《2017-2018学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.3 平均值不等式 北师大版选修4-5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.3 平均值不等式 北师大版选修4-5（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3 平均值不等式 2.平均值不等式 名师点拨 1.定理2的常见变形 2.利用平均值不等式求最值 对两个正实数a,b. (1)若它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值 ; (2)若它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值 . 对于三个正数a,b,c. 利用平均值不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即: (1)各项或各因式均为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式能取得相等的值. 答案: 【做一做2】 若正数a1,a2,a3满足a1a2a3=8,则有( ) 答案:B 答案:(1) (2) (3) (4) 探究一探究二探究三思维辨析 分析根据题设
2、条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式的条 件和形式,然后应用平均值不等式求解. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 平均值不等式的基本功能在于“和与积”的相互转化, 利用平均值不等式求最值时,给定的形式不一定能直接应用平均值 不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑积或和是定值的形 式),构造出平均值不等式的形式再进行求解,求解时一定注意平均 值不等式成立的条件:各项或各因式应为正;和或积为定值; 各项或各因式能取到使等号成立的值,简记为:“一正、二定、三相 等”. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练
3、1(1)已知0x2,则函数f(x)=x(2-x)的最大值等于 . (2)函数y=2cos2xsin4x的最大值等于 . 探究一探究二探究三思维辨析 分析(1)考虑到a+b+c=1,可将不等式左边每个括号中分子上的1 替换为a+b+c,化简后再利用平均值不等式,然后根据不等式的性质 证明. (2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以要两次利用平均值不 等式. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 利用平均值不等式证明不等式的方法与技巧 (1)用平均值不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的 结构特点进行恒等变形,使之具备平均值不等式的
4、结构和条件,然 后合理地选择平均值不等式或其变形形式进行证明. (2)对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找 出变形的思路,构造出平均值不等式,切忌两次使用平均值不等式 用传递性证明,因为这样有可能导致等号不能取到. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 【例3】已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400 km处的B地,每 两辆货车间距离为d km,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20 km/h时,d=1 km. (1)写出d关于v的函数关系式; (2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时? 此时货车速度为多
5、少? 分析对于(1),可由已知数据代入求得;(2)先列出时间与速度的关 系式,再借助平均值不等式求解. 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟 利用平均值不等式求解实际问题时的注意点 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数; (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用平均值不等式 求得函数的最值; (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自 变量的取值范围)内求解. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练3制造容积为 m3的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属 板的价格为每平方米30元,用来做侧面的金属板的价格为每平方米 20元,要使用
6、料成本最低,则此圆柱形桶的底面半径和高分别为多 少? 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 探究一探究二探究三思维辨析 纠错心得 本题错解中忽视了平均值不等式中等号成立的条件, 没有注意到两次运用平均值不等式时等号成立的条件不一致,从而 导致错误.连续使用平均值不等式时取等号的条件很严格,要求同 时满足任何一次的字母取值存在且一致.因此尽量不要连续两次以 上使用平均值不等式,若使用两次时应保证两次等号成立的条件相 同.此外,在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常的办法 是变量替换或常值“1”的替换,即由已知条件得到某个式子的值为 常数,然后将欲求最值的代数式乘“1”,再对代数式进行变形整理,从 而可利用平均值不等式求最值. 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 . 12345 答案:B 12345 答案:B 12345 3.若长方体的体积为8,则其表面积的最小值等于 . 解析:设长方体的三条相交于同一点的棱长分别为a,b,c,则依题意 有abc=8. 长方体的表面积S=2ab+2bc+2ac 当且仅当a=b=c=2时等号成立,即长方体表面积的最小值为24. 答案:24 12345 12345
