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1、高二 RB第2期 经典在线 高二 RB第2期 能力检测 主编：张坤责编：许多录排：晓晓 解有关三角形的实际应用问题关键是根据题意把 实际问题转化为数学问题， 然后通过正、 余弦定理解决. 追击问题是解三角形中的重要题型， 下面探讨一下追击 问题的求解策略. 例在海岸 A 处， 发现北偏东 45毅方向， 距离 A 为 （3姨- 1） n mile 的 B 处有一艘走私船， 在 A 处北偏西 75毅方向， 距离 A 为 2nmile 的 C 处有一艘缉私艇奉命以 103姨n mile / h 的速度追 截走私船， 此时， 走私船正 以 10 n mile / h 的速度向 B 处北偏东 30毅方向
2、逃窜， 问 缉私艇沿什么方向行驶才 能最快追上走私船？并求 出所需时间. 分析：设出追上走私船所需时间，标出已知量， 在 吟ABC 中， 利用余弦定理求出 BC， 然后利用正弦定理 求得蚁ABC.通过解吟BCD 可以解得所需时间. 解：如上图， 设缉私艇追上走私船需 t 小时， 则 BD = 10t， CD = 103 姨 t， 蚁BAC = 45毅 + 75毅 = 120毅， 在 吟ABC 中， 由余弦定理得： BC2= AB2+ AC2- 2AB AC cos蚁BAC =（3姨- 1） 2 + 22- 2 伊（3姨- 1）伊 2 伊 cos120毅 = 6， 即 BC =6姨， 由正弦定理
3、得 sin蚁ABC = AC sin蚁BAC BC = 2sin120毅 6姨 = 2姨 2 ， 所以蚁ABC = 45毅， 则 BC 为东西走向， 所以蚁CBD = 120毅. 在 吟BCD 中 ， 由 正 弦 定 理 得 sin 蚁BCD = BD sin蚁CBD CD = 10t sin120毅 103 姨 t = 1 2 ， 所以蚁BCD = 30毅， 所以蚁BDC = 30毅，BD = BC =6姨， t = 6姨 10 . 故缉私艇沿北偏东 60毅方向行驶才能最快追上走 私船， 且最快需 6 姨 10 小时. 规律聚焦：综上， 追击问题中三角形的构造如右图 所示： 两对象初始 位置
4、的连线为一 条边， 各自运行 的轨迹构成三角 形的另外两条边. 设运动时间为 t， 一般利用余弦定理得到关于 t 的方程， 解得 t， 问题解决. 了解了上述规律， 类似的问题也就可以解决了. 想 测试一下自己学的怎么样吗， 试一下下面的变式练习吧. 变式练习：受强冷空气影响，烟台海域出现了 7 8 级大风， 在崆峒岛附近海域一渔船遇险， 海水已没驾 驶楼， 由于大风， 周围船只靠不上去， 需直升机前往救 援.有一海岸巡逻船位于 A 处， 遇险渔船在 A 的北偏东 45毅相距 10 海里的 C 处向巡逻船发出求救信号， 同时以 20 海里/时的速度沿南偏东 75毅方向靠向崆峒岛海岸， 若巡逻船
5、收到信号的同时派直升机以 203姨海里/时 的速度从 A 点出发前去营救， 问直升机应沿什么方向， 至少多少小时后追上渔船. 答案：直升机应沿北偏东 75毅方向，航行 1 2 小时 后追上渔船. 一、选择题 1援 有三座小山 A、 B、 C，其中 A、 B 相距 10km，从 A 望 C 和 B 成 60毅角， 从 B 望 C 和 A 成 75毅角， 则 B 和 C 的 距离是（） A. 26姨kmB. 36姨km C. 56 姨 kmD. 66 姨 km 2. 华苑小区有如图 1 所示的一块三角形空地， 现要在上 面种植花草， 已知花草的价格是每平方米 a 元， 则购 买这种花草需要（） A
6、. 120a 元 B. 150a 元 C. 160a 元 D. 180a 元 3援 两艘轮船同时离开同一海港，两船航行方向的夹 角为 120毅，且速度分别为 25nmile/h、 15nmile/h， 则 2 小时后两船之间的距离为（） A. 70nmileB. 80nmile C. 90nmileD. 60nmile 4. 在吟ABC 中， 已知 a = 8， c = 18， S吟ABC= 363 姨 ， 则 B 等于（） A. 30毅B. 30毅或 150毅 C. 60毅D. 60毅或 120毅 5. 如图 2 所示， D、 C、 B 在地面同一直线上， DC = 10m， 从 D、 C
7、两处测得 A 点的仰角分别为 30毅和 45毅， 则 A 点离 地面的距离 AB 为（） A. 10mB. 5 （3姨- 1） m C. 15mD. 5 （3姨+ 1） m A B C D 30毅45毅 图 2 A B C北 图 3 6. 如图 3，我舰位于岛 A 南偏西 50毅相距 12 海里的 B 处， 发现敌舰正由岛 A 沿北偏西 10毅的方向以每小时 10 海里的速度航行，我舰计划用 2 小时在 C 处追上 敌舰， 则需要的速度是（） A. 10 海里/时B. 12 海里/时 C. 14 海里/时D. 16 海里/时 二、填空题 7援 甲、 乙、 丙三镇两两之间的距离皆为 20 公里，
8、 两条笔 直的公路交于丁镇， 其中一条通过甲、 乙两镇， 另一条 通过丙镇援在一比例精确的地图上量得两公路的夹角 为 45毅， 则丙、 丁两镇间的距离为公里援 8援 已知吟ABC 是锐角三角形， a = 3， b = 4， S吟ABC= 33姨， 则 c =. 9援 如图 4， 为测量河对岸的塔高 AB， 在岸边选与塔底 B 在同 一平面内的两点 C 与 D援测得 蚁BCD越 15毅， 蚁BDC 越 30毅， CD 越 30 米， 在点 C 测得塔顶 A 的仰 角为 60毅， 则 BC =米， 塔高AB =米. 三、解答题 10援 我国巡逻艇甲在 A 处观察到走私船乙在北偏东 60毅 且相距
9、a 海里的 B 处， 乙向正北方向逃跑， 若巡逻 艇的速度是走私船的3姨倍， 问巡逻艇应沿什么方 向前进， 才能最快追上走私船？此时， 巡逻艇走了多 少海里？ 11. 渤海中有一座小岛， 小岛上矗立着一座山， 为了测 量山的高度 CD， 在海平面上选取了相距 800 米的 A、 B 两点， 在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45毅， 蚁BAD = 120毅， 又在 B 点测得蚁ABD = 45毅， 求山高 CD. 解三角形知识在测量、 航海 等方面有着广泛的应用， 角度及 其相关问题是其中常见的类型援 那如何应用两个常用定理 正弦定理和余弦定理来解决这 类问题呢 ？不妨看下面的例题援 例 1如
10、图 1，海中小岛 A 周围 30nmile 范围内有暗礁， 船 由B处向正南航行， 在 B 处测得 A 在船的南偏东30毅， 航行30nmile 后， 在 C 处测 得 A 在船的南 偏东 45毅， 如果 在 C 处改为南 偏东 10毅方向 航行， 则船会不 会触礁. 思路分析：过 C 作圆 A 的 切线， 切点为 D， 要使船不触礁， 则至多按南偏东蚁PCD 的度数 方向行驶. 解：在吟ABC 中， BC 越 30， 蚁B 越 30毅， 蚁BAC 越 蚁PCA 原 蚁B 越 15毅.由正弦定理得 AC 越 BC sin蚁B sin蚁BAC = 30sin30毅 sin15毅 越 152姨 （
11、3姨垣 1） . 过 C 作 CD 切圆 A 于 D， 连结 AD， 则 AD彝CD， AD 越 30，在 Rt 吟ACD 中 ， sin 蚁ACD 越 AD AC 抑0.5177， 则 蚁ACD抑31.17毅， 所以蚁PCD 越 蚁PCA 原 蚁ACD = 13.83毅. 故船按南偏东 10毅方向行驶不会触礁. 模式归纳：第一步： 画出示意图； 第二步构建三角 形， 把实际问题中的长度、 角度做为三角形相应的边和 角，并尽量集中到同一个三角形中； 第三步： 解三角形. 例 2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号， 我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔船在方位角 为 45毅、 距离 A 为
12、 10 海里的 C 处， 并测得渔船正沿方位 角为 105毅的方向， 以 9 海里/时的速度向某小岛靠拢， 我 海军舰艇立即以 21 海里 / 时的速度前去营救， 试问舰 艇应按照怎样的航向前进， 才能在最短时间内靠近渔船援 思路分析：作出示意 图，再用解三角形知识来 处理援 设舰艇从 A 处靠近 渔船所用的时间为 x 小 时，则利用余弦定理建立 方程来解决较好，因为如 图中 的蚁1， 蚁2 可以求 出， 而 AC 已知， BC， AB 均可用 x 表示， 故可看成是一个 已知两边夹角求第三边问题援 解：设舰艇与渔船在 B 处相遇， 且所用时间为 x小 时， 则 AB = 21x， BC =
13、9x， AC = 10， 蚁ACB = 蚁1 + 蚁2 = 45毅 +（180毅 - 105毅）= 120毅， 根据余弦定理， 可得 AB2= AC2+ BC2- 2AC BC cos120毅， 即 （21x） 2= 102+（9x）2- 2 伊 10 伊 9xcos 120毅，即 36x2- 9x - 10 = 0，解得 x1= 2 3 ， x2= - 5 12 （舍去） ，所以 AB = 21x = 14， BC = 9x = 6， 再由余弦定理可得： cos蚁BAC = AB2+ AC2- BC2 2 AB AC = 142+ 102- 62 2 伊 14 伊 10 抑 0.9286，
14、所以蚁BAC 抑 21.8毅， 45毅 + 21.8毅 = 66.8毅援 舰艇应以 66.8毅的方位角方向航行，靠近渔船需要 40 分钟援 模式归纳： 解决问题需明确 “方位角” 这一概念， 方位 角是指由正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角援在利 用余弦定理建立方程求出x后， 所求舰艇方位角就转化为一 个已知三边求角的问题， 故仍然利余弦定理来解决问题援 A B C 21x 10 105毅 9x 1 2 45毅 北 北 江 苏 仓 万 林 150毅 图 1 图 1 B C P D A 对象 A 初始位置 对象 B 初始位置 相遇位置 C 山东刘康平 图 4 C D B A A B C D
15、北 Z 专题精讲 S 思 路 点 拨 一、选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分） 1援 某人站在山顶看到一列车队向山脚驶来， 他看见第一 辆车与第二辆车的俯角差等于第二辆车与第三辆车的 俯角差， 则第一辆车与第二辆车的距离 d1和第二辆车 与第三辆车的距离 d2之间的关系为（） A. d1 d2B. d1= d2 C. d1 d2D. 无法确定 2援 已知三角形的两边之差为 2， 且其夹角的余弦值为3 5 ， 三角形的面积为 14， 则该三角形的此两边长分别是 （） A. 3 和 5B. 4 和 6 C. 6 和 8D. 5 和 7 3援 如图 1，在山根 A 处测得
16、山顶 B 的仰角蚁CAB = 45毅， 沿倾斜角为 30毅的山坡向山顶走 1000 米到达 S 点， 又测得山顶仰角蚁DSB = 75毅， 则山高 BC 为（） A. 500 米 B. 1000 米 C. 1200 米 D. 1500 米 4. 若关于 x 的方程 x2- xcosA cos B - cos2C 2 = 0 有一个根 为 1， 则吟ABC 可能是（） A. 直角三角形B. 等腰三角形 C. 锐角三角形D. 钝角三角形 二、填空题 （本大题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分） 5. 在吟ABC 中， 若 b = 22姨， a = 2， 且三角形有解， 则 A 的取值范围是. 6. 岸边有一炮台高 30m， 江中有两条船， 由炮台顶部测 得其俯角分别为 45毅和 30毅， 两条船分别与炮台底部的 连线成 30毅角， 则两船相距援 7. 把一根长为 30cm 的木条锯成两段， 分别作吟ABC 的 两边 AB 和 BC， 且蚁ABC = 120毅， 当 AB =cm， BC =cm 时， 三角形周长最小.
