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1、 第8章 应力状态和强度理论 8-1 应力状态的概念 一、应力状态的概念 前面研究杆件在各种基本变形下的 应力时, 主要是研究杆件横截面上的应 力, 并根据横截面上的最大应力建立相 应的强度条件。但对某些杆件来说，仅 研究横截面上的应力是不够的，有些杆 件破坏时并非沿着横截面。 受扭的铸铁圆杆 本章研究的应力状态就是研究一点 处的位于各个截面上的应力情况及其变 化规律。 二、应力状态的研究方法 点的应力状态是通过单元体来研究的。单元体是微小的直角 六面体, 研究受力杆件中某点的应力状态时, 就围绕该点截取一单 元体, 通过单元体来研究该点的各个截面上的应力及其变化规律. 1. 轴向拉伸 2.
2、扭转 3. 弯曲 三、应力状态的分类 平面应力状态: 轴向拉伸 扭转 空间应力状态: 8-2 平面应力状态下任意斜截面上的应力 由FN=0, 由FT=0, 根据切应力互等定理: 由此得: 8-2 平面应力状态下任意斜截面上的应力 将三角关系式: 代入下述二式, 得: 平面应力状态下任 意斜截面上正应力 和切应力计算公式 公式是从平面应力状态的一般情况导出 的, 因此, 它适用于所有平面应力状态。 应力分量凡与图中的方向一致者为正, 反之为负, 即: 例8-1 求a-b面上的正应力和切应力。 41.9 N 30 67.3 解: 此例中=30。 8-3 主应力和极值切应力 一、主应力 1. 主应力
3、的概念 当某截面上的切应力等于零时, 将该截面称为主平面, 即切应 力等于零的截面称为主平面。主平面上的正应力则称为主应力。 2. 主平面的位置 设主平面的方位角为0, 则根据主平面的定义有: 3. 主应力的计算公式 由三角函数知: 4. 主应力值的特点 由此求得: 可见: 二、极值切应力 由此求得: 切应力极值的计算公式: 归纳: 切应力等于零的截面称为主平面, 主平面上的主应力 称为主应力。 平面应力状态下, 任一点处一般均存在一对不为零的 主应力, 二主应力的所在截面相差90。 任一点的主应力值是 过该点的垂直于纸面各截面 上主应力中的极值。 例8-2 由受力杆件中围绕某点截取的单元体如
4、图所示, 试求 该点的主应力。 解: 8-4 平面应力状态下的几种特殊情况 任意斜截面上的应力计算公式: 主应力计算公式: 切应力极值计算公式: (8-1) (8-2) (8-4) (8-6) 一、轴向拉伸 此时: 任意斜截面上的应力计算公式变为: 主应力计算公式变为: 切应力极值计算公式变为: 二、扭转 此时: 任意斜截面上的应力计算公式变为: 主应力计算公式变为: 切应力极值计算公式变为: 例8-3 受扭圆杆直径d=50mm, Me=400Nm, 求1-1截面边缘处边缘处 A点的主应应力。 解: 绕A点截取一单元体; 计算单元体上的应力: x是1-1截面(横截面)上A点的切应应力, 根据扭
5、转应转应 力计计算公 式, 得: 按主应力公式计算主应力: 三、弯曲 此时: 任意斜截面上的应力计算公式变为: 主应力计算公式变为: 切应力极值计算公式变为: 例8-4 图示矩形截面简支梁, 在梁的1-1截面处, 从1、2、3、 4、5各点截取五个单元体, 其中, 点1和点5位于上、下边缘, 点3 位于h/2处。试画出每个单元体上的应力情况, 并注明其方向。 8-6 空间应力状态下任一点的主应力和最大切应力 空间应力状态下, 同样存在主平面与主 应力, 其概念与平面应力状态完全相同, 即 切应力等于零的平面为主平面, 主平面上的 正应力为主应力. 任一点均存在三个主应力 且三个主应力所在的主平
6、面相互垂直, 三个 主应力具有以下关系: 例如: 最大切应力计算公式为: 对于本单元体: 轴向拉伸与压缩 轴向压缩时则为: 扭转 因此有: 弯曲 从受弯杆件中截取单元体, 该点的两个 主应力为: (该主应力为正值) (该主应力为负值) 按三个主应力数值排列, 则为: 8-7 广义胡克定律 单向应力状态时的胡克定律: 纵向应变 横向应变: 广义胡克定律: 空间应力状态下应力与应变间的关系。 空间应力状态下广 义 胡克定律表达式 主应变 当单元体各面上还有切应力时, 由进一步的理论研究可知, 对各向同 性材料来说, 只要应力不超过比例极 限且变形是微小的, 上述关系仍然成 立, 例如图示单元体:
7、例8-7 某点应力状态如图示, 已知E=2105MPa, =0.3, 求 该该点沿x方向的线应变线应变 x。 解: 该点为平面应力状态, 根据胡克定 律有: 例8-8 边长为10mm的正方体钢块放置在刚性槽内, 刚性槽的 高、宽均为10mm. 钢块的顶面上作用有q=120106N/m2=120MPa 的均布压压力, 已知钢钢材的=0.3, 试试求钢块钢块 中沿x、y、z三方向的正 应应力x、y、z。 解: 钢块在q作用下要发生变形, 由于槽是刚性的, 钢块沿x方向无线应 变而有正应力; 沿z方向有线应变而无 正应力; 沿y方向有q作用, y方向既有 正应力又有变形且相当于轴向压缩: 8-8 强
8、度理论 一、强度理论的概念 在第2章、第3章和第6章中, 对杆件进行强度计算时, 总是先 计算横截面上的最大正应力或最大切应力, 然后分别从两个方面 建立其强度条件, 即: 正应力强度条件: (单向拉伸或压缩) (弯曲) 切应力强度条件: (剪切) (扭转切应力) (弯曲切应力 ) 8-8 强度理论 一、强度理论的概念 正应力强度条件: (单向拉伸或压缩) (弯曲) 切应力强度条件: (剪切) (扭转切应力) (弯曲切应力 ) 工程中有些受力杆件的危险点, 不是像拉伸那样处于单向应 力状态, 而是处于二向或三向应力状态, 即处于复杂应力状态。 8-8 强度理论 一、强度理论的概念 二、常用的四
9、种强度理论 1. 材料的破坏形式 塑性流动(一般指塑性材料): 当应力达到材料的屈服极限时, 材料要发生明显的屈服现象, 这时材料发生较大的塑性变形, 尽 管这时材料没有完全破坏, 但由于塑性变形比较大, 工程中则认 为已经不能正常工作, 所以将塑性流动看成为一种破坏形式。 脆性断裂(一般指脆性材料): 脆性材料(例如铸铁)拉伸时, 不 出现屈服现象, 也不发生明显的塑性变形, 当应力达到一定值时, 材料发生断裂, 这种破坏形式称为脆性断裂。 进一步的研究表明, 材料的破坏形式不是唯一的, 它还与材 料所处的应力状态有关。破坏形式与应力状态间的关系比较复 杂, 这里不作详细讨论。下面就上述两种
10、破坏形式介绍四种强 度理论。 2. 常用的四种强度理论 最大拉应力理论(又称第一强度理论) 这个理论认为, 最大正应力(拉应力或压应力)是材料达到极 限状态的决定因素。即在一个单元体的三个主应力中, 只要任何 一个主应力达到由单向拉伸(压缩)试验测得的极限应力0时, 材 料就达到了极限状态。 按此理论, 材料的极限条件为: 考虑一定的安全储备, 强度条件为: 最大伸长线应变理论(又称第二强度理论) 按此理论, 材料的极限条件为: 根据广义胡克定律: 轴向拉伸材料断裂时的最大伸长线应变为: 因此, 材料发生脆性断裂的条件为: 即: 考虑一定的安全储备, 强度条件为: 最大伸长线应变理论(又称第二
11、强度理论) 最大切应力理论(又称第三强度理论) 按此理论, 材料的极限条件为: 复杂应力状态下的最大切应力: 单向拉伸材料发生塑性流动时的最大切应力为: 因此, 材料发生塑性流动的条件为: 考虑一定的安全储备, 强度条件为: 形状改变比能理论(又称第四强度理论) 也称为能量理论, 它认为形状改变比能是使材料达到危险状 态的决定因素。该理论认为, 材料发生塑性流动(屈服)是由能量 引起的, 当复杂应力状态下积蓄在单位体积内的应变能(指形状改 变能)达到一定数值时, 材料就发生塑性流动。 按该理论导出的强度条件为: 第一强度理论中的相当应力: 第二强度理论中的相当应力: 第三强度理论中的相当应力:
12、 第四强度理论中的相当应力: 例8-9 由3号钢制成的某一受力杆件, 其危险点处的应力情况 如图所示, 已知=160MPa. 试分别用第三和第四强度理论校核 该危险点处的强度。 解: 先求该点的主应力, 然后求相当应力. 按主应力数值排列, 则为: 例8-9 由3号钢制成的某一受力杆件, 其危险点处的应力情况 如图所示, 已知=160MPa. 试分别用第三和第四强度理论校核 该危险点处的强度。 按第三强度校核 相当应力: 满足! 按第四强度校核 相当应力: 满足! 解: 作剪力图和弯矩图; 校核正应力强度: 梁跨中: 满足! 校核切应力强度: 满足! 按强度理论校核截面C(或D)上 E点(或F点)的强度: E点的主应力: E点的主应力: 采用第三强度理论: 满足!
