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1、x y z S N P 复变变函数与积积分变换变换 第二章 解析函数 1. 解析函数的概念 2. 函数解析的充要条件 3. 初等函数 4. 平面场的复势 5. 第二章小结与习题 第三节 初等函数 指数函数 1 对数函数 2 乘幂 b 与幂函数 3 1三角函数和双曲函数 2 反三角函数和反双曲函数 3 小结与思考 一、指数函数 1.指数函数的定义: 指数函数的定义等价于关系式: 2. 加法定理 证 例1 解 例2 解 求出下列复数的辐角主值: 例3 解 二、对数函数 1. 定义 其余各值为 特殊地, 例4 解 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数 对数函数是实变数对数函数的拓广. 例5
2、 解 例6 解 2. 性质 证 (3) 证毕 三、乘幂 与幂函数 1. 乘幂的定义 注意: 特殊情况: 例7 解 答案 课堂练习 例8 解 2. 幂函数的解析性 它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的, 它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内是解析的, 四、三角函数和双曲函数 1. 三角函数的定义 将两式相加与相减, 得 现在把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变 数取复值的情况. 例9 解 有关正弦函数和余弦函数的几组重要公式 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数. (注意：这是与实变函数完全不同的) 其他复变数三角函数的定义 例10 解 例11 解 例12 解 不讲
3、添项 2. 双曲函数的定义 它们的导数分别为 并有如下公式: 它们都是以 为周期的周期函数, 例13 解 五、反三角函数和反双曲函数 1. 反三角函数的定义 两端取对数得 同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式: 2. 反双曲函数的定义 例14 解 六、小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数 范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基 本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 指数函数具有周期性 2. 负数无对数的结论不再成立 3. 三角正弦与余弦不再具有有界性 4. 双曲正弦与余弦都是周期函数 思考题 实变三角函数与复变三角函数在性质上有 哪些异同? 思考题答案 两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是 类似的, 而且导数的形式、加法定理、正余弦函数 的平方和等公式也有相同的形式. 最大的区别是, 实变三角函数中, 正余弦函数都 是有界函数, 但在复变三角函数中, x y z S N P Thank You! 再见！
