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1、Beihang University 时域有限差分方法 林志立 zllin2008 北航仪器光电学院光电工程系 The Finite-Difference Time-Domain Method for Electromagnetics 计算电磁学中的 Beihang University 电磁学中几种重要的数值计算方法 l有限差分法 Finite Difference Method 静电场、静磁场的有限差分法； 时域行波的电磁场的时域有限差分法； l有限元法 (Finite Element Method) 数值求解各类独立的偏微分方程；（电磁学、材料力 学、工程热力学、声学等等） l矩量法 (
2、Method of Moments) 适合于细线、平面形状结构的电磁场问题 Beihang University 电磁学基本方程 l麦克斯韦方程组( Maxwell Equations) James Clerk Maxwell (18311879) (法拉第感应定律)(安培环路定律) (高斯定律电场)(高斯定律磁场) l物质本构关系 (Constitutive Relations) （欧姆定律） （电极化）（磁化） 一切电磁场和电磁波问题均可由以上方程，以及各类 具体的边界条件所决定！ Beihang University 麦克斯韦方程组中的运算符 散度（Divergence) 旋度（Curl
3、) 连续函数的偏微分运算 Beihang University 设有一连续函数 , 现欲求 。 FDTD的基本思想 连续偏微分的有限阶近似时域和空间域的离散化 二阶中心差分近似表达式： 当 越小时，上式的近似程度 越高。 实际上： Beihang University FDTD空间域的离散化 (1)空间域的分割离散化 Ex分量的空间间离散分布图图 Yee元胞（x, y, z) Hx分量的空间间离散分布图图 节节点 Beihang University FDTD空间域的离散化 YEE 元胞 各电电磁场场分量在元胞中的位置 K.S. Yee, “Numerical solution of init
4、ial boundary value problems involving Maxwells equations in isotropic media,”IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 14, 1966, pp. 302-307. 例如： Hz为为Ex和Ey所环绕环绕。 Beihang University FDTD空间偏微分的近似 以Hz为为例： 类似地，可实现各电磁场分量的 空间偏微分计算。 Beihang University FDTD时间偏微分的近似 以Hz为为例： t=(n+1/2)t t=nt t=(n-1/2)t 时间时间上的推移 (1)
5、电场电场在时间时间上取整数倍 的t; t=n *t; (2)磁场场在时间时间上取(整数 1/2)倍的t; t=(n +1/2)*t; Beihang University 麦克斯韦方程的离散化近似 以Hz为为例： 上式即为Hz的更新方程，由前一时刻的磁场和前半时刻 的临近空间格点的电场即可求出最新时刻的磁场。 Beihang University 麦克斯韦方程的离散化近似 采取类类似的步骤骤，可以推导导出其它场场量的更新表达式： 例如，对对于Ez： Beihang University FDTD的离散参数的选择 元胞尺寸：边长边长小于最短波长长的1/10, 以减小数值值色散。 数值色散方程：
6、理想色散方程： 要求： 例如，取 例如，取 Beihang University FDTD的离散参数的稳定性条件 时间时间步长长：Courant 稳稳定性条件 对对于非色散介质质，时间时间步长长不能大于以下表达式： （von Neumann method ） 为为了保持稳稳定性，该该方程的所有解的模必须须小于1。 域数值值色散方程： Beihang University 介质电磁参量的设定 不同的元胞的电磁参量应设 置为所在空间所代表的介质 的介电常数和磁导率。 长方体，物质I 长方体，物质II 球体，物质III 空气 场量与介质参数要对应 Beihang University 色散介质的FD
7、TD模拟 以Lorentz 介质为例： 更新方程： 近似， 求系数 Z-变换 时时域： 频频域： Beihang University 色散介质的FDTD模拟 模拟Lorentz色散介质的不同方法： MSE approach : Beihang University FDTD编程流程 主循环环 初始化 输输出结结果 Beihang University 编程举例1：一维FDTD问题 x 基本旋度方程： X向电导率 X向磁电导率 X向电流 X向磁流 Beihang University 编程举例1：一维FDTD问题 Matlab程序代码： % Define initial constants e
8、ps_0 = 8.854187817e-12; % permittivity of free space mu_0 = 4*pi*1e-7; % permeability of free space c = 1/sqrt(mu_0*eps_0); % speed of light % Define problem geometry and parameters domain_size = 1; % 1D problem space length in meters dx = 1e-3; % cell size in meters dt = 3e-12; % duration of time s
9、tep in seconds number_of_time_steps = 2000; % number of iterations nx = round(domain_size/dx); % number of cells in 1D problem space source_position = 0.5; % position of the current source Jz 1.定义物理常量 2.定义问题的参量和结构尺寸 Beihang University % Initialize field and material arrays Ceze = zeros(nx+1,1); Cezh
10、y = zeros(nx+1,1); Cezj = zeros(nx+1,1); Ez = zeros(nx+1,1); Jz = zeros(nx+1,1); eps_r_z = ones (nx+1,1); % free space sigma_e_z = zeros(nx+1,1); % free space Chyh = zeros(nx,1); Chyez = zeros(nx,1); Chym = zeros(nx,1); Hy = zeros(nx,1); My = zeros(nx,1); mu_r_y = ones (nx,1); % free space sigma_m_y
11、 = zeros(nx,1); % free space 编程举例1：一维FDTD问题（续） 3.初始化场量和介质参量阵列 电场电电场电流部分 磁场场磁流部分 Beihang University % Calculate FDTD updating coefficients Ceze = (2 * eps_r_z * eps_0 - dt * sigma_e_z) . ./(2 * eps_r_z * eps_0 + dt * sigma_e_z); Cezhy = (2 * dt / dx) . ./(2 * eps_r_z * eps_0 + dt * sigma_e_z); Cezj =
12、 (-2 * dt) . ./(2 * eps_r_z * eps_0 + dt * sigma_e_z); Chyh = (2 * mu_r_y * mu_0 - dt * sigma_m_y) . ./(2 * mu_r_y * mu_0 + dt * sigma_m_y); Chyez = (2 * dt / dx) . ./(2 * mu_r_y * mu_0 + dt * sigma_m_y); Chym = (-2 * dt) . ./(2 * mu_r_y * mu_0 + dt * sigma_m_y); 编程举例1：一维FDTD问题（续） 4.计算更新方程系数 电场电场部分
13、磁场部分 Beihang University % Define the Gaussian source waveform time = dt*0:number_of_time_steps-1.; Jz_waveform = exp(-(time-2e-10)/5e-11).2); source_position_index = round(nx*source_position/domain_size)+1; % Subroutine to initialize plotting initialize_plotting_parameters; 编程举例1：一维FDTD问题（续） 5.定义场源
14、源波形为高斯型 6.作图初始化 Ez_positions = 0:nx*dx; Hy_positions = (0:nx-1+0.5)*dx; v = 0 -0.1 -0.1; 0 -0.1 0.1; 0 0.1 0.1; 0 0.1 -0.1; . 1 -0.1 -0.1; 1 -0.1 0.1; 1 0.1 0.1; 1 0.1 -0.1; f = 1 2 3 4; 5 6 7 8; axis(0 1 -0.2 0.2 -0.2 0.2); lez = line(Ez_positions,Ez*0,Ez,Color,b,LineWidth,1.5); lhy = line(Hy_posit
15、ions,377*Hy,Hy*0,Color,r, . LineWidth,1.5,linestyle,-.); set(gca,fontsize,12,FontWeight,bold); axis square; legend(E_z, H_y times 377,Location,NorthEast); xlabel(x m); ylabel(A/m); zlabel(V/m); grid on; p = patch(vertices, v, faces, f, facecolor, g, facealpha,0.2); text(0,1,1.1,PEC,horizontalalignment,center,fontweight,bold); text(1,1,1.1,PEC,horizontalalignment,center,fontweight,bold); Beihang University % FDTD loop for time_step = 1:number_of_time_steps % Update Jz for t
