712，31114，31316，51318，31720， 看着这些等式，哥德巴赫忽然发现：等式左边都是两个质数的和，右边都是偶 数。于是他猜想：任意两个奇质数的和是偶数，这当然是对的，
2、但可惜这只是一个 平凡的命题。对般的人，事情也许就到此为止了。但哥德巴赫不同，他特别善于 联想，善于换个角度看问题。他运用逆向思维，把等式逆过来写：63+3，8=3+5 ，1037，12=5+7，143+11，163+13，18513，20317， 这说明什么？哥德巴赫自问，然后自答：从左向右看，就是622这些偶数，每 一个数都能“分拆”成两个奇质数之和。在一般情况下也对吗？ 他又动手继续试验：24519，26323，28523，30723，32 329，34331，36531，38731， 一直试到100，都是对的，而且有的数还不止一种分拆形式，如 245197171113，263+23=7
3、1913+13 343+31=5+2911+2317+17 100=397=118917 83=29+71=41+5947+53. 这么多实例都说明偶数可以（至少可用一种方法）分拆成两个奇质数之 和。在一般情况下对吗？他想说：对！于是他企图找到一个证明，几经努力 ，但没有成功；他又想找到一个反例，说明它不对，冥思苦索，也没有成 功。 于是，1742年6月7日，哥德巴赫提笔给欧拉写了一封信，叙述了他的猜想： （1）每一个偶数是两个质数之和； （2）每一个奇数或者是一个质数，或者是三个质数之和。 （注意，由于哥德巴赫把“1”也当成质数，所以他认为211，413也符合要求， 欧拉在复信中纠正了他的说
4、法。） 同年6月30日，欧拉复信说，“任何大于（或等于）6的偶数都是两个奇质数之和，虽然 我还不能证明它，但我确信无疑，它是完全正确的定理。” 欧拉是数论大家，这个连他也证明不了的命题，可见其难度之大，自然引起了各国数学 家的注意。 人们称这个猜想为哥德巴赫猜想，并比喻说，如果说数学是科学的皇后，那么哥德巴赫 猜想就是皇冠上的明珠。二百多年来，为了摘取这颗耀眼的明珠，成千上万的数学家付出了 巨大的艰苦劳动。 因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的 现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。 欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数都可写成 两个质数之和。 今
5、日常见的猜想陈述为欧拉的版本。把命题任一充分大的偶数都可 以表示成为一个素因子个数不超过A个的数与另一个素因子不超过B个 的数之和记作A+B。 1966年陈景润证明了1+2成立，即任一充分大的偶数都可以表 示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和。 二.费马最后定理 在德国哥庭根大学的大会堂里，500名数学家齐聚，观看普林斯顿大学 数学家魏尔斯(ANDREW WILES)领取沃夫斯柯奖。沃夫斯柯是一位德国工业家 的名字，他在20世纪初遗赠10万马克设立此一奖项，给予世界上头一个能解决 费马最后定理之人。当时10万马克是不小的一笔数目，约等于200万美金，而 由魏尔斯领到时，不过相当5万美
6、金左右，但是这确是近世数学界的盛事，魏尔 斯不只是证明了费马最后定理，也替未来的数学带来革命性新发展。 费马最后定理的发明者自然是一个叫费马的人。费马 (Pierre de Fermat)1601年出生在法国西南方小镇。费马并不是一个数学家 ，他的职业是一名法官。当时为了保持法官立场的公正，通常不 鼓励他们出外社交，因此每天晚上费马便钻研在他嗜好的数学之 中，悠然自得。 在1637年的某一天，费马正在阅读古希腊大数学家戴奥芬多斯的 数学译本，忽然灵光乍现，就在书页空白处，写下有名的费马定理。 费马定理的内容其实很简单，它只是基于一个方程式( ) 这个方程式当N等于2时，就是人们熟知的毕氏定理，
7、中国数学上所称 的勾股弦定理，其内容即直角三角形两边平方和等于其斜边的平方。 如9+16=25。 费马当时提出的难题是，当这个方程式的N大于2时，就 找不到任何整数来符合这个方程式。例(27+64=91，但是 91却不是任何整体的3次方。 费马不仅写下了这个问题，他同时也写道，自己已经发现了证明 这个问题的妙法，只是书页的空白处不够大，无法写下证明。结果他 至死都没有提出他的证明，却弄得300多年来数学界群贤束手，也使 他的难题得到一个费马最后定理的称号。 19世纪时，法国的法兰西科学院，曾经分别两度提供金质奖章和300法郎之赏，给予任何 可以解决此一难题之人，不过并没有多大进展。 20世纪初
8、捐出10万马克奖金的沃夫斯柯，事实上也是一个对费马最后定理着迷的“数 痴”，据一些历史学家研究，沃夫斯柯原本一度已打算自杀，但由于对解决费马定理着迷， 而放弃求死之心，因此他后来便在遗嘱中捐出巨款，原因是他认为正是费马定理救了他一 命。 最后解决这个世纪难题的魏尔斯，早在1936年他10岁之时， 便有 着挑战费马定理的浪漫梦想，他在英国桥剑地方的图书馆中读到这 个问题，便决心一定要找出证明方法。他学校的老师并不鼓励他浪 费时间于这个不可能之事，大学老师也试图劝阻他，最后他进了英 国剑桥大学数学研究所，他的指导教授指引他转入数学中比较主流 的领域做椭圆曲线。魏尔斯自己也没有料到，这个由古希腊起始
9、的 数学研究训练，最后会导致他再回到费马定理之上。 魏尔斯是1993年在英国剑桥大学，正式宣布他已解决费马最后定理，在此之前他已 秘密的工作达7年之久，原因不只是怕受到公众压力，也害怕其他数学家抄袭他的想法，在这 段期间，魏尔斯连和太太去度蜜月中都未能从“附魔”脱身。 魏尔斯基本上利用了数学上常用的归纳法，他的办法 有点像推倒骨牌的游戏，如果要推倒无限多张的骨牌，你必须 确知的乃是一张骨牌倒下时，一定会碰到的下张骨牌。魏尔斯 在1993年6月23日觉得他的证明已十分完整，于是便在剑桥大 学牛顿数学研究所的研讨会上正式宣布。 但是对许多数学家来说，一个大问题依然存在着。所有人都同意，比起当年费马
10、在画页空 白处写下这个难题时所想的解答，魏尔斯的证明一定过于复杂和依赖现代数学的概念。如果费马的 证明真的存在，要不就是其中必有些错误，不然的话，一个简单又巧妙的证明还等着人们去发现！ 多年数学悬案终于解决，不只数学界哗然震惊，数学门墙之外的社会大众亦 感到好奇，媒体大量报道，魏尔斯立时陷入聚光灯中。虽然魏尔斯的证明长达百页 以上，不过其他数学家立即动手检视他的巨作，这种在科学界称之为“同侪评核” 的过程，是科学成果禁得起考验的保证，结果魏尔斯的证明归纳中，有一处瑕疵， 消息传出后，魏尔斯童年以来的美梦几乎变成了恶梦。 魏尔斯于是又花了14个月时间，和他以前一位学生隐居理头工作，试图找出新的
11、证明办法。1994年9月19日，他们终于找到关键的解答，魏尔斯过去曾经考虑过利用岩泽 理论证明方式。但是最后不成功而放弃了，现在他突然悟到，这个已放弃的办法正好可用 来解决此瑕疵。 对魏尔斯来说，解决费马最后定理，得到沃夫斯柯奖是一场30多年迷梦的终结。“解决 这个问题，确实有一种自由的感觉。在过去8年中，我过度的投入这个问题，无论是早晨 醒来还是夜晚入睡，我总是无时不想着这个问题。这个特殊的漫长之旅已了，我心如止 水。” 三.哥尼斯堡七桥问题 沿着俄国和波兰的边界，有一条长长的布格河。这条河流经俄国的古城哥尼斯堡 它就是今天俄罗斯西北边界城市加里宁格勒。 它包含两个岛屿及连接它们的七座桥该河
12、流经城区的这两个岛岛与河岸之间 架有六座桥，另一座桥则连接着两个岛。 人们长期生活在河畔、岛上，来往于七桥之间。 有人提出这样一个问题：能不能一次走遍所有的七座桥，而每座桥只准经过一次？ 问题提出后，很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终 未能解决。最后，人们只好把这个问题向大数学家欧拉提出，请他帮助解决。 公元1737年，欧拉接到了“七桥问题”，当时他三十岁。他心里想：先试 试看吧。他从中间的岛区出发，经过一号桥到达北区，又从二号桥回到岛区 ，过四号桥进入东区，再经五号桥到达南区，然后过六号桥回到岛区。现在 ，只剩下三号和七号两座桥没有通过了。显然，从岛区要过三号桥， 只
13、有先过一号、二号或四号桥，但这三座桥都走过了。这种走法宣告失败。 欧拉又换了一种走法： 岛东北岛南岛北这种走法还是不行，因为五号桥还没有走过。欧拉连试 了好几种走法都不行，这问题可真不简单！ 他算了一下，走法很多，共有 7654321=5040（种）。 好家伙，这样一种方法，一种方法试下去，要试到哪一天，才能得出答案 呢？他想：不能这样呆笨地试下去，得想别的方法。 聪明的欧拉终于想出一个巧妙的办法。他用A代表岛区、B、C、D分别代表北、东、西 三区，并用曲线弧或直线段表示七座桥，这样一来，七座桥的问题，就转变为数学分支“图论 ”中的一个一笔画问题，即能不能一笔头不重复地画出上面的这个图形。 欧拉集中精力研究了这个图形，发现中间每经过一点，总有画到那一点的一条线和从那一 点画出来的一条线。这就是说，除起点和终点以外，经过中间各点的线必然是偶数。像上面 这个图，因为是一个封闭的曲线，因此，经过所有点的线都必须是偶数才行。 而这个图中，经过A点的线有五条，经过B、C、D三点的线都是三条，没有一个是偶数， 从而说明，无论从那一点出发，最后总有一条线没有画到，也就是有一座桥没有走到。欧拉 终于证明了，要想一次不重复地走完七座桥，那是不可能的。 天才的欧拉只用了一步证明，就概括了5040种不同的走法，从这里我们可以看到，数学的 威力多么大呀！
