工程力学 能量法解析

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1、能量法 9-1 概 述 几何法 ： 应 力应 变 变 形外 力 物理方程 平衡方程 几何方程 （变形协调方程） 利用功能原理解决工程结构位移或杆件变形等 有关问题的方法，称为能量法。 能量法出发点 ： 能量守恒与转换原理 。 弹性体承载时，加力点发生位移载荷做功，W 弹性体变形储存变形能（应变能）， U 略去在该过程中的微量能量损耗，则由能量守恒 与转换原理，得： 外力功 = 变形能 W = U 由能量的观点出发建立载荷与变形间关系的方法 称为能量方法。 9-2 杆件的应变能 一、轴向拉伸与压缩应变能 FN A B l l 静载： 载荷： 0FN 缓慢 加力点B的位移： B= l0l 缓慢 o

2、B l FN A 变力做功： 此处为线弹性材料 FN A B l l 对于线弹性材料，变形能为 ： 用外力功表示 用“内力”表示 用“变形”表示 lx F O （1）弹性应变只与力或位移的终值有关 ，与加载过程和次序无关。 dw dx lx F dx dw W(l) O （2）在杆长范围内 、A不 是常数时，一般的，有： 如图： （3）变形能不能叠加。 从数学观点看：U不是P或者l的线性函数，所以不能叠加 。 从力学观点看： 变形能不能叠加的力学本质： 一种载荷在另一种载荷引起的 位移上做了功。 由拉压杆件组成的杆系的变形能： P 1 2 3 4 5 受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的变形能

3、q L x dx 二、扭转应变能 对于线弹性材料，变形能为： 用外力功表示 用“内力”表示 用“变形”表示 T O M1 1 Mx d L Mx 同样，对于一般情况，有： 三、弯曲应变能 M O M （1）纯弯曲 MM l 对于线弹性材料，变形能为 ： 用外力功表示 用“变形”表 示 用“内力”表示 （2）横力弯曲 M(x) dx 总变形能=剪切变形能+弯曲变形能 一般情况下剪切变形能很小，可以忽略不计： U 弯曲变形能 . 综合轴向拉伸（压缩）、扭转、弯曲 变形，一般地，有： U广义力 广义位移 U可表成F的二次函数或的二次函 数 ，这也揭示了应变能不能叠加。 如果构件上有二种载荷，但其中任

4、一种载荷在另 一种载荷产生的位移上不做功，则这两种载荷单 独作用时产生的变形能之和等于共同作用时产生 的变形能 四、应变能的通式 M dx M 这就是用“内力”表示的变形能的普 遍表达式（即：克拉贝依隆原理） 。 注意：式中M、Mx、FN为所有外力 F1、F2、F3共同作用引起的内 力。 如图，无刚性位移的线弹性结构体 ，承受载荷F1、F2、F3 设想采用比例加载：F1、 F2、F3缓慢的按相同 的比例增加，弹性体始终 保持平衡，而且各外力作 用点的位移1、2、3也 将按与外力相同的比例增 加。 F1 F3 F2 1 3 2 于是得到用“外力功”表示的变形能 的普遍表达式： 注意：式中1、2、

5、3为所有外力 F1、F2、F3共同作用引起的位 移。 例1 求图示简支梁中点的挠度 C 解： F EI L/2L/2 正号表示C 的方向与外力F的指向相同。 9-3 单位力法（莫尔积分） 1在原始载荷F1、F2、F3单独作用下，梁 内变形能U (a) (b) 2在 单独作用下，梁内变形能 F1、F2、F3作用下： 3. 采用先加 ，然后再加F1、F2、F3.的加载方 式时，梁内的变形能 转变成变形能储存于弹性体中，从而可求出梁 内最终所储存的总变形能 v在产生 变形过程中， 做功： 在求U之前，应将图六和图七进行比较，即可发现图七实质 上是图六的计算简图，因此，此时梁内的变形能仍应为： 在进行

6、第二步计算之前应明确：弹性体内所储存的变形能只与外 力和位移的最终数值有关，而与加载方式无关；基于这个道理， 在此分别研究梁在不同的加载方式作用情况下，变形能的情况。 况下梁内的变形能。即式。 此时应强调F1、F2、F3对梁的作用效果并不因预先在C点作用了 单位载荷而有所改变，因此得出：由于F1、F2、F3的作用，C点 产生的位移 应等于； 产生的变形能也应等于图七情 根据叠加原理 4. 采用将 、（F1、F2、F3）同时作用于梁上的加 载方式时X截面弯矩: 4.根据变形能与加载方式无关的道理得： 计算挠度的莫尔定理 5.推论：同样的道理，如果我们要求截面的转角，也只需在C 截面上施加一个单位

7、力偶，用上述同样的方法可求出： 计算转角的莫尔定理 三.总结： 1.莫尔定理单位力法 2.适用范围线弹性结构 例1：如图所示：简支梁AB，跨长为L，抗弯刚度为 。其上受均布载荷作用，载荷集度为q，试求出梁跨中点C的 挠度 及端面B的转角 解：一求支反力RA，RB 由对称性： 二求 及 v 在材料力学中，由于每一个具体的问题都要涉及到一定结构 的具体图形，因此，在接到问题，了解了已知条件和要求解的问 题之后，紧接着应该来分析图形的结构性质。很显然，图十为一 对称结构。 v 对于对称结构，在求其某一具体物理量的数值时，只需取其 一个对称部分来进行计算，其结果再乘以对称部分的个数即可。 如图十，可沿

8、梁中截面将梁分为两个对称部分，因此 及 可写成左边的形式。 例题总结： 1.从莫尔定理的证明过程及例题的分析过程中，可以看出莫尔 定理实质上就是单位载荷法。若要求某一点的线位移，只需在该 点上沿着线位移的方向作用一单位集中力就行了。若要求解一截 面的转角，也只需在该截面上作用一单位力偶就行了。 2 中的正负号所表示的含义： “+”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向一致。 “-”表示位移的实际方向同假设的单位载荷的方向相反。 中的 v 为了区别 及 ，在 中的 改写 的形式。 成 为了表示出这两种含义，最后在求出的数值后面应用符号 标明实际位移方向。 注意： 上述内容为一节课（50分钟）内

9、容。整个板面应控制在两个 板面左右，以提高“讲”的效果。 五.莫尔定理在平面曲杆的应用： 对于横截面高度远小于轴线曲率半径的平面曲杆，其弯曲正 应力分布规律接近于直梁，如再省略轴力和剪力的影响，可将计 算直梁变形的莫尔定理推广应用于这类曲杆挠度和转角的近似 计算公式： 式中：S 代表曲杆轴线的弧长 载荷作用下，曲杆横截面上的弯矩 单位力或力偶作用，曲杆横截面上的弯矩 （计算桁架中某一点位移的莫尔定理的推导做为课外 作业，请大家课后将它推导出来） 9-4 图形互乘法 梁、刚架等线性结构，单位力法主要是计算莫尔积分： 对于最常见的均质等直杆，EI为常数，可以提取到积 分号的外面，莫尔积分变为： 图

10、乘法：将积分 图形相乘。出发点：直杆在单位力作用下的内力 图必定是直线段或者折线段。 的计算转化为 考察任一梁段AB，其上由 载荷引起的弯矩 可为 任意图形，而由单位力引 起的弯矩 为斜直线。 O x y AB O x y AB 建立坐标系：以 与 x 轴的交点O为坐标原点， 设 与 x轴的夹角为 。 O O x y AB x y AB dx x xC l O x y AB O x y AB dx x xC l 阴影部分面积 阴影部分面 积对 y 轴之矩 图 对 y 轴之静矩 图上 对应 xC 的值 图的面积 图形心的横坐标 图上对应的值，简记为 例9 求图示悬臂梁在自由端的挠度。 BA 1

11、B l A EI F 解：（1）建立单位力系统： （2）作载荷系统和单位 力系统的弯矩图： l l （3）计算 、 、 ： “正号”表明 的指向与单位力 的指向相同。 例10 求图示外伸梁 A 截面的转角。 F A EI BC a l 解：（1）建立单位力系统： 1 （2）作 、 图： （3）图乘求 ： 与 引起的弯矩图分开画，易于确定各图形的面积和形心位置。 与 在基线同一侧时， 为正，在基线异侧时， 为负。 例11 求图示简支梁 C 点的挠度和 A 点的转角。 F EI l/2l/2 A B C 1 （2）作 、 图： 解：（1）建立求 的单位力系统： l/2l/2 （3）求 ： l/2l

12、/2 1 F EI l/2l/2 A B C （4）建立求 的单位力系统并作相应的 图： l/2l/2 l/3l/3l/3 图为折线，以转折点为界分段进行图乘，然后求和。 图乘法注意要点： （1）直杆方能图乘。 （2） 和 图绘制原则为或同时画在受拉边， 或同时画在受压边。 （3） 图必须为一条直线，为折线时应分段。 （4）尽量将 图绘成面积及形心位置已知的 图形（包括不同载荷的弯矩图分开画）。 （5） 与 在基线同一侧时， 为正，反 之为负。 9-5 互等定理 以梁为例推导： 记号： ：“力”的作用位置 载荷： 位移： ：位移发生的位置 ：位移发生的原因， 点的“力”引起的 现在梁上1、2两

13、点加载荷 、 ，采用两种不同方式加: 第一种加载方案：1、2两点同时加 、 由叠加原理，1点总的位移为： 2点总的位移为： 第二种加载方案：先加 ，然后再加 先加 ， 做功为： 再加 ， 做功为： 在加 的过程中 做功为： 线弹性结构，应变能只与力的终值有关，与加载方式无关。 即： 功的互等定理 F2 在 F1 引起的位移上所做的功= F1 在 F2 引起的位移上所做的功 当 F1 和 F2 在数值上相等时，由功的互等定理可得到： 位移互等定理 第1点的载荷引起的第2点的位移 在第2点作用同样大小的 载荷引起的第1点的位移 注意： （1）互等定理成立的条件： （2）广义位移广义力 线位移集中力

14、 集中力偶角位移 线弹性、小变形、叠加原理成立。 功互等 当 M1 与 F2 数值上相等时： 位移互等（数值上相等） 功互等 当 M1 与 M2 在数值上相等时： 位移互等（数值上相等） 9-6 卡氏定理 1.卡氏第一定理（应变能法） 当仅 发生微小增量 ，其余位移无增量时： 另一方面，当仅 发生增量 时， 将做功， 从而导致应变能发生增量： （常力做功） 卡氏第一定理：弹性结构的应变能对某一位 移的偏导数，等于与此位移相应的外力。 （1）卡氏第一定理既适用于线性弹性，也适用于非线 性弹性。 （2）“相应”的意义： 为集中力，则 为与之同方向的线位移。 为集中力偶，则 为与之同转向的角位移。

15、与 位置相同。 例2 图示结构，AB杆与BC杆的横截面积均为A 应力-应变关系为： 试求AB杆和BC杆的轴力。 解：节点B有两个未知位移： 水平位移：1 垂直位移：2 计算应变能： C B A F L 45 1 2 B 也即，将应变能表为位移的函数： BA B D 1 C 45 2 1 B B D E 均匀变形： 由卡氏第一定理： 联立以上两式，求解可得： （拉伸） （压缩） （拉） （压） （拉） （压） 2.卡氏第二定理 当仅有 有增量 ，其余载荷不发生变化时 ：（即每个载荷是独立变化的。） 另一方面，因为 ，余功的增量为： 余能定理 对于线弹性结构： 所以对于线弹性结构，有： 卡氏第二定理 卡氏第二定理：