代数学导论

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1、- 1 - 第一第一讲讲 方程与方程与Galois理论理论 第第 1 1 节节 方程的源方程的源 方程与解方程的历史可以追述到遥远的古代,但在这里我们并不试图勾勒解方程的完整 发展轮廓,只是通过略述 2、 3、 4 次方程的解法来引出 5 次方程问题,以及由此产生的具有重 大历史意义的、美妙的Galois理论. 无庸质疑古希腊的数学家们对数学的发展做出了巨大贡献,但他们中的绝大多数并不是 把算术和代数问题作为独立的问题来处理.但是,我们可以肯定的是Heron（公元 100 年前 后）和Diophantus,则确实把算术和代数问题本身作为问题来处理的,即他们处理这些问题 时不依靠几何,也不用几何

2、作为逻辑的依据. Heron用纯粹算术的方法提出和解决了代数问题,但是他没有采用特别的符号,而是采 用文字陈述的方式.例如,他处理了这样一个问题： 给定一个正 方形,知道它的面积与周长的和是896,求其边长？这个问题用 我们今天的记法就是求满足方程 2 4896xx+=的x. Heron的具体解法是配方法加上开方法,即 2 4896xx+= 2 448964xx+=+ 22 (2)30x+= (2)30x+= ,即2832xx= 或. 在Heron的著作里有许多这类问题.当然,这是古埃及人和巴比伦人提出和解决问题的 方式.无疑Heron从古埃及人和巴比伦人的书里抄取了不少材料.对于Heron来

3、说,代数是 算术的推广.Heron也把不少希腊的几何代数法翻译成算术和代数步骤.Heron在这方面的 工作是把埃及人和巴比伦人的数学作了一个有意义的改进. 从算术以一门独立学科重新出现这一角度来讲,Nichomachus（约公元 1 世纪）的著 作是更为重要的.他撰写了包含两篇的算术入门一书.这是一本篇幅非常可观的、完全脱 离几何讲法的算术书.从历史意义上说,它对于算术的重要性可以和Euclid的几何原本 对于几何的重要性相比.这本书不仅为后世学者自学、 参考和转抄,而且是同时代学者著述的 典范,它反映了当时人们的兴趣所在. Nichomachus的算术入门一书之所以有价值,是因为他对整数、分

4、数的算术,作了 有系统、有条理、清楚而内容丰富的叙述,而且完全不依赖于几何.从思想内容上讲,它并无 独到之处,但它是一本很有用的汇编.Nichomachus的算术入门在此后一千年间成为一 本标准课本.自Nichomachus以后,算术而不是几何成为风行于亚历山大里亚时期的学问. 人们经常拿那些导出的代数题作为消遣.希腊人的代数著作是用纯粹的文字语言写成的,没 有采用一套符号. 古希腊的代数到Diophantus的出现达到最高点.关于此人的生平我们几乎一无所知. - 2 - Diophantus的著作远远超出了他同时代的人,但是非常可惜,他出来的太晚了,因而不能对 他那个时代起太大的影响,因为一

5、股吞噬文明的毁灭性浪潮即将来临,这就是对数学起唯一 作用的罗马人来了. Diophantus写过几本现在已经全部失传的书.他的一部巨著算术,据他自己说共有 13 篇,但是现尚存 6 篇.就是这还是得自 13 世纪希腊手稿和其后的一些译本.算术是个 别问题的汇集,作者说这是为了帮助学生学习这门课而写的一些练习题.Diophantus作出 的一个重大进步是在代数中采用了一套符号.出现成套的符号是了不起的事情！ 特别地,他使 用了 3 次以上的高次乘幂就更是一件了不起的重大历史事件！ 古希腊数学家不能也不愿意考 虑含 3 个以上因子的乘积,因为这种乘积没有几何意义.但是在纯算术中,这种乘积却确有其

6、意义,而这正是Diophantus所采用的观点.Diophantus的解题步骤就象我们今天写散文一 样,是一个字接一个字写的,但他的运算是纯算术性的. Diophantus在把各类方程转化成他能解的形式方面很有才能,我们不知道他是怎么得 出他的方法的.但是,他在纯代数学方面的工作和过去是显然不同的.Diophantus解题所用 方法之多令人目不暇接,他显然是个巧妙而聪明的解题高手.但是,他显得不够深刻,没能看 出他所使用方法的实质从而加以概括.不管怎样,整个说来Diophantus的工作在数学上是 永垂不朽的！ 代数上的进步是得益于引入了较好的符号体系,这对数学发展的作用比技术上的进步远 为重

7、要.一种合适的符号要比一种不良的符号更能反映真理,而合适的符号,它本身就带着自 己的生命活力,而且还能创造出新生命来.事实上,在 16 世纪以前,自觉运用一套符号以使代 数的思路和书写更加紧凑、更加有效的人就只有Diophantus. 代数学性质上最重大的变革是由Vieta（1540-1603）在符 号体系方面引入的.Vieta受的专业训练是律师,他曾在 Brittany议会工作过,以后当Henry亲王的枢密顾问.总的来说, 他是把数学当作一种业余爱好,并自己出资印刷和发行他的著作, 这是使他不致默默无闻的一种保证.Vieta在他政治生涯的间歇 期 间 研 读 了Cardan、Tartagli

8、a、Bombelli、Stevin和 Diophantus的著作.他从这些名家,特别是从Diophantus那里, 获得了使用字母的想法.以前虽然也有一些人曾经用字母来代替特定的数,但他们的这种用 法不是经常的,而是随着兴致所至偶尔用之.Vieta是第一个有意识地、 系统地使用字母的人, 他不仅用字母表示未知量和未知量的乘幂,而且用字母来表示一般的系数. 对Vieta使用的字母作了改进的是Descartes（1596-1650）,他用字母表中前面的字母 表示已知量,用后面的字母表示未知量,这成为我们今天的习惯用法.Leibniz（1646-1716） 的名字在符号史上是必须提到的,虽然他在代数

9、上采用这样重大步骤的时间较晚.Leibniz - 3 - 对各种记法符号进行了长期的研究,试用过一些符号,征求过同时代人的意见,然后选取他认 为最好的符号.他肯定认识到好的符号有可能大大节省思维劳动.只可惜那些并不认识符号 重要性的人漫不经心而随意引入的符号太多了,并且已经通用. 第第 2 2 节节 3 3 次与次与 4 4 次方程次方程 用配方法解 2 次方程是从巴比伦时代就已经知道的.一直到 1500 年,这方面的唯一进展 是印度人作出的,他们把 2 320xx+=和 2 320xx=那样的 2 次方程作为一类进行了 处理.而他们的后人乃至文艺复兴时期的绝大多数后继者却不愿意将这两者视为是

10、一样的. 直到Cardan的 大衍术 出现,文艺复兴时期的代数一直没有什么有意义的进展.Cardan的 确曾解出一个有复数根的 2 次方程,但他认为这些解是没有用的,因此没有加以考虑.至于 3 次方程,除了个别数学家以外,对它还是束手无策.直到1494年,Pacioli还宣称一般的3次方 程是不可解的. Cardan（1501-1576）出生在意大利的帕维亚.在文艺复兴 时期是一位举足轻重的数学家,也是一位典型的人文主义者.他受 聘在意大利的多所大学担任数学教授.除了数学他还专注于收集、 研究和评论古希腊和古罗马的成果.另外,他还是全欧洲有名的医 生. 在 40 岁之前,Cardan穷得一无所

11、有,个性孤僻、自负、缺乏 幽默感、不能自我反省,在言谈中表现得冷漠无情.他为了逃避现 实,在25年的时间里,每天玩骰子.1570年,因丢掷耶稣的天宫图, 被视为异教徒被捕入狱.不过,令人称奇的是,主教随即以占星术 士的名义聘用了Cardan. Cardan的著作涵盖了数学、天文学、占星术、物理学、医学以及关于道德方面的语录. 借着辛勤的耕耘,在 1545 年,他编写了百科全书式的著作大衍术. 在 1500 年左右,Bologna的数学教授Ferro（1465-1526）解出了 3 xmxn+=类型的 3 次方程,但他没有发表解法.但是在 1510 年左右,Ferro曾经把他的解法秘密传授给Fi

12、or和 自己的女婿兼继承人Nave. 直到Brescia的Niccolo Fontana（1499-1557）出场之前, 情况没有什么改变.此人在孩童时期被一个法国士兵用马刀砍伤 了脸,变成了口吃,因此大家称他为Tartaglia,意为“口吃者”. 他出身贫寒,自学了拉丁文、 希腊文和数学.他靠在意大利各地讲 学为生.1535 年,Fior向Tartaglia挑战,要他解 30 个 3 次方 程.Tartaglia说自己早就解决了 3 xmxn+=类型的3次方程,在 这次挑战中他的确解出了所有的 30 个 3 次方程. 在Cardan的恳求、并发誓保密的前提下,Tartaglia才将自己的 3

13、 次方程解法写成一首 - 4 - 晦涩难懂的语句诗的形式,告诉了Cardan.1542 年Cardan的学生Ferrari（1522-1565）在 Nave访问他们的时候,肯定地认为Ferro和Tartaglia的 3 次方程解法是一样的.后来 Cardan不顾自己的誓言,把他自己对 3 次方程解法的理解发表在自己的著作重要的艺术 里.不过,他在书中说： “Ferro在 30 年前就发现了这个法则,并把它传授给Fior.是Fior向 Tartaglia的挑战,使Tartaglia有机会重新发现了这一法则.而Tartaglia是在我的恳求之下 才把这个方法告诉了我,但Tartaglia保留了证明

14、.我在获得这种帮助之下找出了它的各种形 式的证明.这是很难的,我把它叙述如下.” Tartaglia抗议Cardan背信弃义,并在 1546年发表了自己的方法.但是无论是在当时还 是在后来,Tartaglia都没能给出关于 3 次方程本身的更多材料.关于是谁先解出了 3 次方程 的争议,使Tartaglia和Ferrari发生了公开冲突,最后以双方的肆意漫骂而告终.但是 Cardan并没有参与其中.Tartaglia自己也不是无可非议的,实际上,Tartaglia出版的一些 著作就有抄袭的迹象. 对Cardan的 3 次方程解法的第一个完整讨论是由Euler（1707-1783）在 1732

15、年作出 的,他强调指出3次方程总有3个解,并给出怎样去求解.在3次方程成功解出之后,几乎立即 就成功地解出了 4 次方程,其解法是由Ferrari给出的,其解法发表在Cardan的重要的艺 术一书中.其后寻求一般多项式方程解法的工作就转向了解 4 次以上的方程.但是,经过近 三百年的努力,解 4 次以上方程的各种尝试都失败了. 虽然,失败了,但这期间的一些成果还是非常值得注意的.如Lagrange对 2、3 和 4 次一 般方程的可解性作了透彻的分析,提出了n次一般方程( )f x预解式的概念.他还证明了两个 关键的定理.即如果规定一个根的置换在有理函数 1 ( ,) n xx上的作用为 ()

16、()() 11 ( ,)(,) nn xxxx =, 则当保持有理函数 1 ( ,) n xx不变的置换也保持一个有理函数 1 ( ,) n xx不变 时, 1 ( ,) n xx一定可以表示成 1 ( ,) n xx和( )f x的系数的有理函数.另外一个结果是 说,如果保持 1 ( ,) n xx不变的根的置换都保持 1 ( ,) n xx不变,而且保持 1 ( ,) n xx 不变的根置换全体作用在 1 ( ,) n xx上产生了r个不同的值 1, , r ,则 1, , r 一定 是同一个r次多项式的根,并且该多项式的系数是 1 ( ,) n xx和( )f x的系数的有理函数. 后来,Ruffini和Abel先后独立地证明了一般 5 次以上方程的根是不能用根式解的.下 面我们先简单介绍一下 2、3 和 4 次方程的具体解法. - 5 - 定理定理 2.12.1（Vieta） 2 次方程 2 0xaxb+=的解为 2 4 2