数系的扩充与复数的引入配套课件 文 新人教A版综述

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1、第五节 数系的扩充与复数的引入 1.复数的有关概念 (1)定义： 形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，其中实部是_，虚部是_. (2)分类： ab 满满足条件(a,b为实为实 数) 复 数 的 分 类类 a+bi为实为实 数_ a+bi为为虚数_ a+bi为纯为纯 虚数_ b=0 b0 (3)复数相等：a+bi=c+di_(a,b,c,dR). (4)共轭复数：a+bi与c+di共轭_(a,b,c,dR). (5)复数的模： 向量 的长度叫做复数z=a+bi的模，记作_或_， 即|z|=|a+bi|= _(a,bR). |z|a+bi| 2.复数的几何意义 (1)复平面的概念：建立_来表示复

2、数的平面叫 做复平面. (2)实轴、虚轴：在复平面内,x轴叫做_,y轴叫做_， 实轴上的点都表示_；除了原点外，虚轴上的点都表示 _. (3)复数的几何表示： 复数z=a+bi 复平面内的点_ 平面 向量_. 直角坐标系 实轴虚轴 实数 纯虚数 一一对应 Z(a,b) 一一对应 3.复数代数形式的四则运算 (1)运算法则: 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)，则 运算名称符号表示语语言叙述 加减法 z1z2=(a+bi)(c+di) = _ 把实实部、虚部分别别相加减 乘法 z1z2=(a+bi)(c+di) = _ 按照多项项式乘法进进行，并 把i2换换成-1 (ac)+(

3、bd)i (ac-bd)+(ad+bc)i 运算名称符号表示语语言叙述 除法 =_ (c+di0) 把分子、分母分别别乘 以分母的共轭轭复数， 然后分子、分母进进行 乘法运算 (2)复数加法的运算律: 设z1,z2,z3C，则复数加法满足以下运算律: 交换律：z1+z2=_； 结合律：(z1+z2)+z3= _. z2+z1 z1+(z2+z3) 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”). (1)方程x2+x+1=0没有解.( ) (2)复数z=a+bi(a,bR)中，虚部为bi.( ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( ) (

4、5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离 ，也就是复数对应的向量的模.( ) (6)复数的加减运算类似于多项式的加减运算，乘法运算类似 于多项式的乘法运算，除法运算类似于分母有理化，在乘除运 算中要注意i2=-1.( ) 【解析】(1)错误.在实数范围内，方程x2+x+1=0没有实数解； 但在复数范围内，此方程有解，且解为 故不正确. (2)错误.根据复数的概念，在复数z=a+bi中，虚部应为b.故 不正确. (3)错误.只有当两个复数都为实数时，它们才能比较大小， 其他情况不能比较大小.故不正确. (4)正确.原点在实轴上，也在虚轴上.故正确. (5)正确.根据复数的几何意义可

5、知此结论正确. (6)正确.根据复数的四则运算的法则，结论正确. 答案：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 1.已知aR，若(1ai)(32i)为纯虚数，则a的值为( ) 【解析】选A.(1ai)(32i)(32a)(23a)i为纯虚 数，故 得 2.下面是关于复数 的四个命题： p1:|z|=2；p2:z2=2i； p3:z的共轭复数为-1+i； p4:z的虚部为1. 其中真命题为( ) (A)p2,p3 (B)p1,p2 (C)p2,p4 (D)p3,p4 【解析】选C. z的共轭复数为1-i, z的虚部为1，故C正确. 3.若a，bR，i为虚数单位，且(ai)ibi，则( )

6、 (A)a1，b1 (B)a1，b1 (C)a1，b1 (D)a1，b1 【解析】选C.由(ai)ibi，得：1aibi， 根据复数相等得：a1，b1. 4.已知i为虚数单位，则复数 对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【解析】选C. 故复数对应的点为 位于第三象限. 5.已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对 应的点分别为A，B，C，若 (O为原点)，则 xy=_. 【解析】由 得(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1)， 解得 故xy5. 答案：5 6.设z1是复数， (其中 表示z1的共轭复数)， 已知z2的实部是1，则z2

7、的虚部为_. 【解析】设z1xyi(x，yR)，则z2xyii(xyi) (xy)(yx)i，故有xy1，则yx1. 答案：1 考向 1 复数的概念 【典例1】(1)(2012江西高考)若复数z=1+i(i为虚数单位), 是z的共轭复数，则 的虚部为( ) (A)0 (B)-1 (C)1 (D)-2 (2)(2012湖南高考)已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位)， 则|z|=_. (3)(2012江苏高考)设a,bR， (i为虚数单位)， 则a+b的值为_. 【思路点拨】 【规范解答】(1)选A. 因为z=1+i，所以 =1-i， 故虚部为0. (2)由条件得z=(3+i)2=9+6i-1

8、=8+6i, |z|= 答案：10 (3)a+bi= a=5,b=3,a+b=8. 答案：8 【互动探究】本例(3)的条件不变，结论改为“则复数z=a+bi 的共轭复数 =_”.结果如何？ 【解析】由例(3)的解题过程可得z=5+3i， 所以 =5-3i. 答案：5-3i 【拓展提升】解答复数概念题的两个策略 (1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部 与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，确 定出实部、虚部即可 (2)复数zabi(a，bR)的模|z| 实际上就是 指复平面上的点Z到原点O的距离；|z1z2|的几何意义是复 平面上的点Z1,Z2两点间的距离 【变式备

9、选】(1)若复数 (aR，i为虚数单位)是纯 虚数，则实数a的值为( ) (A)-2 (B)4 (C)-6 (D)6 【解析】选C. 复数 是纯虚数, a=-6. (2)已知aR，复数z12ai，z212i，若 为纯虚数， 则复数 的虚部为_. 【解析】 为纯虚数， a1, ,故 的虚部为1. 答案：1 考向 2 复数的几何意义 【典例2】(1)在复平面内，向量 对应的复数是 2i， 向量 对应的复数是13i，则向量 对应的复数是 ( ) (A)12i (B)12i (C)34i (D)34i (2)(2013惠州模拟)设z1=3-4i,z2=-2+3i，则z1+z2在复平面内 对应的点位于(

10、 ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)已知f(x)=x2,i是虚数单位，则在复平面内复数 对应的点在( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【思路点拨】(1)根据复数加法的几何意义求解 (2)求z1+z2，由实部、虚部确定点所在象限. (3)求出复数 再判断对应的点所在的象限. 【规范解答】(1)选D.向量 对应的复数是2i， 则 对应的复数是2i， 对应的复数是(13i)(2i)34i. (2)选D.z1+z2=(3-2)+(-4+3)i=1-i, 对应点为(1，-1)，在第四象限. (3)选A. 故复数对应的点是( )，

11、在第一象限. 【拓展提升】复数几何意义的理解及应用 （1）复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系， 即z=a+bi（a，bR） Z（a，b） （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此 可以把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形 结合的方法，使问题的解决更加直观化. 【变式训练】（1）已知i是虚数单位，则复数z=i+2i2+3i3 所对应的点落在（ ） (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【解析】选C.z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i， 对应的点是(-2,-2)，故选C. (2)已知复数 的对应点在复平面的第二、四象限的 角平

12、分线上，则实数a=_. 【解析】已知复数 =-1-(a+1)i, 由题意知a+1=-1，解得a=-2. 答案：2 考向 3 复数代数形式的四则运算 【典例3】(1)(2012辽宁高考)复数 ( ) (A) (B) (C)1-i (D)1+i (2)(2012安徽高考)复数z满足(z-i)i=2+i，则z=( ) (A)-1-i (B)1-i (C)-1+3i (D)1-2i (3)若z=cos +isin (i为虚数单位)，则使z2=1成立的 值可能是( ) (A) (B) (C) (D) 【思路点拨】(1)将复数进行分母实数化，根据复数代数形式 的四则运算法则计算. (2)将等式化简，根据复

13、数代数形式的四则运算法则进行计算. (3)先求出z2，再根据条件得到关于的三角函数关系式，验证 求解即可. 【规范解答】(1)选A. (2)选B.(z-i)i =2+i z= (3)选D.z2=(cos +isin )2=cos2+isin 2=1, cos2=1,sin 2=0,=k,kZ,经验证知选项D成立. 【拓展提升】 1.复数四则运算的解答策略 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法关 键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最 简形式 2.几个常用结论 在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度. (1)(1i)2=2i; (2)-b+ai=i(

14、a+bi). (3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0, nN*. 【提醒】熟练把握复数的四则运算法则是运算的关键. 【变式训练】(1)(2012天津高考)i是虚数单位，复数 ( ) (A)1-i (B)-1+i (C)1+i (D)-1-i 【解析】选 (2)复数z1i， 为z的共轭复数，则 ( ) (A)2i (B)i (C)i (D)2i 【解析】选B.依题意得 选B. 【创新体验】复数中的新定义问题 【典例】(2013广州模拟)在实数集R中，我们定义的大小 关系“”为全体实数排了一个“序”类似地，我们在复 数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“” 定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1,a2, b1,b2R)，z1z2