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1、 一、 差分的概念与性质 在社会经济活动与自然科学研究中，我们经常遇到与时 间t 有关的变量，而人们往往又只能观察或记录到这些变量 在离散的t 时的值。对于这类变量，如何去研究它们的相互 关系，就离不开差分与差分方程的工具。 一般地，在连续变化的时间范围内，变量y关于时间t的 变化率是用dy/dx来刻画的；对离散型的变量y，我们常取在 规定的时间区间上的差商 来刻画变量的变化率。 如果选 择 ，则 可以近似表示变量y的变化率。 由此我们给出差分的定义： Chap.2Chap.2差分方程差分方程 以t 表示时间，规 定t只取非负整数。t=0 表示第一周期初，t=1表示第二周期初。 记 为变量y在
2、时刻t 时的取值，则称 为 的一阶差分，称 为的二阶差分。 一般地，函数 的n-1阶差分的差分称为n阶差分， 记为 ，即 例1设 求 差分的性质： （1） （2） （3） （4） 例2求 的差分 二、差分方程的概念 含有未知函数 的差分的方程为差分方程。 差分方程的一般形式: 其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程 的阶。例如，二阶差分方程 也可改写成 一般地 满足差分方程的序列yt称为此差分方程的解。类似于微分方 程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数 时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则 称此解为满足某些初值条件的 特解，例如，考察两阶差分方 程 易见见 与
3、均是它的特解，而 则为则为 它的通解，其 中c1，c2为为两个 任意常数。类类似于微分方程，称差分方程 为n阶线性差分方程， 当 0时称其为n阶非齐次线性差分 方程，而 则则被称为为方程对应对应 的 齐齐次线线性差分方程 。 若所有的 ai(t) 均为与t 无关的常数，则称其为 常系数差分 方程，即n 阶常系数线性差分方程可分成 （1） 的形式，其对应的齐次方程为 （2） 容易证证明，若序列 与 均为为方程（2）的解，则则 也是方程（2）的解，其 中c1、c2为为任意常数，这说这说 明， 齐齐次方程的解构成一个 线线性空间间（解空间间）。 此规律对于（2）也成立。 例3 试改变差分方程 的形式
4、. 例4试确定下列差分方程的阶. 例5指出下列等式哪一个是差分方程, 若是, 进 一步指出是否为线性方程. 方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （步一）先求解对应对应 的特征方程 （3） （步二）根据特征根的不同情况，求齐齐次方 程(2)的通解 情况1 若特征方程（2）有n个互不相同的实实根 , 则齐则齐 次方程（2）的通解为 为 (C1,Cn为为任意常数) ， 情况2 若 是特征方程（3）的k重根，通解中对应对应 于的项为项为 为为任意常数，i=1,k。 情况3 若特征方程（3）有单重复根 通解中对应它们的项为 为为的模， 为为的幅角。 情况4 若 为为特征方程（3）的k重复根，则则通
5、解对应对应 于它们们的项为项为 为为任意常数，i=1,2k。 .若yt为为方程(2)的 通解,则则非齐齐次方程 (1)的通解为为 （步三） 求非齐齐次方程 (1)的一个特解 例1 求解两阶阶差分方程 解 对应齐对应齐 次方程特征方程: ,其特征根为为 ，对应齐对应齐 次方程的通解为为 原方程有形如 的特解。代入原方程求得 ， ，故原方程的通解为为 在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解， 在给定初值后，通常可用 计算机迭代求解，但我们常常需要 讨论解的稳定性。对 差分方程(1),若不论其对应齐次方程的通 解中任意常 数C1,Cn如何取值 , 在 时总有 ,则称方程 (1)的解是稳定
6、 的,否则称其解为不稳定 的.根据通 解的结构不难看出 ,非齐次方程(1)稳定的充要条件为其所有特 征根的模均小于1。 n rsolve(方程，解函数,选项) ，rsolve(方 程组，初始条件，解函数，选项) 选项为genfunc(x)解以x为自变量；选项为 makeproc解为过程函数。 rsolve(F(n) = F(n-1) + F(n-2), F(1.2)=1, F, genfunc(x); rsolve(s(n) = 2*s(n-1), s(0)=1, s,makeproc) Matlab求解 n濒危物种的自然演变和人工孵化 n问题 Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好 自然
7、环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中 等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和 -3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只 鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作 数值计算。 模型建立 n xk+1=(1+r)xk k=0,1,2 n记第k年沙丘鹤的数量为xk,年均增长率为 r，则第k+1年鹤的数量为 n已知x0=100, 在较好，中等和较差的自然 环境下 r=0.0194, -0.0324,和-0.0382 我们利用 Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的 数量变化情况 Matlab实现 n首先建立一个关于变量n ，r的m函数 nfunction x=sqh(n,r)
8、na=1+r; nx=100; nfor k=1:n n x(k+1)=a*x(k); nend n在command窗口里调用sqh函数 k=(0:20); y1=sqh(20,0.0194); y2=sqh(20,-0.0324); y3=sqh(20,-0.0382); round(k,y1,y2,y3) 利用plot 绘图观察数量变化趋势 n可以用不同线型和颜色绘图 nr g b c m y k w 分别表示 红绿兰兰绿洋红黄黑白色 ： + o * . X s d 表示不同的线型 n plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐标系下画 图 plot(k,y2,: k) 离散点：黑
9、色 plot(k,y2,-) plot(k,y2,r) plot(k,y2,y) plot(k,y2,y,k,y1,:) plot(k,y2,k,y1,:) plot(k,y2,oy,k,y1,:) 用gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=- 0.0382)在图上做标记。 筹措教育经费模型 某家庭从现在着手, 从每月工资中拿出一部分资 金存入银行, 用于投资子女的教育, 并计算20年后 开始从投资账户中每月支取1000元, 直到10年后 子女大学毕业并用完全部资金. 要实现这个投 资目标, 20年内要总共筹措多少资金? 每月要在 银行存入多少钱? 假
10、设投资的月利率为0.5%, 为 此, 设第t个月, 投资账户资金为每月存资金为b元, 于是20年后, 关于的差分方程模型为 例（市场经济的蛛网模型） 在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该 商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另 一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格 决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致 商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的 积极性，导致商品生产量的下降。 在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的 函数： （1）供应函数x=f(P)，它是价格P的单增函数，其曲 线称为供应曲线。 （2）需求函数x=g(P)，它是价格P的单降函数
11、，其曲 线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的 形状 如图所示。 记记t时时段初市场场上的供应应量 (即上 一时时段的生产产 量)为为xt ，市场场上 该该商品的价格 为为Pt 。商品成交的 价格是由需求曲线线决定的， 即 随着 , Mt将趋趋于平衡点 M*,即商品量将趋趋于平衡 量x*,价 格将趋趋于平衡价 格P*。图图中的 箭线线反映了在市场经济场经济 下该该商 品的供应应量与价格的发发展趋势趋势 。 x o P P0 P2 P* P1 x x1x2x0 x* 需求曲线 供应曲线 M0 M2 M1 M* P o M3 M2 M1 图和图的区别在哪里， 如何判定平衡点的稳定 性呢？ 但是，如果
12、供应曲线和需求曲线呈 图中的形状，则平衡点 M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供 应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供 求出现越来越大的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性 的讨论在经济学中被称为市场经济的 蛛网模型。 不难看出，在 图中平衡点 M*处供应曲线的切线斜率大于 需求曲线切线斜率的绝对值， 而在图中情况恰好相反。 现在利用差 分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是 否正确。我们知道，平衡点M*是否稳定取决于在M*附近供、 需曲线的局部性态。为此， 用M*处供、需曲线的线性近似来 代替它们，并讨论此线性近似模型 中M*的稳定性。 设设供应应曲线
13、线与需求曲线线的线线性近似分别为别为 和 式中，a、b分别为别为 供 应应曲线线在M*处处的切线线斜率与需求曲线线 在M*处处切线线斜率的绝对绝对 值值。 根据市场经济场经济 的规规律，当供应应量 为为xt时时，现时现时 段的价格 ，又对对价格，由供应应曲线线 解得下一时时段的商品量 由此导导出一阶阶差分方程： （4） 此差分方程的解在 (b/a)b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于生产 者的敏感程度）商品供应量和价格会自行调节而逐步趋于稳 定；反之若ab（商品紧缺易引起顾客抢购）该商品供售市 场易造成混乱Remark:需求曲线越平,供应曲线越陡，越有利于经济稳定 如果生产者对市场经济的蛛网
14、模型有所了解，为了减少因价 格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不 应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。例如可 以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时 ，若t 时段的商品量为 xt 时，仍有 （7） 将（5）式、（7）式代入（6）式，整理得 （5） 但t+1时时段的商品量则则不再为为 而被修正为为 （6） 由（5）式得 （8） （8）式是一个常系数二阶线阶线 性差分方程，特征方程为为 其特征根为 记记。若，则则 此时时差分方程（8）是不稳稳定的。 ， 若，此时时特征根为为一对对共轭轭复数， 。 由线性差分方程稳定的条件， 当r2即b F(n+2) - F(n+1) - F(n) = 0 n令 F(n+2) - aF(n+1) = b(F(n+1
