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1、材料力学 第六章 弯曲变形 6-1 工程中的弯曲变形问题 6-2 挠曲线的微分方程 6-3 用积分法求弯曲变形 6-4 用叠加法求弯曲变形 6-5 简单超静定梁 6-6 提高弯曲刚度的一些措施 材料力学 第六章 弯曲变形 6-1 工程中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强 度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度 ，以保证结构或机器正常工作。 材料力学 第六章 弯曲变形 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的 加工精度，甚至会出现废品。 材料力学 第六章 弯曲变形 桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡 现象。 材料力学 第六章
2、弯曲变形 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变 形，以满足特定的工作需要。例如，车辆上的板弹簧，要求有 足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。 材料力学 第六章 弯曲变形 6-2 挠曲线的微分方程 1.梁的挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。 B1 F x q q w y x 2.梁位移的度量： 挠度：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正 转角：梁横截面绕中性轴转动的角度，逆时针转动为正 挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数 w=f(x) 转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系 3.计算位移的目的：刚度校核、解超静定梁、适当施工措施 材料力学 第六章 弯曲变形
3、4.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时，得到： 忽略剪力对变形的影响 材料力学 第六章 弯曲变形 由数学知识可知： 略去高阶小量，得 所以 材料力学 第六章 弯曲变形 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶 导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方程为： 由上式进行积分，再利用边界条件（boundary condition） 和连续条件(continuity condition) 确定积分常数。就可以求出梁 横截面的转角和挠度。 材料力学 第六章 弯曲变形 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯 曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移 。 积分常数由挠曲线变
4、形的几何相容条件（边界条件、连 续条件）确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。 5.讨论： 材料力学 第六章 弯曲变形 6-3 用积分法求弯曲变形 挠曲线的近似微分方程为： 积分一次得转角方程为： 再积分一次得挠度方程为： 材料力学 第六章 弯曲变形 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。 位移边界条件光滑连续条件 弹簧变形 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-3-1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大 挠度，梁的EI已知。 解1）由梁的整体平衡分析可得： 2）写出x截面的弯矩方程 3）列挠曲线近似微分方程并积分 积分一次 再积分一次 A B F
5、材料力学 第六章 弯曲变形 4）由位移边界条件确定积分常数 代入求解 5）确定转角方程和挠度方程 6）确定最大转角和最大挠度 A B F 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-3-2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角 和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。 解 1）由梁整体平衡分析得： 2）弯矩方程 AC 段： CB 段： 材料力学 第六章 弯曲变形 3）列挠曲线近似微分方程并积分 AC 段： CB 段： 材料力学 第六章 弯曲变形 4）由边界条件确定积分常数 代入求解，得 位移边界条件 光滑连续条件 材料力学 第六章 弯曲变形 5）确定转角方程和挠度方程 AC 段： CB 段： 材料
6、力学 第六章 弯曲变形 6）确定最大转角和最大挠度 令 得， 令 得， 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-3-2 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均 布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和 wmax。 解： 材料力学 第六章 弯曲变形 梁的转角方程和挠曲线 方程分别为： 最大转角和最大挠度分别为： AB 由边界条件： 得： 材料力学 第六章 弯曲变形 6-4 用叠加法求弯曲变形 设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为 M(x)，转角为，挠度为y，则有： 若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为Mi(x) ，转角为i，挠度为yi，则有： 由弯矩的叠加原理知： 所以
7、， 材料力学 第六章 弯曲变形 故 由于梁的边界条件不变，因此 重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等 于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。 材料力学 第六章 弯曲变形 叠加法前提叠加法前提 力与位移之间的线性关系 小变形 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-4-1 按叠加原理求A点转 角和C点挠度。 q q P P = + A A A B B B C aa 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-4-2 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知 。求C 截面的挠度yC ；B截面的转角B。 材料力学 第六章 弯曲变形 yC1 yC2 yC3 材料
8、力学 第六章 弯曲变形 例6-4-3 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已 知。求C截面的挠度yC和转角C。 材料力学 第六章 弯曲变形 材料力学 第六章 弯曲变形 二、结构形式叠加（逐段刚化法）： 例6-4-4 试按叠加原理求图示等直外伸梁截面B的 转角B，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。 材料力学 第六章 弯曲变形 解： = 材料力学 第六章 弯曲变形 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-4-4 刚架ABC承载如图, 各杆的抗弯刚度为EI, 求刚架自由端C的水平位移和垂直位移. 水平位移 垂直位移 材料力学 第六章 弯曲变形 6-5 简单超静定梁 例6-5-1 试求图示系统的求
9、 全部未知力。 解：建立静定基 确定超静定次数，用反力代替多 余约束所得到的结构静定基 。 = q0 L A B L q0 MA B A q0 L RB A B x f 材料力学 第六章 弯曲变形 几何方程变形协调方程 + q0 L RB A B = RB A B q0 A B 物理方程变形与力的关系 补充方程 求解其它问题（反力、应力、 变形等） 材料力学 第六章 弯曲变形 几何方程 变形协调方程： 解：建立静定基 = 例6-5-1结构如图，求B点反力。 LBC q0 L RB A B C q0 L RB A B = RB A B + q0 A B x f 材料力学 第六章 弯曲变形 = L
10、BC q0 L RB A B C RB A B + q0 A B 物理方程变形与力的关系 补充方程 求解其它问题（反力、应力、变 形等） x f 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-5-3 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。 钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的 横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为 已知。 材料力学 第六章 弯曲变形 材料力学 第六章 弯曲变形 需要注意，因lDA亦即图b中的 是向下的，故上式中 wAF为负的。 材料力学 第六章 弯曲变形 于是根据位移(变形 )相容条件得补充方 程： 由此求得 材料力学 第六章 弯曲变形 6-6 提高弯曲刚度的一些措施
11、一、改善结构形式，减少弯矩数值 改 变 支 座 形 式 材料力学 第六章 弯曲变形 改 变 载 荷 类 型 材料力学 第六章 弯曲变形 二、选择合理的截面形状 材料力学 第六章 弯曲变形 三 、选用高强度材料，提高许用应力值 同类材料，“E”值相差不多，“b” 相差较大，故换用同类材料只能提高强度， 不能提高刚度和稳定性。 不同类材料，E和G都相差很多（钢 E=200GPa , 铜E=100GPa），故可选用不 同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。 但是，改换材料，其原料费用也会随之发生 很大的改变！ 材料力学 第六章 弯曲变形 Any question ?Any question ? 材料力学 第六章 弯曲变形 祝大家学习愉快!
