二随机变量综述

《二随机变量综述》由会员分享，可在线阅读，更多相关《二随机变量综述（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二章 随机变量 第一节 随机变量及其分布函数 第二节 离散型随机变量及其分布 第三节 连续型随机变量及其分布 第四节 随机变量函数的分布 第一节 随机变量及其分布函数 定义1: 称为随机变量X的分布函数。 定义2:设X是一随机变量，x为任意实数，函数 上一页下一页返回 上一页下一页返回 例1： 口袋里装有3个白球2个红球，从中任取三个球， 求取出的三个球中的白球数的分布函数 解： 设X表示取出的3个球中的白球数。X的可能 取值为1，2，3。而且由古典概率可算得 上一页下一页返回 于是，X的分布函数为： 上一页下一页返回 例2: 考虑如下试验：在区间0，1上任取一点，记录它 的坐标X。那么X是

2、一随机变量，根据试验条件可以认为 X取到0，1上任一点的可能性相同。求X的分布函数。 当x0时 解 ： 由几何概率的计算不难求出X的分布函数 所以： 上一页下一页返回 上一页下一页返回 第二节 离散型随机变量及其分布 分布律常用表格 形式表示如下： X x1 x2 xk pk p1 p2 pk 如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无 限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量。 设离散型随机变量X的可能取值为xk (k=1,2,),事 件 发生的概率为pk ,即 称为随机变量X的概率或分布律。 上一页下一页返回 分布律的两条基本性质： 上一页下一页返回 （）确定常数a的值;（）求的分布函数

3、因此 解：（）由分布律的性质知 pa 上一页下一页返回 （2）由分布函数计算公式易得的分布函数为： 上一页下一页返回 两点分布 若在一次试验中X只可能取x1 或x2 两值(x1x2), 它的概率分布是 则称X服从两点分布。 当规定x1=0,x2=1时两点分布称为（01）分布。 简记为X(0-1)分布。 X 0 1 pk 1-p p 上一页下一页返回 若离散型随机变量X的分布律为 二项分布 其中0N0为常数,则称X服从参数为的泊松分布，记 为X ()。 上一页下一页返回 例6: 放射性物质在规定的一段时间内，其放射的粒子 数X服从泊松分布。罗瑟福和盖克观察与分析了放射 性物质放出的粒子个数的情况

4、。他们做了2608次观 察（每次时间为7.5秒），整理与分析如表所示: 上一页下一页返回 0.0070.00616 1.0000.9992608总计 0.0110.010279 0.0260.017458 0.0540.0531397 0.0970.1052736 0.1510.1564085 0.1950.2045324 0.2010.2015253 0.1560.1473832 0.0810.0782031 0.0210.022570 按泊松分布 计算的概率 频 率 观察到的次数 Mk 粒子数k 上一页下一页返回 设想把体积为V的放射性物质分割为n份相同体积 V 的小块，并假定： 在1秒内

5、放出两个或两个以上粒子的概率为0 分析推导放射的粒子数为何服从泊松分布 考虑单位时间1秒内放射出的粒子数X。 （1）对于每个小块，在1秒内放出一个粒子数的概率p为 其中0是常数（与n无关且与每小块的位置无关）。 （2）各小块是否放出粒子,是相互独立的。 上一页下一页返回 在这两条假定下，1秒内这一放射性物质放出k个粒子 这一事件，可近似看作该物质的n个独立的小块中， 恰有k小块放出粒子。 其中PX=k是随n而变的，它是一个近似式。 放出k个粒子的概率： 把物质无限细分， 得到 PX=k 的精 确式，即 由泊松定理知 其中 上一页下一页返回 第三节 连续随机变量及其分布 （4）若x为f(x)的连

6、续点，则有 概率密度f(x)具有以下性质： 定义3: 设随机变量X的分布函数为F(x)，若存在非负 函数f(t),使得对于任意实数x，有 则称X为连续型随机变量，称f(t)为X的概率密度函数 ，简称概率密度或分布密度。 上一页下一页返回 由性质（2）知： 介于曲线y=f(x)与Ox轴之间的面积等于1（见图1）。 由性质（3）知： X落在区间（x1,x2）的概率等于区间（x1,x2）上曲线 y=f(x)之下的曲边梯形的面积（见图2）。 由性质（4）知： 若已知连续型随机变量X的分布函数F(x)求导得概率密 度f(x)。 图 图 上一页下一页返回 (1)若X为具有概率密度f(x)的连续型随机变量。

7、 则有 如果x0为f(x)的连续点，有 f(x)在x0处的函数值f(x0)反映了概率在x0点处的“密集 程度”，而不表示X在x0处的概率。设想一条极细的无 穷长的金属杆，总质量为1，概率密度相当于各点的 质量密度。 （2）若X为连续型随机变量，由定义知X的分布函数 F(x)为连续函数（注意：反之不然）。X取一个点a的 概率 为零，事实上 两点说明 在计算连续型随机变量X落在某一区间的概率时，可 以不必区分该区间是开区间或闭区间或半开半闭区间 ，即有 事件X=a 并非不可能事件 概率为零的事件不一定是不可能事件； 概率为1的事件不一定是必然事件。 上一页下一页返回 求：（1）常数a；（2） （3

8、）X的分布函数F（x） （1）由概率密度的性质可知 所以 a1/2 例1：设随机变量X具有概率密度 解： 上一页下一页返回 上一页下一页返回 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为XU(a,b)， 均匀分布 设连续型随机变量X的概率密度函数为 X的分布函数为 ： 上一页下一页返回 概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的图形可用图示 上一页下一页返回 设连续型随机变量X具有概率密度 则称X服从参数为的指数分布。 指数分布 X的分布函数为 上一页下一页返回 f(x)和F(x)可用图形表示 上一页下一页返回 利用 可以证明 ， 正态分布 设随机变量X的概率密度为 其中 ,(0)为常数,则称X服

9、从参数为 , 的正态分 布或高斯分布,记为XN(,2). X的分布函数为 上一页下一页返回 （1） 最大值在x=处，最大值为 ; （3）曲线y=f(x)在 处有拐点； 正态分布的密度函数f(x)的几何特征： （2） 曲线y=f(x)关于直线x= 对称，于是对于任 意h0，有 （4）当 时，曲线y=f(x)以x轴为渐近线 上一页下一页返回 当固定，改变的值，y=f(x)的图形沿Ox轴平移而不 改变形状，故 又称为位置参数。若固定，改变的值 ，y=f(x)的图形的形状随的增大而变得平坦。 越小，X落在附近的概率越大。 上一页下一页返回 参数 =0，=1的正态分布称为标准正态分布，记为 XN(0,1

10、)。其概率密度函数和分布函数分别用 和 表示，即 和 的图形如图所示。 上一页下一页返回 由正态密度函数的几何特性易知 一般的正态分布，其分布函数F(x)可用标准正态分布 的分布函数表达。若X , X的分布函数F(x)为 因此，对于任意的实数a,b(ab)，有 函数 写不出它的解析表达式，人们已编制了它 的函数表，可供查用。 上一页下一页返回 例2： 设X(0,1),求P1X2,P . 例3： 某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的 使用寿命不低于1000小时即可。现有甲乙两厂的电子 元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态 分布N(1100,502), 乙厂生产的电子元件的寿命分布服

11、从 正态分布N(1150,802)。问应选择哪个厂生产的产品呢 ？若要求元件的寿命不低于1050小时，又如何？ 上一页下一页返回 比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品。 解 ：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和Y，则 X N(1100,502)，Y N(1150,802). (1)依题意要比较概率 的大 小, 两个概率如下： 上一页下一页返回 比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。 (2)依题意要比较概率 的大小, 两个概率如下： 上一页下一页返回 第四节 随机变量函数的分布 设X是离散型随机变量，Y是X的函数Y=g(X)。那么 Y也是离散型随机变量。 设y=g(x)为一个通常的连续函数，

12、X为定义在概率 空间上的随机变量，令Y=g(X)，那么Y也是一个定义在 概率空间上的随机变量。 上一页下一页返回 (2) Y=-2X2分布律为 Y -18 -8 -2 0 P 0.3 0.3 0.3 0.1 例1： 设离散型随机变量X的分布律为 X -1 0 1 2 3 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 求：（1）Y=X-1； (2) Y=-2X2的分布律。 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 X -1 0 1 2 3 X-1 -2 -1 0 1 2 -2X2 -2 0 -2 -8 -18 解：由X的分 布律可得 由上表易得Y的 分布律 （1）Y=X-1的分布律为 Y -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 上一页下一页返回 对此类问题，先由X的取值xk，（k=1，2） 求出Y=g(X)的取值yk=g（xk），（k=1，2）； 本例（2）中，X的两个取值-1和1都对应Y的一个值-2， 这样： PY=-2=PX=-1或X=1 =PX=-1+PX=1