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1、数字信号处理时域离散随机信号处理 第三章 功 率 谱 估 计 3.1 引言 3.2 经典谱估计 3.3 现代谱估计中的参数建模 3.4 AR模型谱估计方法 3.5 AR谱估计的异常现象及补救措施 数字信号处理时域离散随机信号处理 3.1 引 言 功率谱定义 估计质量评价 功率谱估计的方法 本章讨论的主要内容 数字信号处理时域离散随机信号处理 1、功率谱的定义 信号的功率谱和其自相关函数服从一对傅里叶变 换关系 数字信号处理时域离散随机信号处理 n 对于平稳随机信号，服从各态历经定理，集合平均可以用时 间平均代替 令l=n+m, 则 数字信号处理时域离散随机信号处理 2、估计质量评价 无偏性：
2、一致性： 数字信号处理时域离散随机信号处理 3、功率谱估计的方法 经典谱估计方法 间接方法：BT法 直接方法：周期图法 现代谱估计方法 参数法：ARMA模型法（AR模型、MA 模型、ARMA模型） 非参数法：谐波分解法、多分量法 数字信号处理时域离散随机信号处理 （1）经典谱估计方法 BT法：先按照有限个观测数据估计自相关函数， 再计算功率谱； 周期图法：直接对观测数据进行处理，计算功率谱 。 经典谱估计方法的特点： 都采用傅里叶变换方法，物理概念比较清 楚； 频率分辨率低； 估计量的方差和分辨率是一对矛盾。 数字信号处理时域离散随机信号处理 （2）现代谱估计方法 以信号模型为基础，估计功率谱
3、的问题转化成 由观测数据估计信号模型参数的问题。 现代谱估计方法的特点： 频率分辨率较经典法高； 缺乏如何选择信号模型的理论指导。 数字信号处理时域离散随机信号处理 4、本章讨论的主要内容 主要内容： BT法、周期图法、改进的周期 图法； AR模型法 分析方法： 介绍几种估计方法的原理，分析 讨论其估计性能，介绍具体估计方法。 数字信号处理时域离散随机信号处理 3.2 经 典 谱 估 计 BT法 周期图法 改进的周期图法 数字信号处理时域离散随机信号处理 3.2.1 BT法 BT法是先估计自相关函数, 然后进行傅里叶变换 得到功率谱。 有偏自相关函数估计的误差相对较小，是一种渐 近一致估计：
4、数字信号处理时域离散随机信号处理 BT法的加权协方差谱估计 式中 -(M-1)m(M-1) 其它 , MN 窗函数w(m)的傅里叶变换必须是非负的。 数字信号处理时域离散随机信号处理 3.2.2 周期图法 n 周期图法定义如下: 数字信号处理时域离散随机信号处理 1. 周期图与BT法的等价关系 令 m=k-n, 即k=m+n，则 利用有偏自相关函数的BT法和周期图法是等价的。 数字信号处理时域离散随机信号处理 2. 周期图法谱估计质量分析 1）周期图的偏移 式中 数字信号处理时域离散随机信号处理 上式在频域表示为： 式中 周期图的统计平均值等于它的真值卷积三角谱窗函数，因此 周期图是有偏估计，
5、但当N时，wB(m)1，三角谱窗函数趋 近于函数，周期图的统计平均值趋于它的真值，因此周期图属 于渐近无偏估计。 数字信号处理时域离散随机信号处理 2）周期图的方差 周期图的均值 为分析简单起见， 假设x(n)是实的零均值的正态白噪 声信号，方差是sx2，即功率谱是常数sx2 ，其周期图用 IN(w)表示，N表示观测数据的长度。 数字信号处理时域离散随机信号处理 式中 这里由于对信号作了实白噪声的假设，才有无偏估 计的结果。 数字信号处理时域离散随机信号处理 利用正态白噪声、多元正态随机变量的多阶矩公式，有 周期图的均方值 数字信号处理时域离散随机信号处理 将上式代入周期图的均方值公式中， 得
6、到 将=1=2代入上式，得到 数字信号处理时域离散随机信号处理 信号的功率谱真值是sx2,说明周期图的方差很大，周 期图的均方误差也非常大。 用这种方法估计的功率谱在sx2附近起伏很大，故周 期图是非一致估计，是一种很差的功率谱估计方法。 图 3.1.1 白噪声的周期图 数字信号处理时域离散随机信号处理 3.2.3 经典谱估计方法改进 平均周期图法 窗口处理法平均周期图 Welch法（修正的周期图求平均法） 数字信号处理时域离散随机信号处理 存在问题：BT法和周期图法估计功率谱都 不是一致估计，频率分辨率低。 解决方法：对周期图进行修正，使其满足 一致估计条件。可以采用平滑处理的方法， 使其方
7、差减小。 数字信号处理时域离散随机信号处理 1. 平均周期图法 主要思想：对序列x(n)进行L次独立观测或 将其分成L段，计算每组观测数据的周期图， 再将L个周期图加和后求平均。 数字信号处理时域离散随机信号处理 假设随机信号x(n)的观测数据区间为：0nM-1 ，共进行了L次独立观测，得到L组记录数据，每一组 记录数据用xi(n), i=1, 2, 3, ,L表示； 或对长为N的数据x(n)分成L段，每段有M个数据 ，N=LM，第i段数据表示为xi(n)= x(n+iM-M)。 第i组的周期图用下式表示： n 估计方法： 数字信号处理时域离散随机信号处理 将得到的L个周期图进行平均，作为信号
8、x(n)的功 率谱估计， 公式如下： 数字信号处理时域离散随机信号处理 偏移分析： n 估计效果分析： 平均周期图仍然是有偏估计，偏移和每一段的数据个 数M有关，由于往往MN，偏移更大； 偏移的大小反映分辨率的高低。 数字信号处理时域离散随机信号处理 方差分析： 平均周期图的估计方差是周期图的方差的1/L，L越大 方差越小，功率谱越平滑；相应的，M越小，偏移越大 ，分辨率越低； 估计的均方误差也减少； 以分辨率的降低换取了估计方差的减少，估计量的方 差和分辨率是一对矛盾。 图 4.2.3 平均周期图法（丁） 数字信号处理时域离散随机信号处理 2、窗口处理法平均周期图 主要思想：用一适当的功率谱
9、窗函数W(ej)与 周期图进行卷积，来达到使周期图平滑的目的的 。 数字信号处理时域离散随机信号处理 式中 -(M-1)nM-1 n 估计方法： 那么 周期图的窗函数法就是前面BT法的加权协方差谱估计 。 数字信号处理时域离散随机信号处理 又 偏移分析： n 估计效果分析： 可得 周期图的窗函数法仍然是有偏估计, 其偏移和wB(m) 、w(m)两个窗函数有关。 数字信号处理时域离散随机信号处理 如果w(m)窗的宽度比较窄，M比N小得多，这样 |m|p 数字信号处理时域离散随机信号处理 MA模型的系数和信号自相关函数之间的关系 m=0, 1, , q mq+1 MA模型的参数和信号自相关函数之间
10、也是非线性关系。 数字信号处理时域离散随机信号处理 n 估计功率谱的方法 首先根据信号观测数据估计信号自相关函数； 再按照所选择信号模型，解上面相应的方程，求出 模型参数； 最后按照下式求出信号的功率谱: 数字信号处理时域离散随机信号处理 为何讨论AR模型？ 3.4 AR模型谱估计方法 由于对AR模型参数的估计，得到的是线性方程 。故AR模型比ARMA以及MA模型有计算上的优点 。 同时，实际的物理系统往往是全极点系统。 所以研究有理分式传递函数的模型，主要研究 AR模型 数字信号处理时域离散随机信号处理 AR谱估计方法可归结为求解AR模型系数或线性预 测器系数的问题。 AR模型参数估计方法：
11、 信号预测误差最小原则（或预测误差功率最小） 自相关法（Levison递推法） Burg法 协方差法 修正协方差法（前后向线性预测最小二乘法） 最大熵原则最大熵谱估计方法 数字信号处理时域离散随机信号处理 1、 自相关法列文森（Levinson）递推 n 估计方法：自相关法的出发点是选择AR模型的参数使 预测误差功率最小；采用Levison-Durbin递推方法求解 Yule-Walker方程得到AR模型参数。 预测误差功率为 预测误差功率最小，得到 数字信号处理时域离散随机信号处理 Yule-Walker方程 必须记住 数字信号处理时域离散随机信号处理 Levinson-Durbin递推算法
12、： YuleWalker方程的一种高效解 m=1时： 数字信号处理时域离散随机信号处理 m=2时： 数字信号处理时域离散随机信号处理 数字信号处理时域离散随机信号处理 m=k时，有： 算法的程序编写流程图参见讲义P79或丁P154 图 3.3.1 利用列文森递推法计算功率谱的流程图 数字信号处理时域离散随机信号处理 表明： 系统函数所有极点均在单位圆内 讨论： fs=1; N=10000; t=0:1/fs:N; A=200.5; B=A; C=1; x1=A*sin(2*0.15*pi*t); x2=B*sin(2*0.2*pi*t); noise=C*randn(size(t); x=x1
13、+x2+noise; %被分析信号 练习：自编程序， 请理解、消化 M=15; %阶数 M1=20; %阶数 %求自相关函数 for m=0:M-1, % 对r赋初值 temp=0; for n=1:N-M, temp=x(n)*x(n+m)+temp; end r(m+1)=(1/N)*temp; end a(m+1,m+1)=0; a(1,1)=-r(2)/r(1); xgm(1)=(1-(a(1,1)2)*r(1); % p=2; while pp时估计的参数0，可能产生近单位圆的额外极点 模型阶数N/2 谱线分裂 噪声影响 正弦信号叠加噪声时 P89 噪声使频率分辨率下降，频谱偏移 不再适用低阶AR模型 数字信号处理时域离散随机信号处理
