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1、一阶方程 复习目前可求解的微分方程： 可降阶的二阶方程 逐次积分求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握相应的求解步骤 1 常系数齐次线性微分方程 第七节 第七章 常系数非齐次线性微分方程 第八节 2 1.二阶常系数齐次线性方程的标准形式 2.二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 ( p,q为常数 ) ( p,q为常数 ) 通解为： 通解为： 其中线性无关， 即 常数， 即 一、二阶常系数线性微分方程的标准形式及解的性质： 3 二、二阶常系数齐次线性方程的解法 将其代入上方程, 得 故有特征方程 特征根： ( p,q为常数 ) 则是方程的解.设 是方程的解设 4 两个线性无关的特解： 得齐次方程的通
2、解为 . 有两个不相等的实根 设特征根为 如： 特征方程为 常数 则通解为 5 . 有两个相等的实根 一个特解为 特征根为 将代入原方程并化简得 设另一特解为： 得齐次方程的通解为 如 特征方程为 则通解为 6 有一对共轭复根 重新组合 得齐次方程的通解为 设特征根为 如特征方程为 则通解为 7 定义:由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其 总之: 通解的表达式特征根情况 通解的方法称为特征方程法. (1)写出相应的特征方程; (2)求出特征根; (3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 8 解： 特征方程为解得 故所求通解为 解： 特征方程为解得 故所求通解为 例1. 例2. 特征方程
3、为 故所求通解为 例3. 解： 解： 特征方程为 9 例5. 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 练习： 线性常系数齐次方程的通解,则该方程为 解: 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 解： 10 特征方程: 特征方程的根微分方程通解中的对应项 一项: 两项: k项: 2k项: 三、n阶常系数齐次线性方程的解法 注意： n次代数方程有n个根, 且每一项含一个任意常数.对应着通解中的一项, 而特征方程的每一个根都 11 特征根为 故所求通解为 解： 特征方程为 例6.求方程的通解.(10年数二) 课堂考试课堂考试: :P340P340 1 (2),(3
4、). 12 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解齐次方程通解 已经会求了 如何求？ 待定系数法求特解 的方法 四、二阶常系数线性非齐次方程的解法 13 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 从而得到特解 形式为 则Q (x) 为 m 次待定系数多项式 14 (2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为 即 即 15 例1.求微分方程的一个特解. 解： 这里属型 特征方程为 而不是特征根， 所以应设特解为： 代入所给方程得： 比较两端同次幂的系数得： 则
5、得： 于是求得一个特解为： 16 解：这里 属型 所以，对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 代入方程 所求通解为 17 的特解可设为: 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 结论：二阶线性非齐次方程 18 解： 它对应的齐次方程为 特征方程为则得特征根为 则齐次通解为 设其特解为 则原方程得通解是： 19 阶段小结 特征方程的根 ( p,q为常数) 20 为特征方程的 k (=0, 1, 2) 重根, 则设特解为 为特征方程的 k (=0, 1 )重根, 则设特解为 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 21 解： 22 四、小结 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 通解的表达式特征根情况 (1)写出相应的特征方程; (2)求出特征根; (3)根据特征根的不同情况,得到相应的通解. 23 则特解可设为 则特解可设为 24 课堂考试课堂考试: :P347 P347 1 (1). 25
