结构力学第4章静 定 拱综述

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1、本章内容 三铰拱的组成特点及其优缺点；三铰拱的反力和 内力计算及内力图的绘制；三铰拱的合理拱轴线。 目的要求 1. 熟练掌握三铰拱的反力和内力计算。 2. 了解三铰拱的内力图绘制的步骤。 3. 掌握三铰拱合理拱轴线的形状及其特征。 第4章 静 定 拱 杆轴线是曲线且在竖向荷载作用下能产生水平反力(推力)的 结构，称为拱。拱的基本形式有三铰拱、两铰拱和无铰拱，分 别如图4-1(a)、(b)、(c)所示。前一种是静定拱，后两种是超静 定拱。本节仅讨论静定拱的内力计算。 图4-1 4-1 概 述 1拱的组成及受力性能 如果杆轴线虽然是曲线，但在竖向荷载作用下不产生水平支 座反力的结构不是拱，而称为曲

2、梁。在竖向荷载作用下，是否 产生水平推力，是拱与梁的基本区别。 拱与梁相比，由于推力的存在，减小了各截面的弯矩。这就 有可能使处于压弯组合应力状态的拱截面，只承受压应力，从 而可采用抗压性能好的廉价材料，如砖、石及混凝土等来建造 。但是，推力的存在又反过来作用于基础，因而要求比梁具有 更坚固的地基或支承结构。 图4-2 图4-3 2名词解释 拱的各部分名称如图4-3所示。拱身各截面形心的联线称为拱轴 线。拱与基础联结处称为拱趾(或拱脚)。两拱趾间的水平距离称为 跨度。两拱趾的联线称为起拱线。拱轴上距起拱线最远的一点称为 拱顶。三铰拱通常在拱顶处设有中间铰(或称为顶铰)。拱顶至起拱 线之间的竖直

3、距离称为拱高。拱高与跨度之比f/l称为高跨比。两拱 趾在同一水平线上的叫平拱，不在同一水平线上的叫斜拱。本节只 讨论平拱的计算。 所以作屋盖承重用的拱，一般要加拉杆，以承担拱对墙的水平 推力。如图4-2(a)所示，称为带拉杆的三铰拱。为了获得较大的净 空，有时也将拉杆做成折线形状，如图4-2(b)所示。 MB = 0, (a) MA = 0, (b) Fx = 0, FAH = FBH = FH (c) 其次，取左半拱为隔离体，由MC = 0， (d) 4-2 三铰拱的计算 下面以竖向荷载作用下的三铰拱为例，讨论其反力及内力的计 算方法。 1支座反力的计算 三铰拱共有四个支座反力，如图4-4(

4、a)所示。除了取全拱为隔 离体可建立三个整体平衡方程外，还可利用中间铰C处弯矩为零 (MC = 0)的条件建立一个补充方程，从而可求出所有支座反力。 首先考虑整体平衡 考察(a)、(b)两式的右边，恰好等于相应简支梁(如图4- 4(b)所示)的支座反力F0AV和F0BV，而式(d)的右边分子等于相应 简梁上与中间铰C相应的截面C的弯矩M0C。所以，(a)、(b)、 (d)式又可写为 FAV = F0AV FBV = F0BV (4-1) FH = M0C/f 式(4-1)表明，三铰拱的竖向支座反力与相应简支梁的相同， 而其推力等于相应简支梁截面C的弯矩M0C 除以拱高f。推力FH 与拱的轴线形

5、状无关，只与荷载及三个铰的位置有关。当荷载 与跨度一定时，M0C 为定值，推力FH与拱高f成反比。f愈小， 拱愈平坦，推力FH则愈大。若f = 0，则FH = ，此时三铰位于 同一直线上，拱成为瞬变体系。 图4-4 图4-5 2内力的计算 反力求出后，可用截面法求出拱内任一截面的内力。任一截面 K的位置可由其形心坐标、和该处拱轴线的倾角确定，如图4-5(a)所 示。截面内力正负号规定如下：因拱常受压，故轴力以使拱截面受 压为正，剪力以绕隔离体有顺时针转动趋势者为正，弯矩以使拱内 侧受拉为正。 截取截面K左部分为隔离体，为便于计算，沿FNK及FSK方向建 立辅助坐标系K。如图4-5(b)所示。

6、由MK=0， 得: M=FAV x-F1(x-a1)-FHy 由于FAV = F0AV，上式方括号内的数值等于相应简支梁截面K的弯矩 M0，故上式可写为 M = M0 -FH y (e) 由F= 0，得 FS = (FAV-F1) cosf-FH sinf 上式中(FAV-F1)等于相应简支梁截面K的剪力FS0，故又可写为 ： FS = FS0 cosf- FH sinf (f) 由F=0， 得： FN = FS0sinf+ FH cosf (g) 在式(f)及(g)中，f的符号在图示坐标系中左半拱取正，右半 拱取负。 综上所述，三铰拱在竖向荷载作用下的内力计算公式为 M = M0 -H y

7、FS = FS 0cosf- FH sinf (4-2) FN = FS 0sinf+ FH cosf 由式(4-2)可知，三铰拱的内力不仅与三个铰的位置有关，而且 还与拱的轴线形状有关。 解： 1. 反力计算。 由式(4-1)可知 FAV = F0AV = (404+10812)/16 = 70 kN() FBV = F0BV = (1084+4012)/16 = 50 kN() FH = M0C/f = (508-404)/4 = 60 kN 图4-6 例4-1 试作图4-6(a)所示三铰拱的内 力图。拱轴线方程为： 2.内力计算 为绘内力图，将拱沿跨度方向分成8等分，分别计算出各 等分点

8、截面处的内力值，现以距左支座x = 12m的截面6为例， 说明计算步骤。 (1) 截面的几何参数。 拱轴线方程： = 44/162(16-x)x = x(1-x/16) tanf = dy/dx = 1-x/8 故有 y6 = x6(1-x6/16) = 12(1-12/16) = 3m tanf6 = 1- x6/8 = 1-12/8 = -0.5, f6 = -2634, sinf6 = -0.447, cos6 = 0.894 (2) 计算截面6的内力。 由式(4-2)，得： M6 = M06- FH y6 = 504-603 = 20 kNm 由于等分点6在集中力作用处，故该截面剪力、

9、轴力均有突变 ，应分别计算出左、右两边的剪力和轴力。 FS6L = FS06Lcosf6-FHsinf6 = (-10)0.894-60(-0.447) = 17.9 kN FS6R = FS06Rcosf6-FHsinf6 = (-50)0.894-60(-0.447) = -17.9 kN FN6L = FS06Lsinf6+FHcosf6 = (-10)(0.447)+600.894 = 58.1 kN FN6R = FS06Rsinf6+ FHcosf6 =(-50)(0.447)+600.894 = 76.0 kN 同理可计算出其他各截面的内力，具体计算时，可列表进 行。根据表中计算

10、出的数值，即可绘出M、FS、FN图，分别如 图4-6(c)、(d)、(e)所示。 拱式结构的特点是承受较大的压力，除此之外，各截面 还有剪力和弯矩，由这三个分力可求出合力，如图4-7(a)、(b) 所示。合力与分力之间的关系为： 图4-7 上式中e是由截面形心到合力FR作用线的垂直距离，是 合力FR与该截面拱轴切线之间的夹角。对于拱内各截面来说 ，一般是处于偏心受压状态， 4-3 三铰拱的合理拱轴线 1. 压力曲线 如图4-7(b)所示。如各截面弯矩越小，则偏心距e越小。当 M=0时，则e = 0，这对截面受力而言是比较理想的。各截面 合力FR作用点的联线就称为该拱的压力曲线。 2. 三铰拱的

11、合理拱轴线 如果三铰拱的各截面上的弯矩和剪力均为零，则各截面 FN的方向与拱的轴线相切，即压力曲线与拱轴线重合。此时 拱内各截面上正应力均匀分布，在材料使用上最为经济，故 称这样的拱轴线为合理拱轴线。 合理拱轴线可由拱截面上弯矩处处为零的条件确定。在 竖向荷载作用下，三铰拱任一截面的弯矩由式(4-2)中第一式 计算，故合理拱轴线由M = M0-FHy = 0,可得 y = M0/FH (4-4) 上式表明，在竖向荷载作用下，合理拱轴线的竖坐标与 相 应简支梁弯矩的竖坐标成正比。当荷载已知时，只需求出 相应简支梁的弯矩方程，然后除以拱的推力FH，便可得到 合理拱轴线方程。 例4-2 试求图4-9

12、(a)所示对称三 铰拱在竖向均布荷载q作用下 的 合理拱轴线。 解：图4-9(b)所示相应简支梁 的 弯矩方程为 M0 = qlx/2-qx2/2 = qx(l-x)/2 由式(4-1)求得水平推力为 FH = M0C/f = ql2/(8f) 根据式(4-4)，得合理拱轴线方 程为 y = M0/FH = 4f(l-x)x/l2 可见，在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线是二次抛物 线。 图4-9 图4-10所示三铰拱受填土荷载作用，拱上分布荷载 qx=qc+y。qc为拱顶处荷载集度，为填土容重。应用式 (4-2)积分(分析从略)后得合理拱轴线是一条悬链线。方程为 图4-11所示三铰拱在受径向均布荷载(如静水压力)作用 下，根据微段的平衡条件即可推出合理拱轴线为圆弧曲线 (推导从略)。 图4-10 图4-11 应该指出，当跨度一定时，对于不同的荷载，其合理拱轴的形 式也不同。在工程实际中，结构要承受各种不同荷载的作用。根据 某种荷载确定的合理拱轴线，并不能保证其他荷载作用下，拱内各 截面都处于无弯矩状态。因此，在结构设计中通常是以主要荷载作 用下的合理拱轴作为拱的轴线。而在其他荷截作用下产生的弯矩， 应控制其压力线不超过截面核心，以保证各截面不产生拉应力。