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1、1 纯弯曲： 横力弯曲： 4-4纯弯曲时梁横截面上的正应力 一. 纯弯曲： 2 在横截面上，只有法向内力元素dA才能合成弯 矩M，只有切向内力元素dA才能合成剪力FS 3 弯曲变形动画 4 变形几何关系物理关系静力学关系 三个方面: 一.几何变形 (1)aa、bb弯成弧 线，aa缩短，bb伸 长 (2)mm、nn变形后仍 保持为直线，且仍与 变为弧线的aa，bb正 交； (3)部分纵向线段缩短 ，另一部分纵向线段 伸长。 5 1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均
2、处 于单向受拉或受压的状态。 6 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性层 中性轴 中性层 中性层与横截面的交线称为中性轴 7 几何方程 二. 物理关系 一点的正应力与它到中性层的距离成正比。 dx 8 三.静力学方程 横截面对Z轴的静矩 设中性轴为z y z M 9 yz轴为截面的主惯性轴 截面的形心主惯性矩 中性层的曲率公式 10 横截面上的最大正应力 当中性轴是横截面的对称轴时： 正应力 Wz 称为抗弯截面模量 11 1）沿y轴线性分布，同一 坐标y处，正应力相等。中 性轴上正应力
3、为零。 2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。 3）最大正应力发生在距 中性轴最远处。 3.简单截面的抗弯模量 (1)矩形： y 12 (2)圆： (3)圆环 y x D d Z y 0 D 13 二.横力弯曲时的正应力 三.梁弯曲正应力强度条件 上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推 导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪 切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。理 论证明在L/h大于5时该式的精度能满足工程要求。 14 利用上式可以进行三方面的强度计算： 已知外力、截面尺寸、许用应力，校核梁的强度； 已知外力、截面形状、许用应力，设计截
4、面尺寸; 已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷 15 例：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同，但放 置分别如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确 定两者许可载荷之比 P1P2？ 解： 16 例主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载 能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁 的最佳长度a为多少？ 解： 主梁AB: M AB 17 P a C D 副梁CD: 由 得 M 18 例受均布载荷的外伸梁材料许用应力 校核该梁的强度。 解：由弯矩图可见 该梁满足强度条件，安全 19 例图示铸铁梁，许用拉应力t =30MPa，许用压应力 c =60MPa,z=7.6310-6m4，试校核
5、此梁的强度。 C截面 B截面 2.5 4 20 注：强度校核（选截面、荷载） （1）（等截面）只须校核Mmax处 （2）（等截面） (a)对称截面情况只须校核Mmax处使 (b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。 21 例简支梁AB，在截面下边缘贴一应变片，测 得其应变= 610-4，材料的弹性模量 E=200GPa， 求载荷P的大小。 22 解： C点的应力 由C截面的弯矩 得 支座反力 23 例图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm， E=10GPa， 求载荷P的大小。 24 解： 25 我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺 寸比例是 h:b=3:2。
6、试用弯曲正应力强度证明： 从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最 佳比值。（使Wz最大） 解： 由此得 26 图a所示工字钢制 成的梁，其计算简 图可取为如图b所 示的简支梁。钢的 许用弯曲正应力 =152 MPa 。试 选择工字钢的号码 。 例题 27 1. 画M图，并确定Mmax。 弯矩图如图c所示 解: 28 强度条件 要求： 此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故 可以选用56b工字钢。 由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为 2. 求Wz，选择工字钢型号 29 图a所示为槽形截面铸铁梁，横截面尺寸和形心 C的位置，如图b所示。已知横截面对于中性轴z 的 惯性矩Iz=549310
7、4 mm4，b=2 m。铸铁的许用拉应 力t=30 MPa，许用压应力c=90 MPa 。试求梁 的许用荷载F。 例题 30 86 134 C截面B截面 (d) 解: 31 1. 由t,max t 确定F。 F119200N=19.2kN 32 F236893N=36.893kN 2. 由c,max c 确定F。 F=19.2kN，可见梁的强度由拉应力确定。 33 34 一.矩形截面梁的剪应力 35 1 M FS 2 M+dM FS 36 在hb的情况下 37 结论： 38 3.切应力分布规律 b h y z F S y 39 二.工字形截面梁的剪应力 腹板 翼缘 在腹板上： 40 1、腹板上
8、的切应力 x y d h z O d b y dA x z y O A* dx 41 腹板与翼缘交界处 中性轴处 z y O max min max 42 2、翼缘上的切应力 a、因为翼缘的上、下表面无 切应力，所以翼缘上、下边缘 处平行于y 轴的切应力为零； b、计算表明，工字形截面梁 的腹板承担的剪力 (1) 平行于y 轴的切应力 可见翼缘上平行于y 轴的切应力很小，工程上一 般不考虑。 x y d h z O d b y 43 (2) 垂直于y 轴的切应力 d 1 1 x y d h z O d b 44 即翼缘上垂直于y轴的切应 力随按线性规律变化。 且通过类似的推导可以得知，薄壁工字
9、刚梁上 、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了“切应 力流”。 z y O max max min 1max 45 三、薄壁环形截面梁 薄壁环形截面梁弯曲切 应力的分布特征： (1) d r0沿壁厚切应 力的大小不变； (2) 内、外壁上无切应力 切应力的方向与圆周 相切； (3) y轴是对称轴切应 力分布与 y轴对称；与 y 轴相交的各点处切应力 为零。 最大切应力max 仍发生 在中性轴z上。 z y O max d r0 max 46 z y O d r0 y z 2r0 /p O C 薄壁环形截面梁最大切应力的计算 47 四、圆截面梁 切应力的分布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周
10、相切；切应力分布与 y轴对称 ；与 y轴相交各点处的切应力 其方向与y轴一致。 关于其切应力分布的假设： 1、离中性轴为任意距离y的水 平直线段上各点处的切应力汇 交于一点 ； 2、这些切应力沿 y方向的分量 y沿宽度相等。 z y O max kk O d 48 最大切应力max 在中性轴z处 z y O tmax kk O d y z O C 2d /3p 49 、梁的切应力强度条件 一般max发生在FS ,max所在截面的中性轴处，该位置 =0。不计挤压，则max所在点处于纯剪切应力状态 。 梁的切应力强度条件为 材料在横力弯曲时的许用切应力 对等直梁，有 E max F max E m
11、 m l/2 q G H C D F l ql2/8 ql/2 ql/2 50 梁上max所在点处于 单轴应力状态，其正 应力强度条件为 梁上任意点G 和H 平面应力状态， 若这种应力状态的点需校核强度时不 能分别按正应力和切应力进行，而必 须考虑两者的共同作用（强度理论） 。 C max D max E m m l/2 q G H C D F l ql2/8 ql/2 G H 51 横力弯曲梁的强度条件： 强度 足够 确定截面尺寸 验 证 设计截面时 E m m l/2 q G H C D F l ql2/8 ql/2 52 例圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力 =160MPa，=1
12、00MPa，试求最小直径dmin 53 解： 由正应力强度条件： 由剪应力强度条件： -40kN 40kN 54 例 跨度为6m的简支钢梁，是由32a号工字钢在其中 间区段焊上两块 10010 3000mm的钢板制成。材料 均为Q235钢，其 =170MPa， =100MPa。试校核 该梁的强度。 解 1、计算反力得 F1 F2 50kN 50kN 50kN C A B FB 1.5 m1.5 m FA 1.5 m 1.5 m z y 9.5 100 1032010 55 FS(kN) x M(kNmm) x 75 25 25 75 112.5 150 112.5 F1 F2 50kN 50k
13、N 50kN C A B FB 1.5 m1.5 m FA 1.5 m 1.5 m z y 9.5 100 1032010 56 最大弯矩为 F1 F2 50kN 40 kN 60kN C A B FB 1.5 m1.5 m FA 1.5 m 1.5 m z y 9.5 100 1032010 E 57 C截面弯矩为 FS(kN) x M(kNmm) x 75 25 25 75 112.5 150 112.5 F1 F2 50kN 50kN 50kN C A B FB 1.5 m1.5 m FA 1.5 m 1.5 m z y 9.5 100 1032010 满足强度条件 剪应力强度条件 58
14、 例 跨度 l=4m 的箱形截面简支梁，沿全长受均布荷载 q作用，该梁是用四块木板胶合而成如图所示。已知材 料为红松，许用正应力=10MPa,许用剪应力 =1MPa, 胶合缝的许用剪应力=0.5MPa。试求该 梁的容许荷载集度q之值。 y z 2010010020 180 240 4545 B l A q ql 2 FS ql2 8 l/2 M 59 解：1、最大弯矩、最大剪力 2、由正应力确定许可载荷 y z 2010010020 180 240 4545 60 y z 2010010020 180 240 4545 3、校核切应力强度条件 61 例两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷
15、载如图所示。 若材料许用应力为，其许可载荷F为多少？如将两个梁用一根 螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许用剪应力为， 求螺栓的最小直径？ F 解：叠梁承载时，每 梁都有自己的中性层 1.梁的最大正应力： 其中： FS F -FL M b L 62 2.当两梁用螺栓联为一 体时，中性轴只有一个 ： b F 由正应力强度条件： 可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。 3.求螺栓最小直径： 螺栓主要是受剪 z z 设梁达到了许用应力F 63 中性轴处： 全梁中性层上的剪力： 由螺栓剪切强度条件： 可得： 讨论：Fs与何力平衡？ F S 64 4-6 提高梁强度的主要措施 65 控制梁弯曲强度的主要因素是正应力 设计梁的原则应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。 一. 合理的布置支座位置和合理加载 1.合理布置支座位置 A C B 66 ACB 2.合理布置载荷 M 67 二.合理截面 合理的截面形状
