模块四测量分析正弦交流稳态电路汇编

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1、电路基础分析 主编 何碧贵 中国水利水电出版社 模块四 模块四 测量分析正弦交流稳态电路 v教学要求 1、理解正弦稳态电路的基本内容。 2、掌握正弦量的相量表示方法。 3、掌握电阻、电容、电感元件的伏安相 量表示方法。 4、理解瞬时功率、有功功率、无功功率 及视在功率的不同及联系。 5、应用相量法分析电路。 6、了解非正弦周期信号的表示、分解等 基本内容。 任务一 分析测量正弦交流信号 4.1.1测量正弦交流电的三要素 依据正弦量的概念，设某支路中正弦电流i在选定参考 方向下的瞬时值表达式为 （4.1-1） 式（4.1-1）中的Im、i分别称为振幅、角频率和初相 ，即为正弦量的三要素。 1.振

2、幅、有效值与瞬时值 正弦量在一个周期内的最大值称为振幅。式（4.1-1）中 Im 是电流i在一个周期内所达到的最大值，因此，Im称为电 流 i的振幅。 同样，称 中的Um为电压u的振 幅。 交流电流或电压的瞬时值是随时间而变化的 。 在电工技术中，往往不需要知道它们每一瞬间的大小（即 瞬时值），此时就需要为它们规定一个能表征其大小的特 定值。因为正弦波在一个周期内的平均值为零，作为这一 特定值是不合适的；用它们的最大值也不合适，因为最大 值只能表明某一瞬时的大小；为此提出了有效值的概念： 一个周期量和一个直流量，分别作用于同一个电阻时，如 果经过一个周期（或者其任意整数倍）的时间产生了相同 的

3、能量，则这个直流量的值即为这个周期量的有效值。 正弦波的有效值等于其振幅的0.707倍。 即 （4.1-5） （4.1-4） 2.频率与周期 正弦量变化一次所需的时间（秒）称为周期T。每秒内变 化的次数称为频率f，它的单位是赫兹（Hz），简称赫。 频率是周期的倒数，即 在我国和大多数国家都采用50 Hz作为电力标准频率，习 惯上称为工频。 角频率是指交流电在1秒钟内变化的电角度。若交流电1 秒钟内变化了f次，则可得角频率为 （4.1-6 ） （4.1-6） 3初相与相位差 正弦交流电表达式 中称为相位。正弦量在t = 0时 的相位称为正弦电的初相，用i表示。即 初相的正负与大小与计时起点的选择

4、有关。通常在的 主值范围内取值。 两正弦量间的相位之差称为相位差，即与的相位差表示为 推出两个同频率正弦量的相位差在任何时刻都是常数，即 为它们的初相之差。规定的取值范围是。 如图4.1-3所示为电压u和电流i相位关系图。 图4.1-3 正弦交流电压、电流的初相 1、如果，如图4.1-4（a）所示，称i超前u 角度 ，简称i超前u。从波形图上看i比u先到达正最 大值，即u滞后i 角度。 2、如果，如图4.1-4（b)所示，称u与i同相位， 简称同相。其特点是：两正弦量同时达到正最 大值，或同时过零点。 3、如果，如图4.1-4（c)所示，称u与i正交。其 特点是：当一正弦量的值达到最大时，另一

5、正 弦量的值刚好是零。 4、如果，如图4.1-4（d)所示，称u与i反相。其 特点是：当一正弦量为正最大值时，另一正弦 量刚好是负最大值。 (a) (b) (a) (b) 图4.1-4 正弦交流电的相位差 例4.1-1已知某正弦交流电压为，求该电压 的最大值、频率、角频率和周期各为多 少？ 例4.1-2一个正弦电流的初相角为600 ， 在 T/ 4时电流的值为5 A， 试求该电流的有 效值。 例4.1-3求两个正弦电流i1(t) =14.1sin(t 1200 ) A，i2(t) =7.05cos(t300 ) A的相 位差。 为了摆脱正弦函数运算的繁琐和微分方程求解的困难，用 复数表示正弦量

6、，从而将求解电路的微积分方程问题转化 为求解相量的代数方程问题，简化了正弦稳态电路的分析 和计算，这种方法就称为相量法。 如果设正弦电流为 4.1.2 正弦量的相量表示 则有其有效值和最大值相量形式为： 则有效值相量与最大值相量的关系为 （4.1-13） （4.1-14） （4.1-15） 注意： 正弦量和相量之间具有很简单的一一对应的关 系。相量只是表征或代表正弦波，并不等于正 弦波。 同理，我们可以知道电压的相量形式 电压振幅相量，记为 有效值相量记为 相量可以在复平面上用矢量表示，这种表示相量的图， 称为相量图把相量表示在平面上就可得出相量图，如图 4.1-5所示。为了表示方便，可以省掉

7、实轴和虚轴，如图 4.1-6所示。 图4.1-5 复平面上的相量表示 图4.1-6 相量图 任务二 分析KVL、KCL的相量形式和基本元件VCR的 相量形式 1.基尔霍夫电压定律的相量形式 由前面学过的知识已知，时域内的KVL为 正弦交流电路中，各段电压是与电源电压同频率的正弦量 。 同频率三角函数式的运算可以用对应的相量运算替代，把 这 些同频率的正弦量用相量表示，有 （4.2-1） 其中为第i条支路的电压相量。 4.2.1分析基尔霍夫定律的相量形式 例如图4.2-1，回路的电压方程为： 其KVL相量表达式为： (a) (b) (c) 图4.2-1 相量形式KVL 在正弦交流电路中，一个回路

8、的各支路电压的相量组成一 个闭合多边形。 2.基尔霍夫电流定律的相量形式 时域内的KCL为 正弦交流电路中，各电流同样是与电源电压同频率的正弦 量。对各节点，同频率三角函数式的运算同样可以用对应 的相量运算替代，把这些同频率的正弦量用相量表示，有 （4.2-2） 其中为第k条支路的电流相量。 由相量形式的KCL可知，正弦交流电路中连接在一个节点 的各支路电流的相量组成一个闭合多边形。 如图4.2-2，节点0的KCL相量表达式为 ： (a) (b) (c) 图4.2-2 相量形式KCL 因此，在正弦稳态电路中，基尔霍夫定律可直接用电压相量 和电流相量写出。也可直接用电压振幅相量和电流振幅相量 写

9、出。 在正弦稳态电路中，电阻、电容、电感两端的电压和流过 元件的电流都是同频率的正弦波。假设元件两端电压和流 过的电流表示为 4.2.2 分析基本元件的电压与电流的相量形式 相量形式分别为： 1.电阻元件 如图4.2-3（a）所示。由欧姆定律 可知，当电阻上的电流随时间呈正弦变化， 即如果 相量形式为 ： （4.2-5 ） 即 由（4.2-5）可得： （1）电阻元件电压电流大小关系为： U = RI （4.2-6） 或 I = GU (G=1/R) （4.2-7） （2）电阻元件电压电流的相位关系为： （4.2-8） 即电压电流同相。电阻电压电流的波形关系如图4.2-3（b ）所示。电压电流的

10、相量图4.2-3（a）所示。 (a) (b) (c) 图4.2-3 电阻元件的相量形式 2.电容元件 如图4.2-4（a）所示。在电压、电流关联参考方向下，电 容元件两端电压为 （4.2-9） 把式（4.2-3）、（4.2-4）带入（4.2-9）得 用相量表示电压与电流的关系为： （4 .2-10） （a） (b) (c) 图4.2-3 电阻元件的相量形式 电容具有对交流电流起阻碍作用的物理性质，称为容抗， 用 表示，即 (4.2-13) 容抗的倒数称为容纳，用表示，即 (4.2-14) 它的单位是西门子（S）。显然容纳表示电容对正弦电流的导通能力。 电容具有“通交隔直，通高阻低”作用。 3.

11、电感元件 如图4.2-5（a）所示。在电压、电流关联参考方向下，电 感元件两端电压为 (4.2-14) 把式（4.2-3）、（4.2-4）带入（4.2-14）得 用相量表示电压与电流的关系为 （4.2-16） (a) (b) (c) 图4.2-.5 电感元件的相量形式 电压与电流在数值上满足关系式 U=LI （4.2-17） 相位关系为 (4.2-18) 比较电压和电流的关系式可见：电感两端电压u和电流i也是 同频率的正弦量，电压的相位超前电流。电感元件电压与电 流的波形如图4.2-5（b）所示。电感电路相量图如图4.2-5(c) 所示。 与电容类似， 反映电感对正弦电流的阻碍作用，称 为电感

12、电抗，简称感抗，用 表示 (4.2-19) 电感元件具有“通直隔交，通低阻高”的作用。在实际工作中 常常利用电感元件的这一特性，例如在无线电设备中的高频 扼流圈和在滤波电路中的电感线圈。 感抗的倒数称为感纳，用 表示，即 (4.2-20) 它的单位也是西门子（S）,显然，感纳表示电感对正弦电流 的导通能力。 例4.2-1把电容量为40F的电容器接到交流电源上，通过电 容器的电流 试求电容器两端的电压u瞬时值表达式。 例4.2-2 的电感元件两端电压为 求流过电感的电流 。 任务三 正弦电路的相量分析 在关联参考方向时，电阻、电容、电感元件的伏安相量关系 为： 把元件在正弦稳态时电压相量与电流相

13、量之比定义为该元件的 阻抗，用Z表示，即 （4.3-1） 则三种基本元件的相量关系式可归纳为 （4.3-2） 式（4.3-2）为正弦稳态时电压相量与电流相量普遍形式，称 为欧姆定律的相量形式。电压相量和电流相量的参考方向一 致时，元件的阻抗也可定义为电压振幅相量与电流振幅相量 之比。则电阻、电容、电感的阻抗则分别为 （4.3-3） （4.3-4） （4.3-5） 若把阻抗的倒数定义为导纳，记为Y，即 （4.3-6） 导纳的单位为西门子S 。电阻、电容和电感的导纳分别为 （4.3-8） （4.3-9） （4.3-10） 这样，基本元件的相量关系式还可以归结为另一形式，即 （4.3-11） 式（4.3-11）也常称为欧姆定律的相量形式 4. 3.1 正弦信号的向量法分析 运用相量并引用阻抗和导纳，正弦稳态电路的计算可以仿照 电阻电路的处理方法来进行。这样，在分析正弦稳态电路时 ，就可以省略了列微分方程的步骤，同时还能利用电阻电路 的分析方法进行分析。阻抗及导纳概念的引入对正弦稳态分 析理论的发展起着重要的作用。 运用相量分析正弦稳态电路时，可分为三个步