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1、第三节第三节 离散时间系统的数学离散时间系统的数学 模型模型差分方程差分方程 用差分方程描述线性时不变离散系统 由实际问题直接得到差分方程 由微分方程导出差分方程 由系统框图写差分方程 差分方程的特点 1 一线性时不变离散系统 线性：均匀性、可加性均成立； 2 时不变性 系统 系统 3 二由实际问题直接得到差分方程 例如： y(n)表示一个国家在第n年的人口数 a(常数)：出生率 b(常数): 死亡率 设x(n)是国外移民的净增数 则该国在第n+1年的人口总数为： y(n+1)=y(n)+ay(n)-by(n)+x(n) =(a-b+1)y(n)+x(n) 4 三由微分方程导出差分方程 后差
2、或前差 若用后差形式 5 若在t=nT 各点取得样值 当前输出前一个输出输入 n代表序号 6 四由系统框图写差分方程 1基本单元 加法器： 乘法器： 7 延时器 单位延时实际是一个移位寄存器，把前一个离 散值顶出来，递补。 标量乘法器 系统框图 8 五差分方程的特点 (1)输出序列的第n个值不仅决定于同一瞬间的输入样 值，而且还与前面输出值有关，每个输出值必须依次 保留。 (2)差分方程的阶数：差分方程中变量的最高和最低 序号差数为阶数。 如果一个系统的第n个输出决定于刚过去的几个输出 值及输入值，那么描述它的差分方程就是几阶的。 9 差分方程的特点 (4)差分方程描述离散时间系统，输入序列与
3、输出序 列间的运算关系与系统框图有对应关系，应该会写会 画。 (3)微分方程可以用差分方程来逼近，微分方程解是 精确解，差分方程解是近似解，两者有许多类似之 处。 10 例1: 框图如图，写出差分方程 解： 一阶后向差分方程一阶前向差分方程 11 解法1.迭代法 3.零输入响应+零状态响应 利用卷积求系统的零状态响应 2.时域经典法：齐次解+特解 4. z变换法反变换y(n) 第四节第四节 常系数线性差分方程的求解常系数线性差分方程的求解 解差分方程的基础方法 差分方程本身是一种递推关系， 12 二时域经典法 1.齐次解：齐次方程的解 指数形式 13 求待定系数 C由边界决定 代入原方程， 齐
4、次解 求差分方程齐次解步骤 差分方程 特征方程特征根 y(n)的解析式由起始状态定常数 14 根据特征根，解的三种情况 2.有重根 如三重根r1=r2=r3=r 3.有共轭复数根 可视为二个不等单根 15 2.特解 线性时不变系统输入与输出有相同的形式 输入输出 （r与特征根重） 16 三零输入响应+零状态响应 1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次 C由初始状态定（相当于0-的条件） 齐次解： 2.零状态响应：初始状态为0，即 求解方法 经典法：齐次解+特解 卷积法 17 例1： 由递推关系,可得输出值： 18 特征方程 齐次解 定C1,C2 解出 例2: 求解二阶差分方程 特征根 19 特征方程 给定边界条件即可求出常数 例3 20 例4:设差分方程的特征根为 P,Q为待定系数 为减幅正弦序列 为等幅正弦序列 为增幅正弦序列 讨论零输入响应情况 21 例5 代入原方程求特解 特解 22 23 求系统的零输入响应。 例6 24 求初始状态（0-状态） 题目中 ,是激励加上以后的,不能说明状态 为0,需迭代求出 。 25 解得 零输入响应与输入无关 由初始状态（0-状态）定C1，C2 26 注意 在求零输入响应时，要排除输入的影响 找出输入加上以前的初始状态。 27
