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1、第六章第六章 抽样分布抽样分布 总体、样本和统计量总体、样本和统计量 经验分布函数和频率直方图经验分布函数和频率直方图 抽样分布抽样分布 从本章开始，我们将学习数理统计部分，前面五章的 内容属于概率论范畴。数理统计实际上是概率论的具体应 用。它的研究范围分成两个方面，一个是统计推断统计推断，另一 个是抽样理论抽样理论与试验设计试验设计。本课程仅研究第一个方面的内 容。统计推断主要研究抽样分布抽样分布、参数估计参数估计、假设检验假设检验等 本章的主要内容如下： 6.1 总体、样本和统计量总体、样本和统计量 一、总体与样本一、总体与样本 1、总体总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项 数量指标
2、，可记为X、Y、Z、 、 、 等，它是随机变量。 2、个体个体：组成总体的单元。通常也指与总体对应的 某项数量指标，可用X1，X2， 等表示，它们也是随机 变量。 3、样本样本：来自总体的部分个体X1， ， ，Xn 。n称为 样本容量。若是按随机抽样原则得到的，则称其是“简单简单 随机样本随机样本”或简称为“随机样本随机样本”或“样本样本”。 按随机抽样原则得到的样本满足以下两个条件： （1）独立性独立性： X1， ，Xn 相互独立； （2）同分布性同分布性： X1， ，Xn与总体同分布。 这两个条件也叫“独立同分布独立同分布”，常简记为“iid ”. 因此 ，来 自总体X的随机样本X1， ，
3、Xn可记为 , XX iid n 其中f(x)是X的概率函数。 样本观测值样本观测值：对样本X1， ， ，Xn进行观测，即可得一 组观测值x1， ，xn. x1， ，xn也叫样本观测值。 X1， ， 等，)(xfX iid n 或或X1， ， ， 二、统计量二、统计量 样本X1 , , Xn的函数g(X1 , , Xn)称为是总体X的一个 统计量，若g(X1 , , Xn)与任何未知参数无关。 若x1, , xn是样本X1 , , Xn的观测值观测值，则g(x1 , , xn)是 g(X1 , , Xn)的观测值观测值. 显然，统计量是r.v.，而观测值不是。 n i i n i i x n
4、xX n X 11 1 , 1 . 1其观测值为样本均值 n i i n i i xx n sXX n S 1 22 1 22 )( 1 1 ,)( 1 1 . 2其观测值为样本方差 下面介绍几个常用的统计量 22 ,)(ssSS其观测值为标准差样本均方差 阶样本矩k3. 4. 极大、极小统计量和顺序统计量极大、极小统计量和顺序统计量 X(n)=maxX1, , Xn，X(1)=minX1 , , Xn， 分别称为样本的极大统计量和极小统计量。 其观测值分别是: x(n)=maxx1, , xn和x(1)=minx1 , , xn n i ik n i k ik xx n bXX n B 1
5、2 1 )( 1 ,)( 1 其观测值为中心矩 n i k ik n i k ik x n aX n A 11 1 , 1 其观测值为原点矩 一般的，有顺序统计量顺序统计量： X(1) X(k) X(n) . 一、经验分布函数一、经验分布函数 1、构造、构造 将样本观测值： x1， ，xn从小到大排列得 )()2()1(n xxx 为总体X 的一个经验分布函数。 . ):( )( n xxxN xF ii n 易知 其中N(A)表示A中元素个数。 6.2 经验分布函数和频率直方图经验分布函数和频率直方图 )( )1()( )1( , 1 ) 1, 2 , 1(,/ , 0 )( n kkn x
6、x nkxxxnk xx xF称 2、经验分布函数的性质经验分布函数的性质 （1）经验分布函数是分布函数； （2）K.Glivenko(格涅汶科)证明： . 10| )()(|lim xFxFSupP n Rx n 即 经验分布函数依赖于样本值。对固定的xR, Fn(x)作为样 本X1 , , Xn的函数，它是n次独立重复试验中事件X x发 生的频率。若F(x)=PX x是总体X 的分布函数，则它也是 X x的概率。根据贝努里大数定理，应该有： ).()(xFxF P n ),()( . xFxF sa n 实际上，格涅汶科还证明了一个更好的结论。 二、频率直方图二、频率直方图 在实际工作中，
7、我们得到一组数据x1 , , xn后，往往需要 了解该组数据是来自何种总体的样本观测值。以连续型情形 为例，我们希望找到总体X 的密度函数的近似曲线。利用频 率直方图可实现这一目的。 根据 x1 , , xn作频率直方图的方法如下作频率直方图的方法如下： 找出x(1)和 x(n) , 选择两个实数a, b, 使得a适当小于x(1)，b适 当大于x(n). 取k1个分点a=t0t1 tk1 tk=b, 把区间a, b分成 k个小区间ti 1, ti), (i =1, , k). 一个小区间称为一组， ti 1称为 第i组的组下限，而ti 称为第i组的组上限； ti = ti ti 1称为第i 组
8、的组距， b a称为全距，小区间得中点值称为组中值。 用唱票的方法计算出x1 , , xn落在第i组的个数ni, 称为组 频数。fi = ni/n称为组频率，它表示在n次试验中，随机事件 ti1X ti发生的频率。做上述工作常需编制频率分布表，如 下例所示. 在xoy直角坐标系中以x轴上各区间ti 1, ti), (i =1, , k)为 底，以相应的组频率与组距之比yi = fi/ti为高作k个长方形。 这一排长方形称为频率直方图，简称“直方图”。 频率直方图中第i个小长方形的面积等于该组的频率fi，因 此各小长方形的面积之和等于1。由贝努里大数定理知，当n 充分大时有 .)( 1 1 i
9、i t t iii dxxftXtPf 可画出一条折线，它可作为密度函数的近似曲线。 于是通过组中值 实例分析实例分析 本实例通过对一组数据的处理，引入经验分布函数和直 方图的概念，推断对应这组数据的分布线型，解释数理统计 的主要任务和统计推断的实际意义。 例：例：从某厂生产的一种型号的铆钉中随机地抽取120个，测得 其直径得数据如下：(单位：mm) 13.40, 13.39, ，13,14*， ，13.69*， ，13,31, 13,38， (注：因数据太多，只列出一部分，其中13.14是最小值x(1)， 13.59是最大值x(n)，试推断这种铆钉的直径X服从什么分布。 分析分析 本题要先通
10、过频数分布表，画出直方图，估计出X服从 什么分布，然后才可由2拟合检验法进行检验，这是一个非 参数假设检验的问题。 解：解：题中所列120个数据是总体X的样本观察值，我们要对这 些数据进行整理分析，找出规律，一般按下列步骤进行： 找出最大值、最小值确定样本值的取值范围，在这里 可取a=13.13, b=13.73, 全距（区间长度）= ba = 0.55. ,69.13,max,14.13,min 1)(1) 1( nnn xxxxxx 确定分组数k. 把a,b分成k个小区间，使每个小区间上至 少有一个样本值，本题中，n=120，可取k =10 (k也可以取大 一些得，但取k =10,计算方便
11、)。 定组距 .06. 0 10 60. 0 x 于是可把a, b=13.13,13.73，等分成10个小区间. 得到 13.13, 13.19），13.19,13.25）， ，13.67,13.73）. 由实测数据编制频数（率）分布表如下： 频数（率）分布表频数（率）分布表 组限组限 组中值组中值 频数频数ni 频率频率 13.1313.19 13.1913.25 13.2513.31 13.3113.37 13.3713.43 13.4313.49 13.4913.55 13.5513.61 13.6113.67 13.6713.73 13.16 13.21 13.28 13.34 13.
12、40 13.46 13.52 13.58 13.64 13.70 1 5 13 14 27 25 19 10 5 1 0.83 4.17 10.83 11.67 22.50 20.83 15.80 8.33 4.17 0.83 合计合计 120 100.00 i x (%) n n f i i 画出直方图如下 估计分布：在上图中，通过组中值，连接成一条折线， 它的形状很象正态分布的概率密度曲线，我们可初步认定总 体X 服从正态分布。最后还可以利用假设检验的方法推断这 个判断是否正确(略)。 6.3 抽样分布抽样分布 一、一、 2分布分布 统计量的分布称为抽样分布。数理统计中主要研究 如下四个分
13、布： U分布、 2分布、 t 分布和F分布。 .)( ).(),1 , 0(, 22 2 1 2 1 分布的称为自由度为 则设 nn nXNXX n i i iid n 其密度为 1.构造构造 0y, 0 0y,ey )y( f 2 y 1 2 n )2/n(2 1 2/n f(y) 2(n) )n( 2 2.再生性再生性 若 1 2(n1)， 2 2(n2 )， 1， 2独立，则 1 + 2 2(n1+n2 )。 3.期望与方差期望与方差 若 2(n)，则E = n，D =2n。 4.分位点分位点 设 2(n)，若对于 ：0 45)，近似地有 其中z 为N（0，1）的上侧 分位点。 .)1n2z( 2 1 )n( 22 二、二、t分布分布 1.构造构造 若 N(0, 1), 2(n), 与 独立，则 ).n( t n/ T t(n)称为自由度为n的t分布。 其密度函数为 t n t n n n tf n ,)1 ( ) 2 ( ) 2 1 ( )( 2 12 密度函数f(t)的图形与N(0, 1)的密度函数的图形 很象，只是 t(n)的图形两端尾巴厚一些，腰瘦一些。 t )(tf 0 t(n) 2.基本性质基本性质: (1) f(t)关于t=0(纵轴)对称。事实上，f(-t)=f(t)。 (2) f(t)的极限为N(0，1)的密度函数，即
