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1、第九章 非线性控制系统 第一节 非线性系统述 第二节 描述函数法 第三节 相平面法 第一节 非线性系统概述 l1. 何谓线性系统？ 静态特性：输入和输出成比例 动态特性：可应用叠加原理 y=f1(x1)+f2(x2)+f3(x3) y=f(kx)=kf(x) l2. 何谓非线性系统？ 静态特性：输入和输出不成比例 动态特性：不可应用叠加原理 x y x y 3.线性系统与非线性系统的关系 实际系统总含非线性环节，所以是非线性系统。 但在小信号范围内可线性化为线性系统来分析。 4.非线性系统的特征 (1)输出响应与输入信号大小和系统初态有关 4.非线性系统的特征 (2)系统稳定性与输入信号大小和
2、系统初态有关 (3)会产生自激振荡 4.非线性系统的特征 (4)可能产生跳跃谐振 (5)会产生波形畸变 振幅 非线性系统 频率 5.典型非线性元件及对系统性能的影响 (1)饱和特性 Kx |x|a y = Ka xa -Ka xa sign x = 1 x0 -1 x1, Ak=Bk=0 于是有 用正弦量的矢量表示法有 X1(A,)=A X2(A,)=C1e j1 1.非线性系统的描述函数定义 描述函数定义式： 由于假设非线性系统是非储能元件,所以可只考虑 A, 不顾, 于是 N(A,)=N(A) 描述函数定义陈述： 非线性系统的描述函数为输出基波分量 与输入信号之比 2. 典型非线性元件的描
3、述函数 (1)饱和特性的描述函数法 x1 x2 x2 x1 -a a K - - t t 2. 典型非线性元件的描述函数 (1)饱和特性的描述函数法 当Aa, KA sin t 0 t x2(t) = Ka t - KA sin t - t A sin =a = sin-1(a/A) 2. 典型非线性元件的描述函数 (1)饱和特性的描述函数法 2. 典型非线性元件的描述函数 (1)饱和特性的描述函数 K N(A)= Aa Aa Aa Aa 3.用描述函数法研究非线性控制系统 (1) 非线性控制系统 (2) 闭环频率特性 (3) 闭环特征方程 N(A)G0(s) R Y 3.用描述函数法研究非线
4、性控制系统 (4) 稳定性分析 当G(j)=-1/N(A) 时,产生临界振荡. 线性系统的临 界点为(-1,j0), 而在非线性系统中有一条临界曲线为 -1/N(A). )稳定系统 相角裕量 幅值裕量 20lg(oN/oG) -1 N(A) A0 G0(j) o NG Im Re 3.用描述函数法研究非线性控制系统 (4) 稳定性分析 )不稳定系统 -1 N(A) G0(j) o Im Re )自激振荡 -1 N(A) G0(j) o Im Re (A0,0) 注：并非所有的交点都产生自振荡 3.用描述函数法研究非线性控制系统 (4) 稳定性分析 )稳定自振荡的确定 -1 N(A) G0(j)
5、 o Im Re Im A 1 32 6 5 4 取点1，2，3，4，5，6， 分析： 13 不稳A 6 4 12 稳 A 7 46 不稳A 4 45 稳 A 4 结论：4点为稳定的自振荡点 1点为不稳定的自振荡点 推论：由右向左穿越G0(j)线的点是稳定的自振荡点 7 3.用描述函数法研究非线性控制系统 例例 9.1 9.1 设非线性元件具有滞环继电特性(a/x2m=0.5), 试分析系统稳定性, 并判断是否存在稳定的自振荡. R(s) Y(s) - a-a x2m 320 s(s+4)(s+8) 3.用描述函数法研究非线性控制系统 解: 查非线性元件描述函数表知具有滞环继电特性 (a/x2
6、m=0.5)的描述函数为 3.用描述函数法研究非线性控制系统 解:(续) 可见-1/N(A)轨迹为一条与实轴平行的直线 而G0(j)为 3.用描述函数法研究非线性控制系统 解:(续) G0(j)与-1/N(A)相交于P点, 经分析P点为稳定的自振 点. 令G0(j)与-1/N(A)的实部相等,可解得谐振角频率 p=4.2 rad/s. 令G0(j)与-1/N(A)的实部相等,可解得谐振 点输入信号幅值Ap=3.7a或1.85x2m 3.用描述函数法研究非线性控制系统 -1 N(A) G0(j) o Im Re -1.0 3 5 4 P 第三节 相平面法 l本节内容 1。基本概念 2。相平面图的
7、绘制 3。由相平面图求系统的过渡过程 4。奇点和极限环 1. 基本概念 非线性系统的相平面分析法是状态空间分析法在 二维空间下的应用， 它是一种用图解法求解二阶非 线性控制系统的精确方法。 它不仅能给出系统的稳 定性和动态性能信息，还能给出系统运行轨迹的清 晰图象。 二阶系统的微分方程表达 a1，a0为常数时表达线性定常系统。 a1，a0不为常数时表达非线性系统。 1. 基本概念 二阶系统的状态方程表达 令x1=x，x2=x1, 有 . 相平面(状态平面,x-x平面) . 相平面图(相轨迹构成的图) 相平面法: 相平面图的绘制和分析 特点: 只限于二阶线性或非线性系统 可用于严重非线性场合(描
8、述函数不够用) 可用于非周期信号输入 x1 x2 2. 相平面图的绘制 . 常用三种方法: 解析法, 等倾线法, 法. 1) 解析法 当系统微分方程较简单时,可推导出相轨 迹方程, 据相轨迹方程可绘制相平面图. 例如: 经积分推导可得相轨迹方程 为一圆方程, 据此可绘制相轨迹. y n . y 2. 相平面图的绘制 2) 等倾线法 不用求解微分方程，适用于非线性特性可 用数学式表达的系统. 设 2. 相平面图的绘制 对于除平衡点的任一点 ， 和 为确定值。在平衡点， =0 为不定值。速 度和加速度均为零，无穷多组斜率的曲线可通过该点 。 所以可设 表示相轨迹的斜率。 表示斜率相等。 被称为等倾
9、线方程 2. 相平面图的绘制 等倾线方程是一个代数方程，易解。根据等倾 线方程可的等倾线分布图，根据这个图可以绘出从 初始状态 |t=0 出发的相轨迹曲线。 例9。2 试用等倾线法绘制二阶线性系统 的相平面图。 解： 2. 相平面图的绘制 根据等倾线方程令为若干具体数值，可得等 倾线簇。当初始点A已定，则根据两等倾线间的平 均斜率值可确定AB线段，进而可确定BC，CD， 。 =-1 =-1.4 =-2.5 =2 =-(1.4+1)/2=-1.2 =-0.4=-1 x x . A B C 2. 相平面图的绘制 例9。3 试用等倾线法绘制二阶非线性系统 的相平面图。 解： x x . 2. 相平面
10、图的绘制 3) 法 当等倾线为直线时绘制相轨迹比较方便。 当等倾线为直曲线时绘制相轨迹不方便。这 时用法更好。在法中，相轨迹是圆心沿x轴 滑动的一系列圆弧的连续线。 设 ，要求单值并连续。变形 为 令 选使值在选定小x，x范围内，不大不小， 可看作常量。当在P1(x1, x1)点附近, . . 2. 相平面图的绘制 C为积分常数, 可求得 2. 相平面图的绘制 这是一个圆方程, 圆心在(1,0),半径为 进而可推得 2. 相平面图的绘制 以x为横轴, 以x/为纵轴, P1点附近的相轨迹可用小 段圆弧表示. 为得到1可用逐次逼近法. . x x/ . P1 (1,0) 例9.4 已知 求起始于A
11、1(1,0)点的相轨迹. 2. 相平面图的绘制 解: 取=1, 按 有 设 步距为0.2. 先取1=0, 以圆心(0,0),半径1,过A1点画圆弧, 交 =-0.2于A2 . A2的坐标为(-0.2,(1-0.22). 取A2和A1的 坐标平均值(xm,xm)代入求1. 2. 相平面图的绘制 以圆心(0.12,0),半径1-0.12,过A1点再画圆弧, 交 =-0.2于A2 . 以同样方法可得A3,A4, 1 0.12 0 A1 A2 A2 A3 A4 x X . 3. 由相平面图求系统的过渡过程 常用三种方法：增量法、积分法、圆弧法 1）增量法 3. 由相平面图求系统的过渡过程 x t x
12、x x01 x12 x23 x34 x01 t01 t12 t23 t34 3. 由相平面图求系统的过渡过程 2）积分法 x t x t01 t12 t23 t34 1/x x0 3. 由相平面图求系统的过渡过程 3）圆弧法 x t x t01 t12 t23 t34 x x0 01 P 1 0 2 4. 奇点和极限环 1）奇点的定义 速度x和加速度x都为零的点。 奇点是系统的平衡点。在奇点处相轨迹的斜率为不 定值。可以有无穷多条相轨迹趋近或离开奇点。 2）奇点的类型 见表9-1，有稳定焦点、稳定节点、中心点、 不稳定焦点、不稳定节点、鞍点。 . 4. 奇点和极限环 表9-1（1） 奇点类型闭
13、环根分布相平面图动态响应 稳定焦点 稳定节点 4. 奇点和极限环 表9-1（2） 奇点类型闭环根分布相平面图动态响应 中心点 不稳定 焦点 4. 奇点和极限环 表9-1（3） 奇点类型闭环根分布相平面图动态响应 不稳定 节点 鞍点 4. 奇点和极限环 3）奇点坐标的确定 设 在奇点有 由上两方程确定的两条曲线的交点即为奇点。 系统在奇点附近的运动状态可由泰勒级数展开 分析得到。 设有奇点（x10，x20），则 4. 奇点和极限环 略去高次项，并令 4. 奇点和极限环 则有 为简便分析，设x10=x20=0（若初值不为零，可通过坐 标变换达到零初值），则有状态方程 4. 奇点和极限环 于是可知系
14、统在奇点附近的运动特性取决于上方程 的特征根。 例9-6 已知 求系统相平面图 4. 奇点和极限环 解：解： 在系统平衡时 在点（0，0）附近，有线性化方程： 4. 奇点和极限环 所以 可知点（0，0）为稳定焦点。 4. 奇点和极限环 在系统平衡时 对于点（-2，0），先要做坐标变换： 4. 奇点和极限环 所以 可知点（-2，0）为鞍点。 4. 奇点和极限环 用等倾线法可绘制出相轨迹图。 x x . 4. 奇点和极限环 4）极限环 当相轨迹形成一个封闭的曲线时，被称为极限环， 极圈。 极限环把相平面分为内部平面和外部平面两部分。 相轨迹不能从内部直接穿出，也不能从外部直接穿入。 极限环有稳定的、不稳定的和半稳定的三种。 稳定的极限环 x x x t . 4. 奇点和极限环 不稳定的极限环 x x x
