数值分析复习综述

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1、Review Chap 1 数值计算中的误差 误差 误差限 有效数字 用微分计算函数值误差 计算方法的数值稳定性 误差 误差限 有效数字 1) 定义 1.1：称 为 的绝对误 差(简称误差)。 设 是准确值， 是 的近似值 2) 定义 1.2：若 ，则称 是 x 的误差限。 称单位量上的误差 为 x 的相对误差。3) 定义 1.3： 定义 1.4： 若 , 则称 是 x 的相对误差限。4) 定义 1.5： 如果近似值 x 的误差限是它的某一位的半个 单 位，就称它准确到这一位。若该位到 x 左边第一位非零 数字共有n 位，则称它有n 位有效数字。 5) 例1.5 题1.1 用微分计算函数值误差

2、 相对误差 误差 例1.9 已知 的近似值 x ，一元函数值 的近似值为1) 2) 已知自变量误差 和求二元函数值u = f (x,y) 的误差 和 例1.10 ,例1.11 3) 和、差、积、商的误差 例1.10 , 例1.11, 题1.5 计算方法的数值稳定性 1) 求根公式的数值稳定性 2) 递推法的数值稳定性 数值计算中应注意的几个原则 避免相近数相减 ; 避免小除数, 大乘数 ; 避免大数吃小数 ; 采用数值稳定的算法 ; 减少运算次数. 题1.9, 题1.10 题1.7 Chap 2 插值法与最小二乘法 多项式插值 Lagrange插值公式 插值余项 Newton插值公式 Herm

3、ite插值 分段插值 三次样条函数 n 次多项式插值问题： 求作一个次数不超过 n 的多项式 ，使之满足 插值条件 f (x)的满足插值条件 (2.1)的n次插值多项式 插值区间 插值节点 已知 上的函数 在点上的函数值 被插值函数 Lagrange插值公式 插值余项 求作一个1次已知函数 在点 上的函数值 ， 多项式 ，使得 1) 线性插值 2) 抛物插值 已知函数 在点 上的函数值 ，求作 一个2次多项式 ，使得 3) n 次Lagrange插值 满足 n 次Lagrange插值基函数 的性质: 是 n 次式; 题2.1 题2.2 4) Lagrange插值余项 定理2.2 ：设 的 n+

4、1阶导数 在 上存在， 则 其中 与 有关 。 例2.4, 题2.5 Newton插值公式 1) 差商、差商的计算例2.5 2) Newton插值公式 误差 例2.7, 例2.8 题2.6, 题2.7 差商与微商的关系 Hermite插值 3次Hermite插值 3次Hermite插值基函数 (插值基函数的性质) 插值余项 例2.9, 题2.8, 题2.10 混合型Hermite插值 分段插值 1) 分段线性插值 2) 分段3次Hermite插值 ( 如何确定其解析式, 光滑性, 误差估计? ) 题2.11, 题2.12 3次样条函数 1) 什么是3次样条函数, 3次样条插值 2) 比较3次多

5、项式插值(不含导数条件), 分段3次Hermite插 值, 3次样条插值 Chap 3 数值积分与数值微分 机械求积公式 插值型求积公式 复合求积公式 Gauss求积公式 数值微分 机械求积公式 求积节点 求积系数 例3.1, 题3.1, 题3.2 代数精度: 若一个机械求积公式对 准确成立,但对 不准确成立, 就说它具 有m次代数精度. 利用代数精度定义构造求积公式 题3.11 插值型求积公式 1) 求积系数 2) 求积系数具有 n+1个求积节点的插值型求积公式至少具 有 n 次代数精度. 3) 中矩形公式、梯形公式、Simpson公式是插值型求积公式 (各自的代数精度). 4) Newto

6、n-Cotes公式: 一类节点等距分布的插值型求积公式 . ( n为奇数时, 代数精度为n; n为偶数时, 代数精度为 n+1) 梯形公式余项 记 Simpson公式余项 复合求积公式 (复合求积的思想) 1) 复合梯形公式 复合梯形求积公式的余项为 2) 复合Simpson公式 复合Simpson求积公式的余项为 题3.5, 题3.6 Gauss求积公式 1) 什么是Gauss求积公式? 2) Gauss点的性质? 定理3.4： 是Gauss点的充分必要条件是以 为零点 的多项式 与所有次数不超过 n-1的多项式 正交，即 例3.7, 例3.8, 例3.9, 例3.10, 题3.9, 题3.

7、10, 题3.11 数值微分 在点 a 处以 h 为步长的向前差商 在点 a 处以 h 为步长的向后差商 在点 a 处以 2h 为步长的中心差商 例3.11 1) 中心差商公式 2) Richardson外推例3.12 Chap 4 方程求根 不动点迭代法 Newton迭代法 简化Newton迭代法 弦截法 Newton下山法 不动点迭代法 1) 求 的根等价于求 的不动 点 2) 不动点迭代格式 3) 迭代收敛条件 定理 4.1：设 是闭区间 上的压缩函数，则 在 中有唯一不动点 ，且对任意 , 迭 代公式(4.5)都收敛 . (全局收敛) 推论 ：设 ，且 1) 总有 ; 2) 存在 ，使

8、 则定理4.1结论成立 . (全局收敛) 定理 4.3：设 在其不动点 附近有连续一阶导数，且 则存在 的某个领域 ， 使得 , 迭代(4.5)均收敛. (局部收敛) 迭代不收敛的条件 题4.4 4) 迭代收敛速度 记 , 若 ，且存在正常数 ，使 定义 4.3： , 则称(4.5)为 p 阶收敛的. 若 ，则称(4.5)是线性收敛的；若 , 则称(4.5)是平方 收敛的. 定理 4.4：若 在 的根 邻近有连续的 1阶导数 ， 且 , 则当 时迭代公式(4.5)为线性收敛 . 若 在 邻近有连续的 2 阶导数，则当 时迭代公式(4.5)为平方收敛 . 例4.4, 例4.5, 例4.6, 题4

9、.2, 题4.3, 题4.5 Newton迭代 求 近似根的Newton迭代公式: 1) 迭代控制条件 2) 收敛性 单根，则当 时(4.11)平方收敛 . 定理 4.5：设 在 邻近二次连续可微， 是 的 3) Newton迭代与开方法 例4.7, 题4.8 例4.8, 题4.7 简化Newton迭代法 弦截法 Newton下山法 1) 简化Newton迭代法 2) 弦截法 3) Newton下山法 例4.9 例4.10 例4.11 Chap 5 线性代数方程组数值解法 迭代法 迭代法的收敛性 Gauss消去法 矩阵的LU分解及应用 方程组的条件数与误差分析 迭代法 考虑线性方程组 Jaco

10、bi迭代 Gauss-Seidel迭代 考虑线性方程组 A x = b ,将 A 进行分解 A = D + L + U , Jacobi迭代的矩阵表示 : Gauss-Seidel迭代的矩阵表示 : 或 SOR迭代的矩阵表示 : 定理：SOR方法收敛的必要条件是 . 证明：假设SOR方法收敛，则有 设 的特征值为 ，则 而 A = -L -U D 迭代法的收敛性 迭代收敛基本定理：对任意 和任意的初始向量 , 迭代公式(5.18)收敛的充要条件是 . 例5.6, 题5.3 定理5.3 ：设G 是(5.18)的迭代矩阵，且它的某一种范数满足 , 则对任意的初值 ，迭代公式(5.18)均收敛 .例

11、5.5 定理5.4 ：设 A 严格对角占优，则其 Jacobi 迭代公式和Gauss- Seidel 迭代公式均收敛 . 例5.7 题5.2 定理：设 对称正定,且 ,则解 的SOR方法收敛. 证明：SOR迭代法的迭代矩阵 为 设 是G的一个特征值，相应的特征向量为 x , 则 记 , 则 p 0. (因为 A 正定, D 亦正定) 又记 , 则有 . 且 于是 而 故当 时 , SOR方法收敛. 特别的, 当 时 , SOR方法就是GS方法, 从而当A是对 称正定矩阵时, GS方法收敛. Gauss消去法 1) 顺序Gauss消去法 2) 列主元Gauss消去法 例5.8 题5.7 例5.1

12、0 题5.7 矩阵的LU分解及应用 A = L U , 其中L是单位下三角阵, U是上三角阵 1) 计算矩阵行列式 2) 解方程组 3) 求矩阵的逆 例5.11 题5.9 方程组的条件数与误差分析 定义5.7: 称数 为矩阵 A 的关于解方程 1 组 的条件数. 例5.13 题5.10 设 x 是方程组 的精确解, y 是其近似解. 称 为y 的剩余向量, 则成立不等式 (定理5.7) 当方程组良态时, 可以用 来估计近似解 y 的误差. Chap 7 常微分方程初值问题数值解法 Euler法 改进Euler法 Runge-Kutta法 收敛性与稳定性 (7.1) (7.2) 数值求解一阶常微

13、分方程的初值问题 : Euler公式 : (步进式, 单步方法, 显式格式) 记 , 则Euler公式的 局部截断误差 : 总体截断误差 : (Euler法是1阶方法) Euler法的三种分析解释: 差商逼近微商,数值积分,Taylor 级数法 隐式Euler公式 : (单步法, 隐式格式, 1阶方法) 两步隐式Euler公式 : (两步方法, 显式格式, 2阶方法) 梯形公式 : 改进Euler公式 : 或 (2阶方法) 经典4阶R-K公式 : (4阶方法) 例7.1 例7.3 例7.4 题7.1 题7.2 如何讨论数值方法的阶? ! 收敛性与稳定性 定理7.1：设 关于 y 满足 Lipschitz条件， 是 1 中任意固定的点( T 0 是常数). 则对Euler法的总 1体截断误差有 1) 收敛性 题7.5 2) 稳定性 对模型方程 , 下列方法的稳定性区域为 显式Euler公式 隐式Euler公式 或 改进Euler公式 梯形公式 经典4阶R-K法 题7.6 The road to wisdom? Well, its plain an