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1、天津科技大学应用文理学院 1 1.3 离散时间系统的时域描述差分方程 一、常系数线性差分方程的一般表达式 或 其中ak，br都是常数。 连续时间连续时间 系统统用微分方程描述系统输统输 出输输入之 间间的关系。 离散时间时间 系统统用差分方程描述或研究输输出输输入 之间间的关系。 天津科技大学应用文理学院2 说明： 1）常系数：是指ak，br都是常数，不含变数n。 2）阶数： 差分方程的阶数是由方程y(n-k)项中的k取值 最大与最小之差确定的。 3）线性：y（nk）和x(n r)项都只有一次幂且不存在 相乘项。 天津科技大学应用文理学院3 二、差分方程的求解 u时时域经经典法：类类似于解微分
2、方程，即求齐齐次解和特解， 过过程繁琐琐，应应用很少，但物理概念比较较清楚。 u迭代法(递递推法)：比较简单较简单 ，且适合于计计算机求解，但 不能直接给给出一个完整的解析式作为为解答（也称闭闭合形 式解答）。 u卷积积法：适用于系统统起始状态为态为 零时时的求解。 u变换变换 域方法：类类似于连续时间连续时间 系统统的拉普拉斯变换变换 ， 这这里采用Z变换变换 法来求解差分方程，这这在实际实际 使用上是 最简单简单 有效的方法。 天津科技大学应用文理学院4 例题题： 解：（1）令x(n)=(n)， y(n)= h(n)=0， n0时时的h(n) （2）将差分方程改写成y(n-1)= a-1y
3、(n)-x(n) 根据初始条件可递递推如下 y(0)=a-1y(1)-(1)=0 y(-1)= a-1y(0)-(0)=- a-1 y(n)=ay(n-1)=-an 因此，h(n)=y(n)=-anu(-n-1)，是非因果系统统。 天津科技大学应用文理学院6 以上结结果说说明： （1）一个常系数线线性差分方程不一定代表一个因果系统统。 （2）一个常系数线线性差分方程，如果没有附加的起始条件 ，不能唯一的确定一个系统统的输输入输输出关系，并且只有当 起始条件选择选择 合适时时，才相当于一个线线性时时不变变系统统。 在以下的讨论中，除非特别声明，我们都假设常系数线性 差分方程所表示的系统都是指线性
4、时不变系统，并且多数 是指因果系统。 天津科技大学应用文理学院7 Z-1 a x(n)y(n) 采用差分方程描述系统简便，容易得到系统的运算结构 差分方程 系统结构 该式说明，系统在某时刻n的输出值y(n)不仅与该 时刻的输入x(n) 有关，还与该时刻以前的输出值 y(n-1)，y(n-2)等有关。 天津科技大学应用文理学院8 1.4 连续时间信号的抽样 前置预 滤波器 A/D 变换器 数字信号 处理器 D/A 变换器 模拟 滤波器 模拟 xa(t) PrFADCDSPDACPoF 模拟 ya(t) 采样样 采样样恢复 天津科技大学应用文理学院9 一、采样样的基本概念 采样样的原理框图图 采样
5、器 连续信号 采样脉冲 采样信号 所谓谓“采样样”，就是利用采样样脉冲序列从连续时间连续时间 信号 中抽取一系列的离散样值样值 ，由此得到的离散时间时间 信号通 常称为为采样样信号，以 表示。 天津科技大学应用文理学院10 两种采样方式 （a）实际采样 （b）理想采样 天津科技大学应用文理学院11 采样样前后信号频谱频谱 的变变化？ 研究讨论讨论 ： 什么条件下，可以从采样样信号 不失真地恢 复出原信号？ 天津科技大学应用文理学院12 二、理想采样样 1.时时域分析 数学模型 采样样脉冲： 理想采样输样输 出: 天津科技大学应用文理学院13 2.频频域分析 映射 时时域相乘 频频域卷积积 （模
6、拟拟系统统） 天津科技大学应用文理学院14 2.频频域分析 （1)冲激函数序列T(t)的频谱频谱 可求解出: 因为 天津科技大学应用文理学院15 （2）理想采样样信号 的频谱频谱 天津科技大学应用文理学院16 （2）理想采样样信号 的频谱频谱 上式表明： （1）频谱产频谱产 生周期延拓。 即采样样信号的频谱频谱 是频频率的周 期函数，其周期为为s。 （2）频谱频谱 的幅度是Xa(j) 的1/T倍。 天津科技大学应用文理学院17 三、时时域采样样定理 如果信号xa(t)是带带限信号，且最高频频率不超过过s/2， 即 那么采样频谱样频谱 中，基带频谱带频谱 以及各次谐谐波频谱频谱 彼此是 不重叠的
7、。用一个带宽为带宽为 s/2的理想低通滤滤波器，可以 不失真的还还原出原来的连续连续 信号。 频谱频谱 混叠现现象： 如果信号最高频频率超过过s/2，那么在采样样频谱频谱 中，各 次调调制频谱频谱 就会相互交叠起来 折叠频频率：s/2 或 fs/2 天津科技大学应用文理学院18 采样样信号的频谱图频谱图 天津科技大学应用文理学院19 奈奎斯特采样样定理： 若原始信号是带带限信号，为为使采样样后能不失真的还还原 出原信号，抽样频样频 率必须须大于两倍信号最高频频率，即 为为避免混叠，一般在抽样样器前加入一个保护护性的前置 低通滤滤波器，将高于折叠频频率的分量滤滤除掉。 工程上一般取 天津科技大学
8、应用文理学院20 四、采样样的恢复（内插） 1.频频域分析 天津科技大学应用文理学院21 2.时时域分析 把输输出看成是 与理想低通单单位冲激响应应h(t)的卷积积 。 理想低通H(j)的冲激响应为应为 ： 天津科技大学应用文理学院22 根据卷积积公式，低通滤滤波器的输输出为为： 天津科技大学应用文理学院23 采样内插公式 内插函数 权 内插公式 内插函数有一个重要特点：在抽样点nT上函数值为1， 在其余抽样点上函数值都为0 内插结结果使得被恢复的信号在采样样点的值值就等于xa(nT) ， 采样样点之间间的信号则则是由各采样值样值 内插函数的波形延伸叠加 而成的。 天津科技大学应用文理学院24
9、 采样样内插公式说说明，只要采样频样频 率高于两倍信号 最高频频率，则则整个连续连续 信号就可以完全用它的采样值样值 来代表，而不会丢丢掉任何信息。这这就是奈奎斯特定理的 意义义。 奈奎斯特定理的意义 天津科技大学应用文理学院25 五、实际实际 抽样样 抽样脉冲不是冲激函数，而是一定宽度的矩形周期脉冲 其中系数Ck随k变化 抽样信号频谱 天津科技大学应用文理学院26 抽样样信号的频谱频谱 是连续连续 信号频谱频谱 的周期延拓，周期为为 s 若满满足奈奎斯特抽样样定理，则则不产产生频谱频谱 混叠失真 抽样样后频谱频谱 幅度随着频频率的增加而下降 幅度变变化并不影响信号恢复 天津科技大学应用文理学院27 例：模拟拟信号 ，其中 1）求xa(t)的周期，采样频样频 率应为应为 多少？采样间样间 隔应为应为 多少？ 2）若选选采样频样频 率fs=200Hz，采样间样间 隔为为多少？写出采 样样信号 的表达式。 3）画出对应对应 的时时域离散信号x(n)的波形，并求出 x(n)的周期。 天津科技大学应用文理学院28 解：1）由 ，可得 2） ，由 ，可得 天津科技大学应用文理学院29
