《概率统计4_2方差及常见分布的期望方差综述》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率统计4_2方差及常见分布的期望方差综述（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、概率统计下页结束返回 4.2 随机变量的方差 1. 方差的概念与计算 3. 方差的性质 2. 常见分布的方差 下页 概率统计下页结束返回 、方差概念的引入 随机变量的数学期望是一个重要的数学特征，反应了随机 变量取值的平均大小，但只知道随机变量的数学期望是不够的. 下页 4.2 随机变量的方差 引例1. 从甲、乙两车床加工的零件中各取件，测得尺寸 如下： 甲： 8， 9， 10， 11， 12； 乙：9.6，9.8，10，10.2，10.4 已知标准尺寸为10(cm), 公差d=0.5cm, 问那一台车床好？ 以X甲 ，X乙分别表示甲乙两车床加工零件的长度，易得 E(X甲) =E(X乙)10.
2、 虽然甲乙车床加工零件的均值相等，但其零件的质量有 显著差异，甲加工的零件只有件合格，乙加工的全部合格. 概率统计下页结束返回下页 引例2有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出. X表示甲击中环数，Y表示乙击中环数，谁的射击水平高？ 因此，从平均环数上看，甲乙两人的射击水平是一样的， 但两人射击水平的稳定性是有差别的. 怎么体现这个差别呢? E(X)=9.2(环) ; E(Y)=9.2(环) . 思路：考察一下“误差”平方的加权平均值情况. 这表明乙的射击水平比较稳定. 甲: 乙: 概率统计下页结束返回下页 引例2有甲、乙两人射击，他们的射击技术用下表给出. X表示甲击中环数，Y表示乙击中
3、环数，谁的射击水平高？ 思路：考察一下“误差”平方的加权平均值情况. 这表明乙的射击水平比较稳定. 甲: 乙: E(X)=9.2(环) ; E(Y)=9.2(环) 一、方差的概念 定义 设X为随机变量，如果EX-E(X)2存在，则称 EX-E(X)2 为X的方差，记作 D(X) . 即 D(X) = EX-E(X)2 . 概率统计下页结束返回 其中 PX=xk=pk k=1,2,3,. + - -=dx. xfXExXD)()()( 2 离散型随机变量 二、方差的计算 下页 一、方差的概念 定义 设X为随机变量，如果EX-E(X)2存在，则称 EX-E(X)2 为X的方差，记作 D(X) .
4、即 D(X) = EX-E(X)2 . 连续型随机变量 概率统计下页结束返回 证明： D(X)= EX E(X)2 = EX2 - 2XE(X)+ E(X)2 = E(X2)- 2E(X)E(X)+ E(X)2 解：因 E(X) = p， 而 E(X 2) = 12p + 02q = p, 于是 D(X) = E(X 2)- E(X)2 = p - p2 = p q. 下页 三、方差的计算公式 = E(X2)- E(X)2 . 例1设随机变量 X (0-1) 分布，其概率分布为 PX=1= p，PX=0=q，0p1，p+q=1，求D(X) . 概率统计下页结束返回 例2设随机变量X具有概率密度
5、 求 D(X) . 所以 解： 下页 概率统计下页结束返回 四、常见分布的方差 0-1分布 概率分布为 X 1 0 P p 1-p E(X) = p. 下页 D(X)= E(X2)-E(X)2 = p-p2 = p(1-p) = pq. 二项分布 设随机变量XB(n,p),其概率分布为 E(X) = np. D(X) = E(X2) - E(X)2 E(X2) = E(X2 -X+X) = EX(X-1)+X = EX(X-1)+E(X) EX(X-1) D(X) = E(X2) - E(X)2 = n(n -1)p2 +np - n2p2 = npq. 从而得 概率统计下页结束返回下页 泊松
6、分布 设随机变量XP(l)，其概率分布为 , k = 0,1,2,3,l0, E(X) = l . D(X) = E(X2) - E(X)2 E(X2) = E(X2 -X+X) = EX(X-1)+X = EX(X-1)+E(X) EX(X-1) D(X) = E(X2) - E(X)2 = l2 +l -l2 =l . 从而得 概率统计下页结束返回下页 均匀分布 设X Ua,b 概率密度为为 从而得 概率统计下页结束返回下页 指数分布 设X E(l) 概率密度为为 从而得 概率统计下页结束返回下页 正态分布 设XN(,2 )概率密度为为 概率统计下页结束返回 推广 若X1,X2,Xn相互独
7、立，则D(X1+X2+Xn) 设 C 为常数，则有 下页 五、方差的性质 性质2 D(CX)= C 2 D(X) 性质3 D(X+C)= D(X) 性质4 设X,Y是两个相互独立的随机变量，则有 D(X+Y)= D(X)+D(Y) 性质1 D(C)= 0 概率统计下页结束返回 证明：(2) D(CX) = E CX - E(CX)2 = C2 EX - E(X)2 = C2 D(X). (3) D(X+C)= E(X+C)- E(X+C)2= EX E(X)2= D(X). EX-E(X) Y-E(Y) = EXY - E(X)Y - E(Y)X + E(X)E(Y) = E(XY)-E(X)
8、E(Y)-E(X)E(Y)+E(X)E(Y) = E(XY)- E(X)E(Y)， 由于 X,Y相互独立，故有 E(XY)= E(X)E(Y) ，从则有 EX-E(X)Y-E(Y)= 0 , (4) D(X+Y) = E(X+Y)-E(X+Y)2= EX-E(X)+Y-E(Y)2 = EX-E(X)2+ EY-E(Y)2+ 2EX-E(X)Y-E(Y) = D(X)+D(Y) + 2EX-E(X)Y-E(Y)，而 于是 D(X+Y)= D(X)+D(Y) 练习：若X，Y相互独立，证明 D(X-Y)= D(X)+D(Y) . 下页 概率统计下页结束返回 D(X)=D(X1+X2+Xn) 令 显然
9、 Xi 均服从(0-1)分布, 即 E(Xi)= p, D(Xi) = pq (i =1,2,n), 且 X1, X2, , Xn相互独立. 于是有 E(X)= E(X1+X2+Xn) = E(X1)+E(X2)+E(Xn)= np. =D(X1)+D(X2)+D(Xn)= npq. 解： X= X1+X2+Xn ，（这是新视角用意所在！） 例3在 n 重贝努里试验中，用 X 表示 n 次试验中事件A 发 生的次数，记P(A)= p，求E(X)，D(X) 下页 本题旨在给出一个思考与解决问题的新视角！ 概率统计下页结束返回 例4. 解： 下页 概率统计下页结束返回 因为 从而 下页 例4. 解
10、： 概率统计下页结束返回 小 结 s 21/l2(b-a)2/12lnpqpqD(X) m1/l(a+b)/2lnppE(X) N(m,s 2)E(l)U(a,b)P(l)B(n,p)0-1分布 D(X)=EX-E(X)2 1.方差的定义与计算 2.常见分布的期望与方差 + - -=dxxfXExXD)()()( 2 下页 概率统计下页结束返回 练习题 1.设X表示独立射击目标10次所击中目标的次数，每次击中 的概率为0.4则 E(X 2)=( ) 2.随机变量X与Y独立，且XN(1,2)，YN(0,1),则 Z=2X-Y+3的期望与方差分别为（ ） 二、单选题 一、填空题 设X和Y是两个随机变量，则下式正确的是（ ） 三、计算题* 设有n个同样的盒子和n个同样的小球分别编号为1,2,3,，n 将n个球随机地放入n个盒子中去，每个盒子放一个球，求与盒子 编号相同的小球数的数学期望 下页 概率统计下页结束返回 作业： 96页 8, 9, 10, 11, 12 结束
