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1、材料力学 第六章 弯曲变形 6-1 工程中的弯曲变形问题 6-2 挠曲线的微分方程 6-3 用积分法求弯曲变形 6-4 用叠加法求弯曲变形 6-5 简单超静定梁 6-6 提高弯曲刚度的一些措施 材料力学 第六章 弯曲变形 6-1 工程中的弯曲变形问题 在工程实践中,对某些受弯构件,除要求具有足够的强 度外,还要求变形不能过大,即要求构件有足够的刚度 ,以保证结构或机器正常工作。 材料力学 第六章 弯曲变形 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大,就会影响零件的 加工精度,甚至会出现废品。 材料力学 第六章 弯曲变形 桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难,出现爬坡 现象。 材料力学 第六章
2、弯曲变形 但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要。例如,车辆上的板弹簧,要求有 足够大的变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用。 材料力学 第六章 弯曲变形 6-2 挠曲线的微分方程 1.梁的挠曲线:梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。 B1 F x q q w y x 2.梁位移的度量: 挠度:梁横截面形心的竖向位移w,向上的挠度为正 转角:梁横截面绕中性轴转动的角度,逆时针转动为正 挠曲线方程:挠度作为轴线坐标的函数 w=f(x) 转角方程(小变形下):转角与挠度的关系 3.计算位移的目的:刚度校核、解超静定梁、适当施工措施 材料力学 第六章 弯曲变形
3、4.挠曲线的近似微分方程 推导弯曲正应力时,得到: 忽略剪力对变形的影响 材料力学 第六章 弯曲变形 由数学知识可知: 略去高阶小量,得 所以 材料力学 第六章 弯曲变形 由弯矩的正负号规定可得,弯矩的符号与挠曲线的二阶 导数符号一致,所以挠曲线的近似微分方程为: 由上式进行积分,再利用边界条件(boundary condition) 和连续条件(continuity condition) 确定积分常数。就可以求出梁 横截面的转角和挠度。 材料力学 第六章 弯曲变形 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯 曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移 。 积分常数由挠曲线变
4、形的几何相容条件(边界条件、连 续条件)确定。 优点:使用范围广,直接求出较精确; 缺点:计算较繁。 5.讨论: 材料力学 第六章 弯曲变形 6-3 用积分法求弯曲变形 挠曲线的近似微分方程为: 积分一次得转角方程为: 再积分一次得挠度方程为: 材料力学 第六章 弯曲变形 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。 位移边界条件光滑连续条件 弹簧变形 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-3-1 求梁的转角方程和挠度方程,并求最大转角和最大 挠度,梁的EI已知。 解1)由梁的整体平衡分析可得: 2)写出x截面的弯矩方程 3)列挠曲线近似微分方程并积分 积分一次 再积分一次 A B F
5、材料力学 第六章 弯曲变形 4)由位移边界条件确定积分常数 代入求解 5)确定转角方程和挠度方程 6)确定最大转角和最大挠度 A B F 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-3-2 求梁的转角方程和挠度方程,并求最大转角 和最大挠度,梁的EI已知,l=a+b,ab。 解 1)由梁整体平衡分析得: 2)弯矩方程 AC 段: CB 段: 材料力学 第六章 弯曲变形 3)列挠曲线近似微分方程并积分 AC 段: CB 段: 材料力学 第六章 弯曲变形 4)由边界条件确定积分常数 代入求解,得 位移边界条件 光滑连续条件 材料力学 第六章 弯曲变形 5)确定转角方程和挠度方程 AC 段: CB 段: 材料
6、力学 第六章 弯曲变形 6)确定最大转角和最大挠度 令 得, 令 得, 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-3-2 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均 布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程,并确定max和 wmax。 解: 材料力学 第六章 弯曲变形 梁的转角方程和挠曲线 方程分别为: 最大转角和最大挠度分别为: AB 由边界条件: 得: 材料力学 第六章 弯曲变形 6-4 用叠加法求弯曲变形 设梁上有n 个载荷同时作用,任意截面上的弯矩为 M(x),转角为,挠度为y,则有: 若梁上只有第i个载荷单独作用,截面上弯矩为Mi(x) ,转角为i,挠度为yi,则有: 由弯矩的叠加原理知: 所以
7、, 材料力学 第六章 弯曲变形 故 由于梁的边界条件不变,因此 重要结论: 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角,等 于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。 材料力学 第六章 弯曲变形 叠加法前提叠加法前提 力与位移之间的线性关系 小变形 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-4-1 按叠加原理求A点转 角和C点挠度。 q q P P = + A A A B B B C aa 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-4-2 已知简支梁受力如图示,q、l、EI均为已知 。求C 截面的挠度yC ;B截面的转角B。 材料力学 第六章 弯曲变形 yC1 yC2 yC3 材料
8、力学 第六章 弯曲变形 例6-4-3 已知:悬臂梁受力如图示,q、l、EI均为已 知。求C截面的挠度yC和转角C。 材料力学 第六章 弯曲变形 材料力学 第六章 弯曲变形 二、结构形式叠加(逐段刚化法): 例6-4-4 试按叠加原理求图示等直外伸梁截面B的 转角B,以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。 材料力学 第六章 弯曲变形 解: = 材料力学 第六章 弯曲变形 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-4-4 刚架ABC承载如图, 各杆的抗弯刚度为EI, 求刚架自由端C的水平位移和垂直位移. 水平位移 垂直位移 材料力学 第六章 弯曲变形 6-5 简单超静定梁 例6-5-1 试求图示系统的求
9、 全部未知力。 解:建立静定基 确定超静定次数,用反力代替多 余约束所得到的结构静定基 。 = q0 L A B L q0 MA B A q0 L RB A B x f 材料力学 第六章 弯曲变形 几何方程变形协调方程 + q0 L RB A B = RB A B q0 A B 物理方程变形与力的关系 补充方程 求解其它问题(反力、应力、 变形等) 材料力学 第六章 弯曲变形 几何方程 变形协调方程: 解:建立静定基 = 例6-5-1结构如图,求B点反力。 LBC q0 L RB A B C q0 L RB A B = RB A B + q0 A B x f 材料力学 第六章 弯曲变形 = L
10、BC q0 L RB A B C RB A B + q0 A B 物理方程变形与力的关系 补充方程 求解其它问题(反力、应力、变 形等) x f 材料力学 第六章 弯曲变形 例6-5-3 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。 钢梁和钢杆的材料相同,弹性模量E已知;钢杆的 横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为 已知。 材料力学 第六章 弯曲变形 材料力学 第六章 弯曲变形 需要注意,因lDA亦即图b中的 是向下的,故上式中 wAF为负的。 材料力学 第六章 弯曲变形 于是根据位移(变形 )相容条件得补充方 程: 由此求得 材料力学 第六章 弯曲变形 6-6 提高弯曲刚度的一些措施
11、一、改善结构形式,减少弯矩数值 改 变 支 座 形 式 材料力学 第六章 弯曲变形 改 变 载 荷 类 型 材料力学 第六章 弯曲变形 二、选择合理的截面形状 材料力学 第六章 弯曲变形 三 、选用高强度材料,提高许用应力值 同类材料,“E”值相差不多,“b” 相差较大,故换用同类材料只能提高强度, 不能提高刚度和稳定性。 不同类材料,E和G都相差很多(钢 E=200GPa , 铜E=100GPa),故可选用不 同的材料以达到提高刚度和稳定性的目的。 但是,改换材料,其原料费用也会随之发生 很大的改变! 材料力学 第六章 弯曲变形 Any question ?Any question ? 材料力学 第六章 弯曲变形 祝大家学习愉快!